Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 - Chân trời sáng tạo

Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 3

Tải về

Tải về đề thi và đáp án Tải về đề thi Tải về đáp án
Làm đề thi

Câu 1: Cho $a>0,m,nin mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đề bài

Câu 1 :

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) luôn:

  • A
    Nằm phía trên trục hoành.
  • B
    Nằm phía dưới trục hoành.
  • C
    Nằm bên trái trục tung.
  • D
    Nằm bên phải trục tung.
Câu 2 :

Giả sử cường độ ánh sáng I dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức \(I = {I_o}{a^d}\), trong đó \({I_o}\) là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, a là một hằng số dương, d là độ sâu tính từ mặt nước biển (tính bằng mét). Ở một vùng biển cường độ ánh sáng tại độ sâu 1m bằng 90% cường độ ánh sáng tại mặt nước biển. Giá trị của a là:

  • A
    \(a = 9\).
  • B
    \(a = \frac{1}{9}\).
  • C
    \(a = \frac{9}{{10}}\).
  • D
    \(a = \frac{{10}}{9}\).
Câu 3 :

Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{{x^2} - x}} \le 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) là:

  • A
    \(S = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\).
  • B
    \(S = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).
  • C
    \(S = \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).
  • D
    \(S = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\).
Câu 4 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và \(SC = a\sqrt 2 \). Gọi H là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm:

  • A
    A.
  • B
    B.
  • C
    C.
  • D
    H.
Câu 5 :

Một chiếc cột dựng trên nền sân phẳng. Gọi O là điểm đặt chân cột trên mặt sân và M là điểm trên cột cách chân cột 30cm. Trên mặt sân, người ta lấy hai điểm A và B cách đều O là 40cm (A, B, O không thẳng hàng). Người ta đo độ dài MA và MB đều bằng 50cm.

Chọn khẳng định đúng.

  • A
    Tam giác MOB là tam giác tù.
  • B
    Tam giác MAO là tam giác nhọn.
  • C
    \(MO \bot \left( {AOB} \right)\).
  • D
    Cả A, B, C đều đúng.
Câu 6 :

Khi gửi tiết kiệm P (đồng) theo thể thức trả lãi kép định kì với lãi suất mỗi kì là r (r cho dưới dạng số thập phân) thì số tiền A (cả vốn lẫn lãi) nhận được sau t kì gửi là \(A = P{\left( {1 + r} \right)^t}\) (đồng). Thời gian gửi tiết kiệm cần thiết để số tiền ban đầu tăng gấp ba là:

  • A
    \(t = {\log _{1 + r}}3\) năm.
  • B
    \(t = {\log _3}\left( {1 + r} \right)\) năm.
  • C
    \(t = {\log _{1 + r}}2\) năm.
  • D
    \(t = {\log _2}\left( {1 + r} \right)\) năm.
Câu 7 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

  • A
    Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c).
  • B
    Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn.
  • C
    Góc giữa hai đường thẳng có thể là góc tù.
  • D
    Cả A, B, C đều đúng.
Câu 8 :

Với \(0 < a \ne 1\) thì:

  • A
    \({\log _a}a = 0\).
  • B
    \({\log _a}a = 1\).
  • C
    \({\log _a}a =  - 1\).
  • D
    \({\log _a}a = a\).
Câu 9 :

Chọn đáp án đúng.

  • A
    \({\log _7}9 = {\log _3}7.{\log _3}9\).
  • B
    \({\log _7}9 = {\log _3}7 + {\log _3}9\).
  • C
    \({\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}7}}{{{{\log }_3}9}}\).
  • D
    \({\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}9}}{{{{\log }_3}7}}\).
Câu 10 :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) liên tục trên:

  • A
    \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
  • B
    \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
  • C
    \(\left( {0; + \infty } \right)\).
  • D
    \(\left( { - a;a} \right)\).
Câu 11 :

Rút gọn biểu thức \(\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}y + x{y^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}}\) (với \(x,y > 0\)) được kết quả là:

  • A
    y.
  • B
    x.
  • C
    \(x{y^{\frac{1}{3}}}\).
  • D
    xy.
Câu 12 :

Trong Hóa học, độ pH của một dung dịch được tính theo công thức \(pH =  - \log \left[ {{H^ + }} \right]\), trong đó \(\left[ {{H^ + }} \right]\) là nồng độ ion hydrogen tính bằng mol/lít. Tính nồng độ pH của dung dịch có nồng độ ion hydrogen bằng 0,001 mol/lít.

