Phương pháp giải:

Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) là \(\overline z  = a - bi\)

Lời giải chi tiết:

\(\bar z =  - 2 - 3i\)

Phương pháp giải:

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

\(V = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {\frac{4}{x}} \right)}^2}dx}  = 12\pi \)

Phương pháp giải:

\(\left( {a + bi} \right) \pm \left( {c + di} \right)\)\( = \left( {a \pm c} \right) + \left( {b \pm d} \right)i\)

\(\left( {a + bi} \right).\left( {c + di} \right)\)\( = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i\)

Số phức z là số thuần ảo nếu phần thực bằng 0.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}z = 1 - {(m - i)^2} = 1 - \left( {{m^2} - 1 - 2m.i} \right)\\ = 2 - {m^2} + 2mi\end{array}\)

Để z là số thuần ảo thì \(2 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 2 \)

Phương pháp giải:

Đặt \(\ln x = t \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\ln x = t \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\)

\(\int {\frac{{{{\ln }^2}x}}{x}} dx = \int {{t^2}dt}  = \frac{{{t^3}}}{3} + C\)\( \Rightarrow a = \frac{1}{3} \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \;{\rm{d}}x =  - \cot x + C\)

Phương pháp giải:

\(a\left( t \right) = v'\left( t \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}  = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt} \)\( = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\)

\(v\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow 3\ln 1 + C = 6\)\( \Rightarrow C = 6\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow v\left( t \right) = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\\ \Rightarrow v\left( {10} \right) = 3\ln 11 + 6\end{array}\)

Phương pháp giải:

Bán kính \(R = \frac{{AB}}{2}\)

Độ dài đoạn thẳng AB: \(\sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)

Diện tích mặt cầu bán kính R: \(S = 4\pi {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

\(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}{2}\)\( = \sqrt 3 \)

\(S = 4\pi {R^2} = 12\pi \)

Phương pháp giải:

Mặt cầu tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) bán kính R: \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) bán kính R=2 có phương trình là:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\)

Phương pháp giải:

Hình chiếu của \(M\left( {x;y;z} \right)\) lên (Oxz) là \(M'\left( {x;0;z} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu của điểm \(A(1;2;3)\) lên mặt phẳng (Oxz) là:

\(B(1;0;3)\)

Phương pháp giải:

\(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  = f\left( b \right) - f\left( a \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx}  = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2\)

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích hình phẳng.

Lời giải chi tiết:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Phương pháp giải:

\(\int\limits_a^b {\left[ {k.f\left( x \right)} \right]dx}  = k.\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right)} \right]dx} \)\( = 2.\int_1^2 f (x){\rm{d}}x = 2.3 = 6\)

Phương pháp giải:

Đường thẳng qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\) làm vecto chỉ phương có phương trình chính tắc: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A(3; - 2;4)\) và có vecto chỉ phương \(\vec u = (2; - 1;6)\) là: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{6}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng MTCT, bật Mode 2.

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{2 + 3i}}{{1 + i}} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\)

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  \bot \left( P \right)\).

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vecto chỉ phương của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow a  = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) nên \(\vec a = (1; - 1;2)\) là một vecto chỉ phương của đường thẳng vuông góc với (P).

Phương pháp giải:

\(\left( {a + bi} \right) \pm \left( {c + di} \right)\)\( = \left( {a \pm c} \right) + \left( {b \pm d} \right)i\)

Lời giải chi tiết:

\({z_1} + {z_2} = \left( {1 + i} \right) + \left( {a - bi} \right)\)\( = \left( {1 + a} \right) + \left( {1 - b} \right)i\)

Phương pháp giải:

Mặt phẳng qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(3.x - \left( {y + 1} \right) - 2z = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - y - 2z - 1 = 0\)

Phương pháp giải:

Ứng dụng tích phân tính thể tích.

Lời giải chi tiết:

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Phương pháp giải:

Xác định a, b.

Tính  \(\frac{a}{b}\)

Lời giải chi tiết:

Phần thực là \(\frac{1}{4}\), phần ảo là \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\(\frac{a}{b} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{1}{4}.\sqrt 2  = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

Phương pháp giải:

Tìm z bằng MTCT: bật Mode 2.

