Phương pháp giải:

Chia số phức \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{z_1}.\overline {{z_2}} }}{{{{\left| {{z_2}} \right|}^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + i} \right)^2}z = 6 + 2i\\ \Leftrightarrow z = \dfrac{{6 + 2i}}{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}}} = 1 - 3i\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết:

\(S = \int\limits_0^3 {\sqrt {4 - x} dx}  = \dfrac{{14}}{3}\)

Phương pháp giải:

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  \Leftrightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow 3m{x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 3{x^2} - 4x + 5\\ \Leftrightarrow m = 1\end{array}\)

Phương pháp giải:

Công trừ các tọa độ tương ứng.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow x  = \left( {1; - 1;2} \right) + \left( {3;0; - 1} \right) - \left( { - 2;5;1} \right)\)\( = \left( {6; - 6;0} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng MTCT

Lời giải chi tiết:

\({x^2} + 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2 + i\\x =  - 2 - i\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Mặt cầu \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\)có tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) bán kính R.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4 = {2^2}\\ =  > I\left( {0; - 3;1} \right),R = 2\end{array}\)

Phương pháp giải:

Nguyên hàm từng phần.

Đặt \(u = x,dv = \sin xdx\)

Lời giải chi tiết:

\(\int {x.\sin x} dx =  - \int {xd\left( {\cos x} \right)} \)\( =  - x.\cos x + \int {\cos xdx} \)\( =  - x\cos x + \sin x + C\)

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} - 2x + m} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {{x^3} - {x^2} + mx} \right)} \right|_0^1 = m \Rightarrow m = 1\)

Phương pháp giải:

Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)\):

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( { - 1;2;3} \right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;3;1} \right)\):

\(\begin{array}{l} - 2\left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) + 1.\left( {z - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 2x + 3y + z - 11 = 0\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|;\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\)

Lời giải chi tiết:

\(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \left| {\left( {4 - i} \right).\left( {1 + i} \right)} \right|\)\( = \left| {4 - i} \right|.\left| {1 + i} \right| = \sqrt {17} .\sqrt 2  = \sqrt {34} \)

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = {e^x} - 1\).

Tìm nguyên hàm theo t.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {e^x} - 1\).

\(dt = {e^x}dx\)

\( \Rightarrow \int {12{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^5}.{e^x}dx}  = \int {12{t^5}dt} \)\( = 2{t^6} + C = 2.{\left( {{e^x} - 1} \right)^6} + C\)

Phương pháp giải:

Tìm \(\overrightarrow {AB}  = \left( {a;b;c} \right)\).

Phương trình chính tắc của AB đi qua  \(A\left( {{x_0};{y_0};{x_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {a;b;c} \right)\) làm vtcp: \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 3;2} \right)\\ \Rightarrow AB:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 3}}{2}\end{array}\)

Phương pháp giải:

Tìm hoành độ giao điểm của \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành: a và b.

Thể tích : \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Sử dụng MTCT tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của cong \(y = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\) và trục hoành là 2 và -1.

Thể tích : \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}dx}  = \dfrac{{81\pi }}{{10}}\)

Phương pháp giải:

\(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int {f\left( x \right)dx}  + \int {g\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

\(F\left( x \right) = \int {\left( {2{e^x} + \sin x} \right)dx} \)\( = 2\int {{e^x}dx + \int {\sin xdx}  = } \)\(2{e^x} - \cos x + C\)

Phương pháp giải:

Sử dụng MTCT. Chuyển sang Mode 2.

Lời giải chi tiết:

\(z =  - 2 + 3i \Rightarrow M\left( { - 2;3} \right)\) là điểm biểu diễn

Phương pháp giải:

Tìm

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {NM} \\\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \overrightarrow {NM}  \wedge \overrightarrow {{u_{Oy}}} \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {NM}  = \left( {2; - 2; - 1} \right),\overrightarrow {{u_{Oy}}}  = \left( {0;1;0} \right)\\\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \overrightarrow {NM}  \wedge \overrightarrow {{u_{Oy}}}  = \left( {1;0;2} \right)\\ \Rightarrow \left( P \right):x + 2z - 3 = 0\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}I \in Ox \Rightarrow I\left( {x;0;0} \right)\\A,B \in \left( S \right) \Rightarrow I{A^2} = I{B^2} = {R^2}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I \in Ox \Rightarrow I\left( {x;0;0} \right)\\A,B \in \left( S \right) \Rightarrow I{A^2} = I{B^2} = {R^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + 4 + 9 = {\left( {4 - x} \right)^2} + 36 + 4\\ \Leftrightarrow 6x = 42\\ \Leftrightarrow x = 7 \Rightarrow I\left( {7;0;0} \right)\\ \Rightarrow IA = 7 = R\\ \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 7} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 49\end{array}\)

Phương pháp giải:

Tìm \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) lần lượt là vtcp của d và d’.