  • A
    2.
  • B
    3.
  • C
    4.
  • D
    5.
Câu 13 :

Chọn đáp án đúng.

Với \(a,b > 0\) thì:  

  • A
    \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
  • B
    \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a.\ln b\).
  • C
    \(\ln \left( {{a^b}} \right) = \ln a.\ln b\).
  • D
    \(\ln \left( {a + b} \right) = \ln a.\ln b\).
Câu 14 :

Bất phương trình \({\log _{\frac{1}{6}}}\left( {x + 3} \right) + {\log _{\frac{1}{6}}}\left( {x + 2} \right) \ge  - 1\) có nghiệm là:

  • A
    \( - 2 \le x \le 3\).
  • B
    \( - 2 < x < 3\).
  • C
    \( - 2 < x \le 0\).
  • D
    \( - 5 \le x \le 0\).
Câu 15 :

Cho \(a > 0,m,n \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\).
  • B
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m + n}}\).
  • C
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m.n}}\).
  • D
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n - m}}\).
Câu 16 :

Chọn đáp án đúng.

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P). Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng:

  • A
    \({30^0}\).
  • B
    \({90^0}\).
  • C
    \({60^0}\).
  • D
    \({0^0}\).
Câu 17 :

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Khẳng định nào sau đây là sai?

  • A
    \(OC \bot \left( {ABC} \right)\).
  • B
    \(OC \bot \left( {ABO} \right)\).
  • C
    \(OB \bot \left( {OAC} \right)\).
  • D
    \(OA \bot \left( {OBC} \right)\).
Câu 18 :

Chọn đáp án đúng.

Cho số dương a. Khi đó:

  • A
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[4]{{{a^3}}}\).
  • B
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[3]{{{a^4}}}\).
  • C
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{3}{4}}}}}\).
  • D
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[{\frac{4}{3}}]{a}\).
Câu 19 :

Bất phương trình \({a^x} > b\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi:

  • A
    \(b > 0\).
  • B
    \(b \ge 0\).
  • C
    \(b \le 0\).
  • D
    \(b \ne 0\).
Câu 20 :

Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ cơ số 3?

  • A
    \(y = {3^x}\).
  • B
    \(y = {\log _x}3\).
  • C
    \(y = {\log _3}x\).
  • D
    \(y = \ln \left( {3x} \right)\).
Câu 21 :

Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác ABC vuông tại B. Kẻ \(AH \bot SB\left( {H \in SB} \right)\). Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm:

  • A
    A.
  • B
    B.
  • C
    C.
  • D
    H.
Câu 22 :

Nếu x và y thỏa mãn \({4^x} = 16\) và \({3^{x + y}} = 729\) thì y bằng:

  • A
    \(y = 4\).
  • B
    \(y = 3\).
  • C
    \(y =  - 4\).
  • D
    \(y =  - 3\).
Câu 23 :

Hàm số nào dưới đây không phải là hàm số lôgarit?  

  • A
    \(y = \ln \left( {2{x^4}} \right)\).
  • B
    \(y = \log \left( {{x^2} + 10} \right)\).
  • C
    \(y = {\log _4}\frac{1}{{{x^2} + 1}}\).
  • D
    \(y = {2^{\ln 4}}\).
Câu 24 :

Cho \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A
    \(\left( {uv} \right)' = u'.v'\).
  • B
    \(\left( {uv} \right)' = u.v'\).
  • C
    \(\left( {uv} \right)' = u'.v\).
  • D
    \(\left( {uv} \right)' = u'.v + uv'\).
Câu 25 :

Cho đồ thị các hàm số \(y = {a^x},y = {b^x},y = {\log _c}x\) như hình vẽ dưới

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

  • A
    \(a > b > c > 1\).
  • B
    \(a > b > 1 > c\).
  • C
    \(a > 1 > b > c\).
  • D
    \(a < b < c < 1\).
Câu 26 :

Chọn đáp án đúng.

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_o}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) là:

  • A
    \(y = f'\left( x \right)\left( {x - {x_o}} \right) + f\left( {{x_o}} \right)\).
  • B
    \(y = f'\left( {{x_o}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + f\left( {{x_o}} \right)\).
  • C
    \(y = f'\left( x \right)\left( {x - {x_o}} \right) - f\left( {{x_o}} \right)\).
  • D
    \(y = f'\left( {{x_o}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) - f\left( {{x_o}} \right)\).
Câu 27 :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a. Phát biểu nào sau đây là đúng?

