Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 1

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

A. \(0{x^2} + 5x - 3\).

B. \(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + 1\).

C. \(7x - {x^2} + 5\).

D. \({\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2}\).

Câu 2: Chọn từ thích hợp để điền vào chỗ (.).

Nếu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thì \(f(x) \ldots  \ldots ..(1) \ldots ...\) với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và \(f(x)\).(2). với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)\).

A. (1) trái dấu - (2) cùng dấu.

B. (1) trái dấu - (2) trái dấu.

C. (1) cùng dấu - (2) trái dấu.

D. (1) cùng dấu - (2) cùng dấu.

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 2x + 3 > 0\) là:

A. \(\emptyset \).

B. \(\mathbb{R}\).

C. \(( - \infty ; - 1) \cup (3; + \infty )\).

D. \(( - 1;3)\).

Câu 4: Tam thức bậc hai \( - {x^2} + 7x - 12\) nhận giá trị dương khi nào?

A. \(x \in (3;4)\).

B. \(x \in [3;4]\).

C. \(x \in ( - \infty ;3) \cup (4; + \infty )\).

D. \(x \in ( - \infty ;3] \cup [4; + \infty )\).

Câu 5: Cô Mai có \(60\;m\) lưới muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau. Biết rằng một cạnh là tường (nên không cần rào), cô Mai chỉ cần rào ba cạnh còn lại của hình chữ nhật để làm vườn. Để diện tích mảnh vườn không ít hơn \(400\;{m^2}\) thì chiều rộng của vườn cần có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

A. \(20\;m\).

B. \(15\;m\).

C. \(10\;m\).

D. \(9\;m\).

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 9x + 20 > 0\) là:

A. \(x \in [4;5]\).

B. \(x \in (4;5)\).

C. \(x \in ( - \infty ;4] \cup [5; + \infty )\).

D. \(x \in ( - \infty ;4) \cup (5; + \infty )\).

Câu 7: Tập ngiệm của bất phương trình: \( - {x^2} + 6x + 7 \ge 0\) là:

A. \(( - \infty ; - 1] \cup [7; + \infty )\).

B. \([ - 1;7]\).

C. \(( - \infty ; - 7] \cup [1; + \infty )\).

D. \([ - 7;1]\).

Câu 8: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x + 3)(4 - x) > 0}\\{x - m + 1 < 0}\end{array}} \right.\) vô nghiệm khi và chỉ khi:

A. \(m \le  - 2\).

B. \(m >  - 2\).

C. \(m <  - 1\).

D. \(m = 0\).

Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 \le 0}\\{x - m > 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm khi:

A. \(m > 1\).

B. \(m = 1\).

C. \(m < 1\).

D. \(m \ne 1\).

Câu 10: Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - bx + 3\). Với giá trị nào của \(b\) thì \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt?

A. \(b \in [ - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 ]\).

B. \(b \in ( - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 )\).

C. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ] \cup [2\sqrt 3 ; + \infty )\).

D. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ) \cup (2\sqrt 3 ; + \infty )\).

Câu 11: Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình bậc hai \({x^2} + 2(m + 1)x + 3m = 0\) có nghiệm là

A. \(\{ 0\} \)

B. \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).

C. \(\mathbb{R}\).

D. \(\emptyset \).

Câu 12: Phương trình \(m{x^2} - mx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi:

A. \(m \le 0\) hoặc \(m \ge 8\).

C. \(0 < m \le 8\).

B. \(m < 0\) hoặc \(m \ge 8\).

D. \(0 \le m \le 8\).

Câu 13: Giá trị \(x = 2\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. \(\sqrt {{x^2} - x - 4}  = \sqrt {x - 4} \).