\(\cos \left( {d,d'} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) lần lượt là vtcp của d và d’.

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = \left( {1; - \sqrt 2 ;1} \right),\overrightarrow {u'}  = \left( {1;\sqrt 2 ;m} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow {u'}  = m - 1\\\left| {\overrightarrow u } \right| = 2,\left| {\overrightarrow {u'} } \right| = \sqrt {{m^2} + 3} \end{array}\)

\(\cos \left( {d,d'} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \dfrac{{\left| {m - 1} \right|}}{{2\sqrt {{m^2} + 3} }}\)\( = \cos 60^\circ  = \dfrac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {m - 1} \right| = \sqrt {{m^2} + 3} \\ \Leftrightarrow m =  - 1\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \\\int\limits_a^b {k.f\left( x \right)dx}  = k.\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} \)\( = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  - 2.\int\limits_1^3 {g\left( x \right)dx} \)\( = 7 + 8 = 15\)

Phương pháp giải:

Tích phân từng phần.

Đặt \(u = 12x,dv = \cos xdx\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {12x\cos xdx}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {12xd\left( {\sin x} \right)} \\ = \left. {\left( {12x.\sin x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{6}} - 12.\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\sin xdx} \\ = \pi  + 12.\left. {\cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{6}}\\ = \pi  + 6\sqrt 3  - 12\\ \Rightarrow a = 1,b = 6;c =  - 12\\ \Rightarrow a + b - c = 1 + 6 + 12 = 19\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(B \in Oz \Rightarrow B\left( {0;0;z} \right)\) thay vào (S) tìm z.

Kiểm tra vecto chỉ phương của các đáp án.

Lời giải chi tiết:

\(I\left( { - 2;0;1} \right)\)

\(B \in Oz \Rightarrow B\left( {0;0;z} \right)\) thay vào (S)  ta được:

\(4 + 0 + \left( {z - 1} \right) = 13 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 4\\z =  - 2\end{array} \right.\)

Với

\(\begin{array}{l}z = 4 \Rightarrow IB = \left( {2;0;3} \right)\\ \Rightarrow IB:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 0\\z = 4 + 3t\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\left( {t' - 1} \right)\\y = 0\\z = 4 + 3\left( {t' - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t'\\y = 0\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\int {\dfrac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}dx}  =  - \dfrac{1}{{a.\left( {ax + b} \right)}} + C\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int {\dfrac{6}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}dx}  = 6.\left[ { - \dfrac{1}{{2\left( {2x - 3} \right)}}} \right] + C\\ = \dfrac{3}{{3 - 2x}} + C\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{z_1}.{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(P = z_1^2 + z_2^2\)\( = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}.{z_2}\)\( = {\left( { - 2} \right)^2} - 2.10 =  - 16\)

Phương pháp giải:

Tìm mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với BC

=>H là giao điểm của (P) và BC.

\(H \in BC =  > \) tham số hóa H. Thay vào phương trình (P) tìm H.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {BC}  = \left( {3; - 3;6} \right)\)

(P) qua A và vuông góc với BC: \(x - y + 2z - 9 = 0\).

BC qua B và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1;2} \right)\) làm vecto chỉ phương nên \(BC:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\)

=>H là giao điểm của (P) và BC.

\( \Rightarrow H\left( {t;1 - t; - 1 + 2t} \right)\). Thay tọa độ H vào (P):

\(\begin{array}{l}t - \left( {1 - t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) - 9 = 0\\ \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow H\left( {2; - 1;3} \right)\end{array}\)

Phương pháp giải:

Đặt \(\ln x = t\). Đưa về tích phân biến t.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\ln x = t\)

=> \(dt = \dfrac{{dx}}{x}\)

Đổi cận:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\rm{I}} = \int_e^5 {\dfrac{{\ln {\rm{x}} + 3}}{{\rm{x}}}} {\rm{dx = }}\int\limits_1^{\ln 5} {\left( {t + 3} \right)dt} \\ = \dfrac{{{{\ln }^2}5}}{2} + 3\ln 5 - \dfrac{7}{2}\\ \Rightarrow a = 3,b = 7\end{array}\)

Phương pháp giải:

(S) tiếp xúc với (P) khi \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\)

Lời giải chi tiết:

(S) tiếp xúc với (P) khi \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R = 3\\ \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\end{array}\)

Phương pháp giải:

Tính AB, AC. Chứng minh ABC cân tại A.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 3;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {26} \\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;1;4} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {26} \\ \Rightarrow AB = AC\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A.