  • A
    Đường thẳng b cắt mặt phẳng (P).
  • B
    Đường thẳng b song song mặt phẳng (P).
  • C
    Đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P).
  • D
    Đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) hoặc song song với mặt phẳng (P).
Câu 28 :

Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\sqrt 5 } \right)^x} > 5\) là:  

  • A
    \(S = \left( { - \infty ;2} \right)\).
  • B
    \(S = \left( { - \infty ;2} \right]\).
  • C
    \(S = \left( {2; + \infty } \right)\).
  • D
    \(S = \left[ {2; + \infty } \right)\).
Câu 29 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}x\). Biết rằng: \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = M,\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = m\). Khi đó:

  • A
    \(M + m = 2\).
  • B
    \(M + m = 5\).
  • C
    \(M + m = 6\).
  • D
    \(M + m = 4\).
Câu 30 :

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng:

  • A
    SB.
  • B
    SA.
  • C
    SB.
  • D
    AH.
Câu 31 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} + 1\) có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \(x = 1\) là:

  • A
    \(y = 7x + 2\).
  • B
    \(y =  - x + 5\).
  • C
    \(y = 7x - 3\)
  • D
    \(y = 3x + 1\).
Câu 32 :

Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật và I là 1 điểm thuộc cạnh AB sao cho \(SI \bot AB\). Khi đó, góc giữa hai đường thẳng CD và SI bằng bao nhiêu độ?

  • A
    \({90^0}\).
  • B
    \({60^0}\).
  • C
    \({30^0}\).
  • D
    \({70^0}\).
Câu 33 :

Chọn khẳng định đúng.

  • A
    \(\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\left( {x > 0} \right)\).
  • B
    \(\left( {\ln x} \right)' = x\left( {x > 0} \right)\).
  • C
    \(\left( {\ln x} \right)' = \frac{e}{x}\left( {x > 0} \right)\).
  • D
    \(\left( {\ln x} \right)' = e.x\left( {x > 0} \right)\).
Câu 34 :

Chọn đáp án đúng: (Các biểu thức trên đều có nghĩa)

  • A
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 1\).
  • B
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) =  - 1\).
  • C
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0\).
  • D
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 2\).
Câu 35 :

Phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}x =  - 2\) có nghiệm là:  

  • A
    \(x =  - 4\).
  • B
    \(x = 4\).
  • C
    \(x = \frac{{ - 1}}{4}\).
  • D
    \(x = \frac{1}{4}\).
Câu 36 :

Cho hình chóp S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng SA và DC bằng:

  • A
    \({60^0}\).
  • B
    \({90^0}\).
  • C
    \({120^0}\).
  • D
    \({70^0}\).
Câu 37 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

  • A
    (ABCD)\( \bot \) (A’B’C’D).
  • B
    \(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\).
  • C
    Cả A và B đều đúng.
  • D
    Cả A và B đều sai.
Câu 38 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = 1 - \sqrt 3 \).
  • B
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} =  - 1 + \sqrt 3 \).
  • C
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = 1 + \sqrt 3 \).
  • D
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} =  - 1 - \sqrt 3 \).
Câu 39 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 2} \right)}}{{x + 2}} = 5\). Khi đó, \(f'\left( { - 2} \right)\) bằng:

  • A
    5.
  • B
    \( - 5\).
  • C
    \( - 2\).
  • D
    2.
Câu 40 :

Góc giữa hai đường thẳng không thể bằng:

  • A
    400.
  • B
    500.
  • C
    900.
  • D
    1600.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) luôn:

  • A
    Nằm phía trên trục hoành.
  • B
    Nằm phía dưới trục hoành.
  • C
    Nằm bên trái trục tung.
  • D
    Nằm bên phải trục tung.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) luôn nằm bên phải trục tung.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) luôn nằm bên phải trục tung.

Đáp án D.

Câu 2 :

Giả sử cường độ ánh sáng I dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức \(I = {I_o}{a^d}\), trong đó \({I_o}\) là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, a là một hằng số dương, d là độ sâu tính từ mặt nước biển (tính bằng mét). Ở một vùng biển cường độ ánh sáng tại độ sâu 1m bằng 90% cường độ ánh sáng tại mặt nước biển. Giá trị của a là:

  • A
    \(a = 9\).
  • B
    \(a = \frac{1}{9}\).
  • C
    \(a = \frac{9}{{10}}\).
  • D
    \(a = \frac{{10}}{9}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

\({a^1} = a\)

Lời giải chi tiết :

Với \(d = 1,I = \frac{{90}}{{100}}{I_o}\) thay vào \(I = {I_o}{a^d}\) ta có: \(\frac{{90}}{{100}}{I_o} = {I_o}{a^1} \Rightarrow a = \frac{9}{{10}}\). Vậy \(a = \frac{9}{{10}}\).

