Giải bài 1 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.

a) ${1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}$

b) $1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n(3n + 1) = n{(n + 1)^2}$

c) $\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}} = \frac{n}{{2n + 1}}$

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n = 1$ ta có ${1^3} = \frac{{{1^2}{{(1 + 1)}^2}}}{4}$

Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp $n = 1$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, nghĩa là có:

${1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} = \frac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4}$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với $n = k + 1$, nghĩa là cần chứng minh

${1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} + {(k + 1)^3} = \frac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

$\begin{array}{l}{1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} + {(k + 1)^3} = \frac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4} + {(k + 1)^3}\\ = {(k + 1)^2}\left( {\frac{{{k^2}}}{4} + k + 1} \right) = \frac{{{{(k + 1)}^2}({k^2} + 4k + 4)}}{4}\\ = \frac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}\end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với $n = k + 1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.

b) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n = 1$ ta có $1.4 = 1.{(1 + 1)^2}$

Như vậy đẳng thức đúng cho trường hợp $n = 1$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, nghĩa là có:

$1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + k(3k + 1) = k{(k + 1)^2}$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với $n = k + 1$, nghĩa là cần chứng minh

$1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + k(3k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) + 1) = (k + 1){(k + 2)^2}$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

$\begin{array}{l}1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + k(3k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) + 1)\\ = k{(k + 1)^2} + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)\left[ {k(k + 1) + 3k + 4} \right]\\ = (k + 1)({k^2} + 4k + 4) = (k + 1){(k + 2)^2}\end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với $n = k + 1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.

c) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 1$ ta có ${S_1} = \frac{1}{3}$

Vậy đẳng thức đúng với $n = 1$

Giải sử đẳng thức đúng với $n = k$ tức là ta có ${S_k} = \frac{k}{{2k + 1}}$

Ta chứng minh đẳng thức đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  ${S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{2(k + 1) + 1}}$

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + ... + \frac{1}{{(2k - 1)(2k + 1)}} + \frac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}}\\ = \frac{k}{{2k + 1}} + \frac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{k(2k + 3) + 1}}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{2{k^2} + 3k + 1}}{{(2k + 1)(2k + 3)}}\\ = \frac{{(k + 1)(2k + 1)}}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{k + 1}}{{2k + 3}}\end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 1$.