=>Chân đường phân giác trong góc A là trung điểm của BC.

D là trung điểm của BC.

=>\(D( - 1;1;3)\)

Phương pháp giải:

Tìm 2 hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số ứng với \(x \in \left( { - \infty ;2} \right)\) thì tìm \(f(1)\).

Hàm số ứng với \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\) thì tìm \(f(3)\).

Lời giải chi tiết:

\(f'\left( x \right) = \left| {2x - 4} \right| = \left\{ \begin{array}{l}2x - 4khix > 2\\4 - 2xkhix < 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {2x - 4} \right)dx = } {x^2} - 4x + {C_1}\) khi x>2

Và \(f\left( x \right) = \int {\left( {4 - 2x} \right)dx = } 4x - {x^2} + {C_2}\) khi x<2

Do 0<2 nên ta thay x=0 vào \(f\left( x \right) = 4x - {x^2} + {C_2}\)\( \Rightarrow {C_2} =  - 1\)\( \Rightarrow f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 1\).\( \Rightarrow f\left( 1 \right) = 2\)

Do 4>2 nên ta thay x=4 vào \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + {C_1} \Rightarrow {C_1} = 3\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\)

\( \Rightarrow f\left( 3 \right) = 0\)\( \Rightarrow f(1) + f(3) = 2\)

Phương pháp giải:

Tách \({x^3} = {x^3}.\left[ {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2} - {x^2}} \right]\).

Khử mẫu.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\dfrac{{{x^3}}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \\ = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\dfrac{{{x^3}.\left[ {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2} - {x^2}} \right]}}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \\ = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^3}.\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - x} \right)dx} \\ = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^3}.\sqrt {{x^2} + 1} dx}  - \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{x^4}dx} \\ = \dfrac{{58}}{{15}} - \dfrac{{9\sqrt 3 }}{5} = \dfrac{{58 - 27\sqrt 3 }}{5}\\ \Rightarrow a = 58,b =  - 27,c = 3\\ \Rightarrow a + b - {c^2} = 22\end{array}\)

Phương pháp giải:

VTCP của D: \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]\)

Nếu \({d_1} \bot {d_2}\) thì dựng mặt phẳng (P) qua \({{\rm{d}}_1}\) và vuông góc với\({{\rm{d}}_2}\).

Tìm giao điểm H của (P) với \({{\rm{d}}_2}\)

D đi qua H và nhận \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]\) làm vecto chỉ phương.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({d_1} \bot {d_2}\)

\(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( { - 1; - 2;1} \right)\)

Gọi (P) là mặt phẳng qua \({{\rm{d}}_1}\) và vuông góc với\({{\rm{d}}_2}\).

=> (P) là mặt phẳng qua A(2;1;2) và nhận \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}}  = \left( {1;0;1} \right)\) làm vtpt.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( P \right):1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {z - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + z - 4 = 0\end{array}\)

H là giao điểm của (P) với \({{\rm{d}}_2}\). Khi đó \(H\left( {t;3; - 2 + t} \right)\). Thay vào (P):

\(t - 2 + t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 3\)\( \Rightarrow H\left( {3;3;1} \right)\)

\(D:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 3 + 2t\\z = 1 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức: \(\left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \ge \left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right|\)

Lời giải chi tiết:

\(|{\rm{z}} - 2 + 8{\rm{i}}|\)\( = \left| {\left( {z - 5 + 4i} \right) + \left( {3 + 4i} \right)} \right|\)\( \ge \left| {|{\rm{z}} - 5 + 4{\rm{i}}| - \left| {3 + 4i} \right|} \right|\)=2

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(I{H^2} + {r^2} = {R^2}\) với IH là khoảng cách từ tâm của (S) đến \(\left( \alpha  \right)\), r là bán kính đường tròn giao tuyến, R là bán kính mặt cầu (S).