Đáp án C.

Câu 3 :

Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{{x^2} - x}} \le 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) là:

  • A
    \(S = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\).
  • B
    \(S = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).
  • C
    \(S = \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).
  • D
    \(S = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với \(a > 1\) thì \({a^{u\left( x \right)}} \le {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) \le v\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết :

\({2^{{x^2} - x}} \le 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \Leftrightarrow {2^{{x^2} - x}} \le {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {x^2} - x \le 2 - x \Leftrightarrow {x^2} \le 2 \Leftrightarrow  - \sqrt 2  \le x \le \sqrt 2 \)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).

Đáp án B.

Câu 4 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và \(SC = a\sqrt 2 \). Gọi H là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm:

  • A
    A.
  • B
    B.
  • C
    C.
  • D
    H.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác ABS đều nên SH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SHB vuông tại H có:

\(SH = \sqrt {S{B^2} - H{B^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác CHB vuông tại B có:

\(CH = \sqrt {B{C^2} + H{B^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Ta có: \(S{H^2} + H{C^2} = S{C^2}\left( {do\;{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} = {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \right)\) nên tam giác SHC vuông tại H.

Suy ra: \(SH \bot HC\)

Lại có: \(SH \bot AB\), HC và AB cắt nhau tại H và nằm trong mặt phẳng (ABCD).

Do đó, \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Vậy H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD).

Đáp án D.

Câu 5 :

Một chiếc cột dựng trên nền sân phẳng. Gọi O là điểm đặt chân cột trên mặt sân và M là điểm trên cột cách chân cột 30cm. Trên mặt sân, người ta lấy hai điểm A và B cách đều O là 40cm (A, B, O không thẳng hàng). Người ta đo độ dài MA và MB đều bằng 50cm.

Chọn khẳng định đúng.

  • A
    Tam giác MOB là tam giác tù.
  • B
    Tam giác MAO là tam giác nhọn.
  • C
    \(MO \bot \left( {AOB} \right)\).
  • D
    Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

Lời giải chi tiết :

Vì \({50^2} = {30^2} + {40^2}\) nên \(M{A^2} = M{O^2} + O{A^2}\) và \(M{B^2} = M{O^2} + O{B^2}\)

Do đó, tam giác MOA vuông tại O và tam giác MOB vuông tại O.

Suy ra, \(MO \bot OA,MO \bot OB\)

Mà OA và OB cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OAB). Do đó, \(MO \bot \left( {AOB} \right)\).

Đáp án C.

Câu 6 :

Khi gửi tiết kiệm P (đồng) theo thể thức trả lãi kép định kì với lãi suất mỗi kì là r (r cho dưới dạng số thập phân) thì số tiền A (cả vốn lẫn lãi) nhận được sau t kì gửi là \(A = P{\left( {1 + r} \right)^t}\) (đồng). Thời gian gửi tiết kiệm cần thiết để số tiền ban đầu tăng gấp ba là:

  • A
    \(t = {\log _{1 + r}}3\) năm.
  • B
    \(t = {\log _3}\left( {1 + r} \right)\) năm.
  • C
    \(t = {\log _{1 + r}}2\) năm.
  • D
    \(t = {\log _2}\left( {1 + r} \right)\) năm.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho phương trình \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\). Nếu \(b > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\).

Lời giải chi tiết :

Để số tiền ban đầu tăng gấp ba thì \(A = 3P\). Thay \(A = 3P\) vào \(A = P{\left( {1 + r} \right)^t}\) ta có:

\(3P = P{\left( {1 + r} \right)^t} \Leftrightarrow {\left( {1 + r} \right)^t} = 3 \Leftrightarrow t = {\log _{1 + r}}3\) (năm)

Đáp án A.

Câu 7 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

  • A
    Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c).
  • B
    Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn.
  • C
    Góc giữa hai đường thẳng có thể là góc tù.
  • D
    Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900.

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).

Lời giải chi tiết :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\) nên câu A đúng.

Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900 nên câu b, c đều sai.

Đáp án A.

Câu 8 :

Với \(0 < a \ne 1\) thì:

  • A
    \({\log _a}a = 0\).
  • B
    \({\log _a}a = 1\).
  • C
    \({\log _a}a =  - 1\).
  • D
    \({\log _a}a = a\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với \(0 < a \ne 1\) thì \({\log _a}a = 1\).