Tính |w|.

Lời giải chi tiết:

\(\left( {3 - i} \right)z - 2 = 6i \Rightarrow z = \frac{{2 + 6i}}{{3 - i}} = 2i\)

\(\begin{array}{l}w = 2z - 3 = 2.2i - 3 =  - 3 + 4i\\ \Rightarrow \left| w \right| = 5\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}z = \frac{{a + 2i}}{{1 - i}} \Rightarrow \left| z \right| = \frac{{\left| {a + 2i} \right|}}{{\left| {1 - i} \right|}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + 4} }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {10} \\ \Rightarrow \sqrt {{a^2} + 4}  = \sqrt {20} \\ \Leftrightarrow {a^2} + 4 = 20\\ \Leftrightarrow {a^2} = 16\\ \Leftrightarrow a =  \pm 4\end{array}\)

=> Có 2 giá trị thỏa mãn bài toán.

Phương pháp giải:

\(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\)

Lời giải chi tiết:

\(F(x) = \int {\left( {{x^2} - 2} \right)dx}  = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x + C\)

Phương pháp giải:

Cho t=-1. Thay vào hệ phương trình tìm x,y,z.

Lời giải chi tiết:

Thay t=-1 vào hệ phương trình ta được x=-1;y=-4;z=3

Phương pháp giải:

Sử dụng MTCT, Mode 5 -> 3. Bấm hệ số vào tìm nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\({z^2} + 5 = 0 \Leftrightarrow z =  \pm \sqrt 5 i\)

Phương pháp giải:

Điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\) là: \(M\left( {a;b} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Điểm biểu diễn của số phức \(z = 2 + 3i\) là \(M(2;3)\)

Phương pháp giải:

Tìm \(\overrightarrow {AB} \).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A,B nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm vecto chỉ phương.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2; - 2} \right)\)

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A(3; - 1;2)\) và \(B(4;1;0)\) là:

\(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\)

Phương pháp giải:

Đặt x+1=t. Đưa về tích phân biến t.

\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} \)

Lời giải chi tiết:

Đặt x+1=t.

\(\int_0^2 f (x + 1)dx = \int_1^3 {f\left( t \right)dt} \)\( = \int_1^2 f (x)dx - \int_3^2 f (x)dx = 2 - 5 =  - 3\)

Phương pháp giải:

Sử dụng MTCT, Mode 5 -> 3. Bấm hệ số vào tìm nghiệm.

Tính \(i{z_0}\)

Điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\) là: \(M\left( {a;b} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}2{z^2} - 6z + 5 = 0. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\\z = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i\end{array} \right.\\ \Rightarrow {z_0} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow i.{z_0} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\\ \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\end{array}\)

Phương pháp giải:

Phần diện tích trên Ox: \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

Dưới Ox: \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  =  - \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

Diện tích phần tô đậm:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  + \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\left( {a + bi} \right) \pm \left( {c + di} \right)\)\( = \left( {a \pm c} \right) + \left( {b \pm d} \right)i\)

Lời giải chi tiết:

\({z_1} - {z_2} = \left( {2 + i} \right) - \left( {2 - i} \right) = 2i\)

Phương pháp giải:

Mặt phẳng trung trực của AB là mặt phẳng qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AB.

=>\(I\left( {2;1;2} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 2;0} \right)\)

Mặt phẳng trung trực của AB: \(1.\left( {x - 2} \right) - 1.\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - y - 1 = 0\)

Phương pháp giải:

Tìm họ nguyên hàm của f(x).