Lời giải chi tiết:

\((S)\): \({{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2} + {{\rm{z}}^2} - 2{\rm{x}} + 6{\rm{y}} + 2{\rm{z}} + 2 = 0\)

=> Tâm \(I\left( {1; - 3; - 1} \right),R = 3\)

Giả sử (P): x+2y+c=0 (\(c \ne 0\))

\(IH = d\left( {I,\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 6 + c} \right|}}{{\sqrt 5 }}\)\( = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt 5 \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {c - 5} \right| = 5 \Leftrightarrow c = 10\\ \Rightarrow \left( P \right):x + 2y + 10 = 0\end{array}\)

Phương pháp giải:

Kiểm tra vị trí tương đối của E và F đối với (Oxy).

Lấy điểm E’ đối xứng E qua (Oxy).

Nhận xét mỗi quan hệ E’M+MF và E’F

Lời giải chi tiết:

Ta có (Oxy) có phương trình : z=0

Do \({z_E},{z_F} > 0\) nên E và F cùng nằm phía so với (Oxy).

Lấy điểm E’ đối xứng E qua (Oxy) nên \(E'\left( {1;3; - 3} \right)\).

Khi đó \(ME + MF = E'M + MF \ge E'F\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(E',M,F\) thẳng hàng.

\(\overrightarrow {E'F}  = \left( { - 4; - 2;4} \right)\). Phương trình đường thẳng E’F: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\z =  - 3 - 2t\end{array} \right.\).

M là giao điểm của E’F và (Oxy). Nên \(M\left( {1 + 2t;3 + t; - 3 - 2t} \right)\) thay vào (Oxy) ta được \(t =  - \dfrac{3}{2} \Rightarrow M\left( { - 2;\dfrac{3}{2};0} \right)\)

Phương pháp giải:

Giải phương trình giao điểm của d và d’.

Lời giải chi tiết:

Giả sử M là giao điểm của d và d’.

Khi đó

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{x}}_M} = 1 + {\rm{t = 2 + s}}}\\{{{\rm{y}}_M} = 2 - {\rm{t = 1 - s}}}\\{{{\rm{z}}_M} =  - 2 - 2{\rm{t = 1}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{3}{2}\\s =  - \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\)

=> d cắt d’

Phương pháp giải:

Tìm hàm số v(t) dựa vào đồ thị.

\(s\left( t \right) = \int\limits_0^t {v\left( t \right)dt} \) là quãng đường xe đi được đến thời điểm t.

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị ta thấy, \(v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = 15\\a{.15^2} + b.15 + c = 60\\c = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{4}{{15}}\\b = 8\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow v\left( t \right) =  - \dfrac{4}{{15}}{t^2} + 8t\end{array}\)

\(s\left( t \right) = \int\limits_0^t {v\left( t \right)dt} \) là quãng đường xe đi được đến thời điểm t.

\( \Rightarrow s\left( {15} \right) = \int\limits_0^{15} {v\left( t \right)dt}  = 600\)

Phương pháp giải:

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết:

Thể tích vật tròn xoay được sinh ra là:

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\left( {\sqrt {\tan x} } \right)}^2}dx} \\ = \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\tan xdx} \\ = \pi .\left. {ln\left| {\cos x} \right|} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = \pi .\ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Phương pháp giải:

Gọi \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)

\(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Số thuần ảo là số có phần thực bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)

\(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2\).

\({z^2} = {a^2} - {b^2} + 2ab.i\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 0\)

Khi đó a và b là nghiệm của hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 2\\{a^2} - {b^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 1\\a = b =  - 1\\a = 1,b =  - 1\\a =  - 1.b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + i\\z =  - 1 - i\\z = 1 - i\\z =  - 1 + i\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 4 số phức thỏa mãn điều kiện bài toán.

Phương pháp giải:

+) Tìm điểm chung của (P) và (Q): Cho  z=0. Thay vào 2 phương trình tìm x và y.

+) Vecto chỉ phương của giao tuyến là: \(\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right]\)

Lời giải chi tiết:

Cho \(z = 0\). Thay vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - z - 3 = 0\\x + y + z - 1 = 0\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {2; - 1;0} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {2; - 3;1} \right)\)

Phương trình đường thẳng giao tuyến của (P) và (Q) đi qua M và nhận \(\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {2; - 3;1} \right)\) làm vecto chỉ phương: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 1 - 3t\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)