Lời giải chi tiết :

Với \(0 < a \ne 1\) thì \({\log _a}a = 1\).

Đáp án B.

Câu 9 :

Chọn đáp án đúng.

  • A
    \({\log _7}9 = {\log _3}7.{\log _3}9\).
  • B
    \({\log _7}9 = {\log _3}7 + {\log _3}9\).
  • C
    \({\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}7}}{{{{\log }_3}9}}\).
  • D
    \({\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}9}}{{{{\log }_3}7}}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với a, b, c là các số dương và \(a \ne 1,b \ne 1\) thì \({\log _a}c = \frac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}}\).

Lời giải chi tiết :

\({\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}9}}{{{{\log }_3}7}}\)

Đáp án D.

Câu 10 :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) liên tục trên:

  • A
    \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
  • B
    \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
  • C
    \(\left( {0; + \infty } \right)\).
  • D
    \(\left( { - a;a} \right)\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Đáp án C.

Câu 11 :

Rút gọn biểu thức \(\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}y + x{y^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}}\) (với \(x,y > 0\)) được kết quả là:

  • A
    y.
  • B
    x.
  • C
    \(x{y^{\frac{1}{3}}}\).
  • D
    xy.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

Lời giải chi tiết :

\(\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}y + x{y^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}} = \frac{{xy\left( {{x^{\frac{1}{3}}} + {y^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{3}}} + {y^{\frac{1}{3}}}}} = xy\)

Đáp án D.

Câu 12 :

Trong Hóa học, độ pH của một dung dịch được tính theo công thức \(pH =  - \log \left[ {{H^ + }} \right]\), trong đó \(\left[ {{H^ + }} \right]\) là nồng độ ion hydrogen tính bằng mol/lít. Tính nồng độ pH của dung dịch có nồng độ ion hydrogen bằng 0,001 mol/lít.

  • A
    2.
  • B
    3.
  • C
    4.
  • D
    5.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với a là số thực dương và \(a \ne 1\) thì \(\log {\,_a}{a^\alpha } = \alpha \)

Lời giải chi tiết :

Với \(\left[ {{H^ + }} \right] = 0,001\) thay vào \(pH =  - \log \left[ {{H^ + }} \right]\) ta có:

\(pH =  - \log \left[ {{H^ + }} \right] =  - \log 0,001 =  - \log {10^{ - 3}} = 3\)

Vậy nồng độ pH của dung dịch bằng 3.

Đáp án B.

Câu 13 :

Chọn đáp án đúng.

Với \(a,b > 0\) thì:  

  • A
    \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
  • B
    \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a.\ln b\).
  • C
    \(\ln \left( {{a^b}} \right) = \ln a.\ln b\).
  • D
    \(\ln \left( {a + b} \right) = \ln a.\ln b\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với \(a,b > 0\) thì \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).

Lời giải chi tiết :

Với \(a,b > 0\) thì \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).

Đáp án A.

Câu 14 :

Bất phương trình \({\log _{\frac{1}{6}}}\left( {x + 3} \right) + {\log _{\frac{1}{6}}}\left( {x + 2} \right) \ge  - 1\) có nghiệm là:

  • A
    \( - 2 \le x \le 3\).
  • B
    \( - 2 < x < 3\).
  • C
    \( - 2 < x \le 0\).
  • D
    \( - 5 \le x \le 0\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu \(0 < a < 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) \ge {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) \le v\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(x >  - 2\)

\({\log _{\frac{1}{6}}}\left( {x + 3} \right) + {\log _{\frac{1}{6}}}\left( {x + 2} \right) \ge  - 1 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{6}}}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \right] \ge {\log _{\frac{1}{6}}}6 \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 6 \le 6 \Leftrightarrow {x^2} + 5x \le 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right) \le 0 \Leftrightarrow  - 5 \le x \le 0\)

Kết hợp với điều kiện ta có: \( - 2 < x \le 0\).

Đáp án C.

Câu 15 :

Cho \(a > 0,m,n \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\).
  • B
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m + n}}\).
  • C
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m.n}}\).
  • D
    \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n - m}}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho \(a > 0,m,n \in \mathbb{R}\). Khi đó: \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)

Lời giải chi tiết :

Cho \(a > 0,m,n \in \mathbb{R}\). Khi đó: \(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)

Đáp án A.

Câu 16 :

Chọn đáp án đúng.

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P). Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng:

  • A
    \({30^0}\).
  • B
    \({90^0}\).
  • C
    \({60^0}\).
  • D
    \({0^0}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với b.