B. \(x - 1 = \sqrt {x - 3} \).

C. \(x + 2 = 2\sqrt {3x - 2} \).

D. \(x + 2 = \sqrt {x - 1} \).

Câu 14: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x - 3}  = \sqrt {2{x^2} + x - 3} \) là:

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Câu 15: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 1}  = x - 1\) là:

A. \(S = \{ 1\} \).

B. \(S = \{ 2\} \).

C. \(S = \{ 0\} \).

D. \(S = \emptyset \).

Câu 16: Cho phương trình \(\sqrt {{x^2} - mx + {m^2}}  = x - m\) (với \(m\) là tham số). Giá trị của \(m\) đê phương trình nhận \(x = 2\) làm nghiệm là:

A. \(m = 2\).

B. \(m = 3\).

C. \(m = 0\).

D. \(m = 1\).

Câu 17: Phương trình \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}}  = {x^2} - 6x\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

Câu 18: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 7}  - \sqrt {x + 1}  = 2\) là

A. 2.

B. \( - 1\).

C. \( - 2\).

D. 4.

Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), toạ độ của vectơ \(2\vec i - 7\vec j\) là:

A. \((2;7)\).

B. \(( - 2;7)\).

C. \((2; - 7)\).

D. \(( - 7;2)\).

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(3; - 2)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là:

A. \((3; - 2)\).

B. \(( - 3;2)\).

C. \(( - 2;3)\).

D. \((2; - 3)\).

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A( - 3;2),B(5; - 1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:

A. \((2;1)\).

B. \((8; - 3)\).

C. \(( - 8;3)\).

D. \(( - 2; - 1)\).

Câu 22: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 23: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta :y = 2x + 1\) là:

A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (2; - 1)\).

B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1; - 1)\).

C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 2; - 1)\).

D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1;1)\).

Câu 24: Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} (12; - 13)\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \)?

A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 13;12)\).

B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (12;13)\).

C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (13;12)\).

D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 12; - 13)\).

Câu 25: Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là:

A. \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\).

B. \(b\left( {x - {x_0}} \right) - a\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

C. \(a\left( {x + {x_0}} \right) + b\left( {y + {y_0}} \right) = 0\).

D. \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Câu 26: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(11; - 12)\) là:

A. \(5x + 4y + 7 = 0\).

B. \(5x + 4y - 7 = 0\).

C. \(11x - 12y - 7 = 0\).

D. \(11x - 12y + 7 = 0\).

Câu 27: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) là:

A. \(x - 2y + 3 = 0\).

B. \(2x + y - 14 = 0\).

C. \(x + 2y - 13 = 0\).

D. \(2x + y = 0\).

Câu 28: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).

Câu 29: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\), \({\Delta _2}:3x - y + 7 = 0\). Nhận định nào sau đây là đúng?

A. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.

B. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

C. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.

D. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

Câu 30: Người ta quy ước góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau là:

A. \({180^0}\).

B. \({120^0}\).

C. \({90^0}\).

D. \({0^0}\).

Câu 31: Cho \(\alpha \) là góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:3x + y - 14 = 0\). Giá trị của cosa là:

A. \(\frac{{ - 3}}{{130}}\).

B. \(\frac{3}{{\sqrt {130} }}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{130}}\).

D. \(\frac{{ - 3}}{{\sqrt {130} }}\).

Câu 32: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 4y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 1 = 0\) là:

A. \({0^0}\).

B. \({45^0}\).

C. \({60^0}\).

D. \({90^0}\).

Câu 33: Cho đường tròn \((C):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 25\). Đường tròn \((C)\) có:

A. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 25\).

B. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 25\).

C. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 5\).

D. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 5\).

Câu 34: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\). Đường tròn \((C)\) có:

A. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = 11\).

B. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).

C. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = 11\).

D. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).

Câu 35: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?

A. \({x^2} - {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 8 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} + 6x - 10y + 45 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} + 4x - 8y + 13 = 0\)

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 - x} \)

Bài 2. Tìm \(m\) để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi \(x\):

a) \(3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4 > 0\)

b) \(m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0\)

Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (2;0),\vec b = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right),\vec c = (4; - 6)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c\).

b) Biểu diễn vectơ \(\vec c\) theo cặp vectơ không cùng phương \(\vec a,\vec b\).

