Giải bài 1 trang 71 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A $\left( {AB < AC} \right)$. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho $MD = MA$.

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

b) Gọi E là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BEDC là hình bình hành.

c) EM cắt BD tại K. Chứng minh $EK = 2KM$.

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat {BAC} = {90^0}$
Tứ giác ABDC có: $MD = MA$ (gt), $MB = MC$ (gt), M thuộc AD, M thuộc BC nên tứ giác ABDC là hình bình hành. Mà $\widehat {BAC} = {90^0}$ nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
b) Vì E là điểm đối xứng của A qua B nên $EB = AB$
Vì ABDC là hình chữ nhật nên $AB = CD,$ AB//CD
Tứ giác BEDC có: $EB = DC\left( { = AB} \right)$, EB//DC nên tứ giác BEDC là hình bình hành.
c) Tam giác AED có hai đường trung tuyến BD và EM cắt nhau tại K nên K là trọng tâm của tam giác EAD. Suy ra: $EK = \frac{2}{3}EM$, do đó $EK = 2KM$.