Lời giải chi tiết :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với b. Do đó, góc giữa hai đường thẳng a và b bằng \({90^0}\)

Đáp án B.

Câu 17 :

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Khẳng định nào sau đây là sai?

  • A
    \(OC \bot \left( {ABC} \right)\).
  • B
    \(OC \bot \left( {ABO} \right)\).
  • C
    \(OB \bot \left( {OAC} \right)\).
  • D
    \(OA \bot \left( {OBC} \right)\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

Lời giải chi tiết :

Vì \(OA \bot OB,OA \bot OC\) và OB và OC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OBC) nên \(OA \bot \left( {OBC} \right)\) nên câu D đúng.

Vì \(OC \bot OB,OA \bot OC\) và OB và OA cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OBA) nên \(OC \bot \left( {ABO} \right)\) nên câu B đúng.

Vì \(OA \bot OB,OB \bot OC\) và OA và OC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OAC) nên \(OB \bot \left( {OAC} \right)\) nên câu C đúng.

Vì \(OC \bot OB\) nên tam giác OBC vuông tại O. Do đó, OC không thể vuông góc với CB. Suy ra, OC không vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên câu A sai.

Đáp án A.

Câu 18 :

Chọn đáp án đúng.

Cho số dương a. Khi đó:

  • A
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[4]{{{a^3}}}\).
  • B
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[3]{{{a^4}}}\).
  • C
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{3}{4}}}}}\).
  • D
    \({a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[{\frac{4}{3}}]{a}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho số thực dương a và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m,n \in \mathbb{Z},n > 0\). Ta có: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\)

Lời giải chi tiết :

\({a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[3]{{{a^4}}}\)

Đáp án B.

Câu 19 :

Bất phương trình \({a^x} > b\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi:

  • A
    \(b > 0\).
  • B
    \(b \ge 0\).
  • C
    \(b \le 0\).
  • D
    \(b \ne 0\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bất phương trình \({a^x} > b\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi \(b \le 0\).

Lời giải chi tiết :

Bất phương trình \({a^x} > b\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi \(b \le 0\).

Đáp án C.

Câu 20 :

Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ cơ số 3?

  • A
    \(y = {3^x}\).
  • B
    \(y = {\log _x}3\).
  • C
    \(y = {\log _3}x\).
  • D
    \(y = \ln \left( {3x} \right)\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = {3^x}\) có cơ số là 3.

Đáp án A.

Câu 21 :

Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác ABC vuông tại B. Kẻ \(AH \bot SB\left( {H \in SB} \right)\). Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm:

  • A
    A.
  • B
    B.
  • C
    C.
  • D
    H.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) là điểm A.

Đáp án A.

Câu 22 :

Nếu x và y thỏa mãn \({4^x} = 16\) và \({3^{x + y}} = 729\) thì y bằng:

  • A
    \(y = 4\).
  • B
    \(y = 3\).
  • C
    \(y =  - 4\).
  • D
    \(y =  - 3\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

\({a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết :

\({4^x} = 16 \Leftrightarrow {4^x} = {4^2} \Leftrightarrow x = 2\)

Khi đó: \({3^{x + y}} = 729 \Leftrightarrow {3^{2 + y}} = {3^6} \Leftrightarrow y + 2 = 6 \Leftrightarrow y = 4\)

Đáp án A.

Câu 23 :

Hàm số nào dưới đây không phải là hàm số lôgarit?  

  • A
    \(y = \ln \left( {2{x^4}} \right)\).
  • B
    \(y = \log \left( {{x^2} + 10} \right)\).
  • C
    \(y = {\log _4}\frac{1}{{{x^2} + 1}}\).
  • D
    \(y = {2^{\ln 4}}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = {2^{\ln 4}}\) không phải là hàm số lôgarit

Đáp án D.

Câu 24 :

Cho \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A
    \(\left( {uv} \right)' = u'.v'\).
  • B
    \(\left( {uv} \right)' = u.v'\).
  • C
    \(\left( {uv} \right)' = u'.v\).
  • D
    \(\left( {uv} \right)' = u'.v + uv'\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định thì \(\left( {uv} \right)' = u'.v + uv'\).

Lời giải chi tiết :

Cho \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định thì \(\left( {uv} \right)' = u'.v + uv'\).

Đáp án D.

Câu 25 :

Cho đồ thị các hàm số \(y = {a^x},y = {b^x},y = {\log _c}x\) như hình vẽ dưới

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

  • A
    \(a > b > c > 1\).
  • B
    \(a > b > 1 > c\).
  • C
    \(a > 1 > b > c\).
  • D
    \(a < b < c < 1\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\left( {a > 0} \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết :

Ta thấy hàm số \(y = {\log _c}x\) nghịch biến nên \(c < 1\).