Bài 4. Cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\).

a) Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác.

b) Viết phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác.

-------- Hết --------

Lời giải

Phần trắc nghiệm

Câu 1: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

A. \(0{x^2} + 5x - 3\).

B. \(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + 1\).

C. \(7x - {x^2} + 5\).

D. \({\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2}\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 2: Chọn từ thích hợp để điền vào chỗ (.).

Nếu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thì \(f(x) \ldots  \ldots ..(1) \ldots ...\) với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và \(f(x)\).(2). với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)\).

A. (1) trái dấu - (2) cùng dấu.

B. (1) trái dấu - (2) trái dấu.

C. (1) cùng dấu - (2) trái dấu.

D. (1) cùng dấu - (2) cùng dấu.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 2x + 3 > 0\) là:

A. \(\emptyset \).

B. \(\mathbb{R}\).

C. \(( - \infty ; - 1) \cup (3; + \infty )\).

D. \(( - 1;3)\).

Lời giải

Ta có: \({x^2} - 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Đáp án B.

Câu 4: Tam thức bậc hai \( - {x^2} + 7x - 12\) nhận giá trị dương khi nào?

A. \(x \in (3;4)\).

B. \(x \in [3;4]\).

C. \(x \in ( - \infty ;3) \cup (4; + \infty )\).

D. \(x \in ( - \infty ;3] \cup [4; + \infty )\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 5: Cô Mai có \(60\;m\) lưới muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau. Biết rằng một cạnh là tường (nên không cần rào), cô Mai chỉ cần rào ba cạnh còn lại của hình chữ nhật để làm vườn. Để diện tích mảnh vườn không ít hơn \(400\;{m^2}\) thì chiều rộng của vườn cần có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

A. \(20\;m\).

B. \(15\;m\).

C. \(10\;m\).

D. \(9\;m\).

Lời giải

Gọi \(x,y(0 < x,y < 60)\) lần lượt là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật.

Ta có \(2x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2x\).

Diện tích hình chữ nhật là \(S = xy = x(60 - 2x)\).

Ta xét bất phương trình \(x(60 - 2x) \ge 400 \Leftrightarrow 10 \le x \le 20\).

Vậy giá trị tối thiểu của chiều rộng là \(10\;m\).

Đáp án C.

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 9x + 20 > 0\) là:

A. \(x \in [4;5]\).

B. \(x \in (4;5)\).

C. \(x \in ( - \infty ;4] \cup [5; + \infty )\).

D. \(x \in ( - \infty ;4) \cup (5; + \infty )\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 7: Tập ngiệm của bất phương trình: \( - {x^2} + 6x + 7 \ge 0\) là:

A. \(( - \infty ; - 1] \cup [7; + \infty )\).

B. \([ - 1;7]\).

C. \(( - \infty ; - 7] \cup [1; + \infty )\).

D. \([ - 7;1]\).

Lời giải

Xét \( - {x^2} + 6x + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x =  - 1\\x = 7\end{array}\end{array}} \right.{\rm{. }}\)

Bảng xét dấu:

Ta có \(: - {x^2} + 6x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [ - 1;7]\).

Đáp án B.

Câu 8: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x + 3)(4 - x) > 0}\\{x - m + 1 < 0}\end{array}} \right.\) vô nghiệm khi và chỉ khi:

A. \(m \le  - 2\).

B. \(m >  - 2\).

C. \(m <  - 1\).

D. \(m = 0\).

Lời giải

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x + 3)(4 - x) > 0}\\{x - m + 1 < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 < x < 4}\\{x < m - 1}\end{array}} \right.\left( * \right)\).

Hệ \(\left( * \right)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow m - 1 \le  - 3 \Leftrightarrow m \le  - 2\).

Đáp án A.

Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 \le 0}\\{x - m > 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm khi:

A. \(m > 1\).

B. \(m = 1\).

C. \(m < 1\).

D. \(m \ne 1\).

Lời giải

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 \le 0}\\{x - m > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 \le x \le 1}\\{x > m}\end{array}\quad (*)} \right.} \right.\)

Do đó hệ \(\left( * \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(m < 1\).

Đáp án C.

Câu 10: Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - bx + 3\). Với giá trị nào của \(b\) thì \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt?

A. \(b \in [ - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 ]\).

B. \(b \in ( - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 )\).

C. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ] \cup [2\sqrt 3 ; + \infty )\).

D. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ) \cup (2\sqrt 3 ; + \infty )\).

Lời giải

\(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  = {b^2} - 12 > 0\). Xét \(\Delta  = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  - 2\sqrt 3 }\\{b = 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.\).

Bảng xét dấu:

Ta có: \(\Delta  = {b^2} - 12 > 0 \Leftrightarrow b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ) \cup (2\sqrt 3 ; + \infty )\).

Đáp án D.

Câu 11: Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình bậc hai \({x^2} + 2(m + 1)x + 3m = 0\) có nghiệm là

A. \(\{ 0\} \)

B. \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).

C. \(\mathbb{R}\).

D. \(\emptyset \).

Lời giải

Phương trình \({x^2} + 2(m + 1)x + 3m = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta ^\prime } \ge 0\) \( \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - 3m \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - m + 1 \ge 0\).

Xét \(f(m) = {m^2} - m + 1\) có \({\Delta _f} = 1 - 4 =  - 3 < 0\) nên \(f(m)\) luôn dương (do cùng dấu \(\left. {{a_f} = 1} \right)\).

Vậy \({m^2} - m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \in \mathbb{R}\).

Đáp án C.

Câu 12: Phương trình \(m{x^2} - mx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi:

A. \(m \le 0\) hoặc \(m \ge 8\).

C. \(0 < m \le 8\).

B. \(m < 0\) hoặc \(m \ge 8\).

D. \(0 \le m \le 8\).

Lời giải

Trường hợp 1: \(m = 0\). Thay vào phương trình: \(2 = 0\) (vô nghiệm). Vì vậy \(m = 0\)

không thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(m \ne 0\).

Phương trình có nghiệm khi \(\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {( - m)^2} - 8m \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m \ge 0\).

Xét \(f(m) = {m^2} - 8m;f(m) = 0 \Leftrightarrow m = 0 \vee m = 8\).

Bảng xét dấu:

Ta có: \(f(m) = {m^2} - 8m \ge 0 \Leftrightarrow m \in ( - \infty ;0) \cup (8; + \infty )\).

So với điều kiện, ta có \(m < 0\) hoặc \(m \ge 8\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án B.

Câu 13: Giá trị \(x = 2\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. \(\sqrt {{x^2} - x - 4}  = \sqrt {x - 4} \).

B. \(x - 1 = \sqrt {x - 3} \).

C. \(x + 2 = 2\sqrt {3x - 2} \).

D. \(x + 2 = \sqrt {x - 1} \).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 14: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x - 3}  = \sqrt {2{x^2} + x - 3} \) là:

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 15: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 1}  = x - 1\) là:

A. \(S = \{ 1\} \).

B. \(S = \{ 2\} \).

C. \(S = \{ 0\} \).

D. \(S = \emptyset \).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 16: Cho phương trình \(\sqrt {{x^2} - mx + {m^2}}  = x - m\) (với \(m\) là tham số). Giá trị của \(m\) đê phương trình nhận \(x = 2\) làm nghiệm là:

A. \(m = 2\).

B. \(m = 3\).

C. \(m = 0\).

D. \(m = 1\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 17: Phương trình \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}}  = {x^2} - 6x\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

Lời giải

Điều kiện: \(17 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - \sqrt {17}  \le x \le \sqrt {17} \).