Thay x=2 vào tìm hằng số C.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}F(x) = \int {\frac{1}{{x - 1}}dx}  = \ln \left| {x - 1} \right| + C\\F\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow \ln \left| {2 - 1} \right| + C = 1 \Rightarrow C = 1\\ \Rightarrow F\left( 3 \right) = \ln 2 + 1\end{array}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đặt:

\(\begin{array}{l}u = x - 1,dv = \cos xdx\\\int\limits_a^b {udv}  = \left. {\left( {uv} \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(x - 1)} \cos xdx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x - 1} \right)d\left( {\sin x} \right)} \\ = \left. {\left[ {\left( {x - 1} \right)\sin x} \right]} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \\ = \frac{\pi }{2} - 1 - 1 = \frac{{\pi  - 4}}{2} \Rightarrow a = 4,b = 2\\ \Rightarrow {a^2} + b = 20\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\frac{1}{z} = \frac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\frac{1}{z} = \frac{1}{{ai}} = \frac{{ - ai}}{{{a^2}}} =  - \frac{1}{a}i\)

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P):

\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}d\left( {M,\left( P \right)} \right)\\ = \frac{{\left| {1.1 + 2.2 - 2.\left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\\ = 3\end{array}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Đặt \(u = \ln \left( {x - 1} \right),dv = xdx\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int x \ln (x - 1) \cdot dx\\ = \frac{1}{2}\int {\ln \left( {x - 1} \right)d\left( {{x^2}} \right)} \\ = \frac{1}{2}{x^2}\ln \left( {x - 1} \right) - \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}dx} \\ = \frac{1}{2}{x^2}\ln \left( {x - 1} \right) - \frac{1}{2}\int {\left( {x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}} \right)dx} \\ = \frac{1}{2}{x^2}\ln \left( {x - 1} \right) - \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\ln \left( {x - 1} \right) + C\end{array}\)

Phương pháp giải:

Tìm vtcp của d và vtpt của \((\alpha )\)

\((\beta )\) vuông góc với \((\alpha )\) và chứa d thì có vtpt vuông góc với vtcp của d và vtpt của \((\alpha )\).

Tính tích có hướng của 2 vecto này.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {2; - 3;1} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1;1;1} \right) = \overrightarrow {{n_{\left( \beta  \right)}}} \)

Phương trình \((\beta )\) qua \(A\left( {0; - 1;2} \right)\) là: \(x + y + 1 + z - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\)

Phương pháp giải:

Đưa về bài toán Oxy.

M, A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn \(z,{z_1} =  - 4 - i,{z_2} = 4 + 3i,\)\({z_0} =  - 6 + 4i\).

Lời giải chi tiết:

Gọi M, A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn \(z,{z_1} =  - 4 - i,{z_2} = 4 + 3i,\)\({z_0} =  - 6 + 4i\).

Khi đó ta có \(AB = \left| {{z_2} - {z_1}} \right| = 4\sqrt 5 \)

\(\begin{array}{l}MA = |z + 4 + i|,MB = |z - 4 - 3i|\\ \Rightarrow MA + MB = AB\end{array}\)

\(CA = \left| {{z_1} - {z_0}} \right| = \sqrt {29} ,\)\(CB = \left| {{z_2} - {z_0}} \right| = \sqrt {101} \)

Do đó M là điểm thuộc đoạn thẳng AB.

\(P = M{C_{\max }}\)\( \Leftrightarrow MC = \max \left\{ {CA,CB} \right\} = CB\)\( = \sqrt {101} \)

Phương pháp giải:

Diện tích hình lục giác đều cạnh a: \(S = 6.\frac{{{a^2}.\sqrt 3 }}{4}\)

Tính diện tích 1 cánh hoa: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) và trục Ox.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình lục giác đều cạnh 4 dm : \(S = 6.\frac{{{4^2}.\sqrt 3 }}{4} = 24\sqrt 3 \left( {d{m^2}} \right)\)

Gắn trục tọa độ Oxy cho cánh hoa:

Diện tích 1 cánh hoa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\)

Từ đồ thị ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 0\\c = 5\\4a + 2b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c = 5\\a =  - \frac{5}{4}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow y =  - \frac{5}{4}{x^2} + 5\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị trên và Ox là: \({S_{1ch}} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| { - \frac{5}{4}{x^2} + 5} \right|dx}  = \frac{{40}}{3}\left( {d{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích của hình cần tìm là: \(S = 24\sqrt 3  + 80\left( {d{m^2}} \right)\)