Hàm số \(y = {a^x},y = {b^x}\) đồng biến nên \(a > 1,b > 1\).

Xét tại \(x = 1\) thì đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) có tung độ lớn hơn tung độ của đồ thị hàm số \(y = {b^x}\) nên \(a > b\).  Do đó, \(a > b > 1 > c\).

Đáp án B.

Câu 26 :

Chọn đáp án đúng.

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_o}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) là:

  • A
    \(y = f'\left( x \right)\left( {x - {x_o}} \right) + f\left( {{x_o}} \right)\).
  • B
    \(y = f'\left( {{x_o}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + f\left( {{x_o}} \right)\).
  • C
    \(y = f'\left( x \right)\left( {x - {x_o}} \right) - f\left( {{x_o}} \right)\).
  • D
    \(y = f'\left( {{x_o}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) - f\left( {{x_o}} \right)\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_o}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_o}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + f\left( {{x_o}} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_o}\) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_o}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + f\left( {{x_o}} \right)\).

Đáp án B.

Câu 27 :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a. Phát biểu nào sau đây là đúng?

  • A
    Đường thẳng b cắt mặt phẳng (P).
  • B
    Đường thẳng b song song mặt phẳng (P).
  • C
    Đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P).
  • D
    Đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) hoặc song song với mặt phẳng (P).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a thì đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) hoặc song song với mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a thì đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) hoặc song song với mặt phẳng (P).

Đáp án D.

Câu 28 :

Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\sqrt 5 } \right)^x} > 5\) là:  

  • A
    \(S = \left( { - \infty ;2} \right)\).
  • B
    \(S = \left( { - \infty ;2} \right]\).
  • C
    \(S = \left( {2; + \infty } \right)\).
  • D
    \(S = \left[ {2; + \infty } \right)\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Với \(a > 1\) thì \({a^{u\left( x \right)}} > {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) > v\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết :

\({\left( {\sqrt 5 } \right)^x} > 5 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 } \right)^x} > {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} \Leftrightarrow x > 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {2; + \infty } \right)\)

Đáp án C.

Câu 29 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}x\). Biết rằng: \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = M,\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = m\). Khi đó:

  • A
    \(M + m = 2\).
  • B
    \(M + m = 5\).
  • C
    \(M + m = 6\).
  • D
    \(M + m = 4\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\):

+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết :

Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}x\) có \(\sqrt 3  > 1\) nên đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = f\left( 3 \right) = {\log _{\sqrt 3 }}3 = 2,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = f\left( 9 \right) = {\log _{\sqrt 3 }}9 = 4\)

Do đó, \(M + m = 6\)

Đáp án C.

Câu 30 :

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng:

  • A
    SB.
  • B
    SA.
  • C
    SB.
  • D
    AH.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right),AC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC\)

Tam giác ABC vuông tại A nên \(AB \bot AC\).

Mà SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB). Do đó, \(AC \bot \left( {SAB} \right)\).

Do đó, A là hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (SAB).

Suy ra, hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng SA.

Đáp án B.

Câu 31 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} + 1\) có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \(x = 1\) là:

  • A
    \(y = 7x + 2\).
  • B
    \(y =  - x + 5\).
  • C
    \(y = 7x - 3\)
  • D
    \(y = 3x + 1\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến \({M_o}T\) của đồ thị hàm số tại điểm \({M_0}\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).

Tiếp tuyến \({M_o}T\) có phương trình là: \(y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 4x\) nên \(y'\left( 1 \right) = {3.1^2} + 4.1 = 7\)

Với \(x = 1\) thì \(y\left( 1 \right) = {1^3} + {2.1^2} + 1 = 4\)

Do đó, tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm \(\left( {1;4} \right)\) có phương trình là: \(y - 4 = 7\left( {x - 1} \right) \Rightarrow y = 7x - 3\)

Đáp án C.

Câu 32 :

Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật và I là 1 điểm thuộc cạnh AB sao cho \(SI \bot AB\). Khi đó, góc giữa hai đường thẳng CD và SI bằng bao nhiêu độ?

  • A
    \({90^0}\).
  • B
    \({60^0}\).
  • C
    \({30^0}\).
  • D
    \({70^0}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là chữ nhật AB//CD. Mà \(SI \bot AB\) nên \(SI \bot CD\). Do đó, góc giữa hai đường thẳng SI và CD bằng \({90^0}\).