Ta có: \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}}  = {x^2} - 6x \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 6x} \right)\left( {\sqrt {17 - {x^2}}  - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x^2} - 6x = 0\\\sqrt {17 - {x^2}}  = 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x(x - 6) = 0\\16 - {x^2} = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 0 & (T)\\x = 6 & (L)\\x =  \pm 4 & (T)\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có 3 thực phân biệt.

Đáp án D.

Câu 18: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 7}  - \sqrt {x + 1}  = 2\) là

A. 2.

B. \( - 1\).

C. \( - 2\).

D. 4.

Lời giải

\(\sqrt {3x + 7}  - \sqrt {x + 1}  = 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 1}\\{\sqrt {3x + 7}  = 2 + \sqrt {x + 1} }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge  - 1\\3x + 7 = 4 + x + 1 + 4\sqrt {x + 1} \end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge  - 1\\x + 1 = 2\sqrt {x + 1} \end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge  - 1\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array}\end{array}.} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2.

Đáp án A.

Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), toạ độ của vectơ \(2\vec i - 7\vec j\) là:

A. \((2;7)\).

B. \(( - 2;7)\).

C. \((2; - 7)\).

D. \(( - 7;2)\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(3; - 2)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là:

A. \((3; - 2)\).

B. \(( - 3;2)\).

C. \(( - 2;3)\).

D. \((2; - 3)\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A( - 3;2),B(5; - 1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:

A. \((2;1)\).

B. \((8; - 3)\).

C. \(( - 8;3)\).

D. \(( - 2; - 1)\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 22: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 23: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta :y = 2x + 1\) là:

A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (2; - 1)\).

B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1; - 1)\).

C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 2; - 1)\).

D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1;1)\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 24: Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} (12; - 13)\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \)?

A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 13;12)\).

B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (12;13)\).

C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (13;12)\).

D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 12; - 13)\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 25: Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là:

A. \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\).

B. \(b\left( {x - {x_0}} \right) - a\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

C. \(a\left( {x + {x_0}} \right) + b\left( {y + {y_0}} \right) = 0\).

D. \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 26: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(11; - 12)\) là:

A. \(5x + 4y + 7 = 0\).

B. \(5x + 4y - 7 = 0\).

C. \(11x - 12y - 7 = 0\).

D. \(11x - 12y + 7 = 0\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 27: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) là:

A. \(x - 2y + 3 = 0\).

B. \(2x + y - 14 = 0\).

C. \(x + 2y - 13 = 0\).

D. \(2x + y = 0\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 28: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 29: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\), \({\Delta _2}:3x - y + 7 = 0\). Nhận định nào sau đây là đúng?

A. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.

B. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

C. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.

D. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 30: Người ta quy ước góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau là:

A. \({180^0}\).

B. \({120^0}\).

C. \({90^0}\).

D. \({0^0}\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 31: Cho \(\alpha \) là góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:3x + y - 14 = 0\). Giá trị của cosa là:

A. \(\frac{{ - 3}}{{130}}\).

B. \(\frac{3}{{\sqrt {130} }}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{130}}\).

D. \(\frac{{ - 3}}{{\sqrt {130} }}\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 32: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 4y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 1 = 0\) là:

A. \({0^0}\).

B. \({45^0}\).

C. \({60^0}\).

D. \({90^0}\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 33: Cho đường tròn \((C):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 25\). Đường tròn \((C)\) có:

A. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 25\).

B. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 25\).

C. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 5\).

D. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 5\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 34: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\). Đường tròn \((C)\) có:

A. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = 11\).

B. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).

C. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = 11\).

D. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 35: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?

A. \({x^2} - {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 8 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} + 6x - 10y + 45 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} + 4x - 8y + 13 = 0\)

Lời giải

Đáp án D.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 - x} \)

Lời giải

Cách 1:

Bình phương hai vế phương trình, ta được:

\({x^2} + 2x + 4 = 2 - x \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \vee x =  - 2.{\rm{ }}\)

Thay giá trị \(x =  - 1\) vào phương trình: \(\sqrt 3  = \sqrt 3 \) (thỏa mãn).