Đáp án A.

Câu 33 :

Chọn khẳng định đúng.

  • A
    \(\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\left( {x > 0} \right)\).
  • B
    \(\left( {\ln x} \right)' = x\left( {x > 0} \right)\).
  • C
    \(\left( {\ln x} \right)' = \frac{e}{x}\left( {x > 0} \right)\).
  • D
    \(\left( {\ln x} \right)' = e.x\left( {x > 0} \right)\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

\(\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\left( {x > 0} \right)\)

Lời giải chi tiết :

\(\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\left( {x > 0} \right)\)

Đáp án A.

Câu 34 :

Chọn đáp án đúng: (Các biểu thức trên đều có nghĩa)

  • A
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 1\).
  • B
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) =  - 1\).
  • C
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0\).
  • D
    \({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 2\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Với a là số thực dương và \(a \ne 1\) thì \(\log {\,_a}1 = 0\).

Với \(0 < a \ne 1,b,c > 0\) thì \({\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\).

Lời giải chi tiết :

\({\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _a}\left[ {\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)} \right]\)

\( = {\log _a}\left( {{x^2} - {x^2} + 1} \right) = {\log _a}1 = 0\)

Đáp án C.

Câu 35 :

Phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}x =  - 2\) có nghiệm là:  

  • A
    \(x =  - 4\).
  • B
    \(x = 4\).
  • C
    \(x = \frac{{ - 1}}{4}\).
  • D
    \(x = \frac{1}{4}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình \({\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) luôn có nghiệm duy nhất \(x = {a^b}\).

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(x > 0\)

\({\log _{\frac{1}{2}}}x =  - 2 \Leftrightarrow x = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 2}} = 4\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4\).

Đáp án B.

Câu 36 :

Cho hình chóp S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng SA và DC bằng:

  • A
    \({60^0}\).
  • B
    \({90^0}\).
  • C
    \({120^0}\).
  • D
    \({70^0}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu \(\left( {a,b} \right)\) hoặc \(\widehat {\left( {a;b} \right)}\).

Lời giải chi tiết :

Tứ giác ABCD có \(AB = BC = CD = DA\) nên tứ giác ABCD là hình thoi. Do đó, DC//AB.

Suy ra: \(\left( {SA,DC} \right) = \left( {SA,AB} \right) = \widehat {SAB}\)

Tam giác SAB có: \(SA = SB = AB\) nên tam giác SAB là tam giác đều. Do đó, \(\widehat {SAB} = {60^0}\)

Đáp án A.

Câu 37 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

  • A
    (ABCD)\( \bot \) (A’B’C’D).
  • B
    \(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\).
  • C
    Cả A và B đều đúng.
  • D
    Cả A và B đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD.A’B’C’D là hình hộp nên (ABCD)// (A’B’C’D), mà \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\).

Đáp án B.

Câu 38 :

Chọn đáp án đúng:

  • A
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = 1 - \sqrt 3 \).
  • B
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} =  - 1 + \sqrt 3 \).
  • C
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = 1 + \sqrt 3 \).
  • D
    \(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} =  - 1 - \sqrt 3 \).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|\) khi n chẵn (với các biểu thức đều có nghĩa).

Lời giải chi tiết :

\(\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} =  - 1 + \sqrt 3 \).

Đáp án B.

Câu 39 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 2} \right)}}{{x + 2}} = 5\). Khi đó, \(f'\left( { - 2} \right)\) bằng:

  • A
    5.
  • B
    \( - 5\).
  • C
    \( - 2\).
  • D
    2.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng (a; b) và \({x_o} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_o}} \right)}}{{x - {x_o}}}\) thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại \({x_o}\), kí hiệu là \(f'\left( {{x_o}} \right)\) hoặc \(y'\left( {{x_o}} \right)\). Vậy \(f'\left( {{x_o}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_o}} \right)}}{{x - {x_o}}}\)

Lời giải chi tiết :

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 2} \right)}}{{x + 2}} = 5\) nên \(f'\left( { - 2} \right) = 5\)

Đáp án A.

Câu 40 :

Góc giữa hai đường thẳng không thể bằng:

  • A
    400.
  • B
    500.
  • C
    900.
  • D
    1600.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900.

Lời giải chi tiết :

Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900 nên góc giữa hai đường thẳng không thể bằng 1600.

Đáp án D.

Bài liên quan
close

Tiện ích | Blog

Nội dung từ Loigiaihay.Com