Thay giá trị \(x =  - 2\) vào phương trình: \(\sqrt 4  = \sqrt 4 \) (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \{  - 1; - 2\} \).

Cách 2:

Ta có: \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 - x}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - x \ge 0}\\{{x^2} + 2x + 4 = 2 - x}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} + 3x + 2 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 2\\x =  - 1 \vee x =  - 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 2\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \{  - 1; - 2\} \).

Bài 2. Tìm \(m\) để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi \(x\):

a) \(3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4 > 0\)

b) \(m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0\)

Lời giải

a) Đặt \(f(x) = 3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4\) với \(a = 3,{b^\prime } =  - (m - 1),c = {m^2} + 4\).

Theo giả thiết:

\(f(x) = 3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4> 0,\forall x \in \mathbb{R}\left( * \right)\).

Đặt \(f(m) =  - 2{m^2} - 2m - 11\) có \({\Delta _f} = {( - 2)^2} - ( - 2)( - 11) =  - 18 < 0\).

Vì vậy \(f(m)\) luôn cùng dấu với \( - 2\) tức là \(f(m) < 0,\forall m \in \mathbb{R}\). Do đó (*) luôn đúng.

Vậy, với mọi \(m\) thuộc \(\mathbb{R}\) thì \(f(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

b) Đặt \(f(x) = m{x^2} + (m - 1)x + m - 1\) với \(a = m,{b^\prime } = m - 1,c = m - 1\).

Theo giả thiết: \(f(x) = m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\left( * \right)\).

Trường hợp 1: \(a = m = 0\).

Thay vào \((*): - x - 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x >  - 1,\forall x \in \mathbb{R}\) (sai).

Suy ra \(m = 0\) không thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(a = m \ne 0\).

Ta có: \((*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{\Delta  < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{{{(m - 1)}^2} - 4m(m - 1) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{ - 3{m^2} + 2m + 1 < 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Xét \(g(m) =  - 3{m^2} + 2m + 1;g(m) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m =  - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\).

Bảng xét dấu \(g(m)\):

Ta có: \(g(m) < 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup (1; + \infty )\). Vậy \((1) \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\). Kết hợp hai trường hợp đã xét, ta thu được \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) thỏa mãn đề bài

Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (2;0),\vec b = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right),\vec c = (4; - 6)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c\).

b) Biểu diễn vectơ \(\vec c\) theo cặp vectơ không cùng phương \(\vec a,\vec b\).

Lời giải

a) Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\vec a = (4;0)}\\{ - 3\vec b = \left( {3; - \frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c = \left( {27; - \frac{{63}}{2}} \right)}\\{5\vec c = (20; - 30)}\end{array}} \right.\)

b) Gọi: \(\vec c = x\vec a + y\vec b(x,y \in \mathbb{R})\). Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 = x \cdot 2 + y( - 1)}\\{ - 6 = x \cdot 0 + y \cdot \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 4}\\{y =  - 12}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(\vec c =  - 4\vec a - 12\vec b\).

Bài 4. Cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\).

a) Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác.

b) Viết phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác.

Lời giải

a) Đường cao \(AH\) vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\vec u = (1; - 1)\) làm vectơ chỉ phương, suy ra \(AH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;1)\).

Phương trình tổng quát \(AH:1(x + 1) + 1(y + 2) = 0\) hay \(x + y + 3 = 0\).

b) Chọn điểm \(K(0;4)\) thuộc \(BC\), gọi \(E\) là trung điểm đoạn \(AK\) nên \(E\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\). Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(d\) qua \(E\) và có một vectơ pháp tuyến .

Phương trình tổng quát \(d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1(y - 1) = 0\) hay \(2x - 2y + 3 = 0\).