Phương pháp giải:

Đưởng tròn đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB và \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} }}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AB.

=> I(3;2), \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 2 \)

Đường tròn đường kính AB là:

\({(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} = 2\).

Phương pháp giải:

Phương trình qua A(a;0), B(0;b) là \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình qua A(3;0), B(0;-1) là \(\dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{1} = 1\)

Phương pháp giải:

\(a{x^2} + bx + c < 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 < 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\left( {m - 2} \right){m^2}.\left( {m + 2} \right) < 0\end{array} \right.\end{array}\)

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có :

\(\begin{array}{l}m \in \left( { - 2;0} \right) \cup \left( {0;2} \right)\\ \Rightarrow S = \left\{ { - 1;1} \right\}\end{array}\)

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 4x + 3}} \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} \le 0\end{array}\)

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 1;1} \right]\)

Phương pháp giải:

\(\cos x,\tan x\) cùng dấu thì sinx>0

Lấy \({3^{2021}}\pi \) và \(\dfrac{5}{2}\pi \)chia cho \(2\pi \)

\(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {x + k2\pi } \right) = \sin x\\\cos \left( {x + k2\pi } \right) = \cos x\end{array} \right.\forall k \in \mathbb{Z}\)

\(\sin \left( {x + \pi } \right) =  - \sin \pi ,\)\(\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right) =  - \sin x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin \left( {x + {3^{2021}}\pi } \right) = \sin \left( {x + \pi } \right) =  - \sin x\\\cos \left( {x - \dfrac{5}{2}\pi } \right) = \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right) =  - \sin x\end{array}\)

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{5\left| {\sin \left( {x + {3^{2021}}\pi } \right)} \right|}}{{\sin \left( {x + {3^{2021}}\pi } \right)}} - \dfrac{{\left| {\cos \left( {x - \dfrac{{5\pi }}{2}} \right)} \right|}}{{\cos \left( {x - \dfrac{{5\pi }}{2}} \right)}}\\ =  - 5 + 1 =  - 4\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\sqrt {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \) xác định \( \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \ge 0\)

Lời giải chi tiết:

\(y = \sqrt {\dfrac{{2{x^4} + 1}}{{ - {x^2} + 5x - 6}}} \) xác định khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2{x^4} + 1}}{{ - {x^2} + 5x - 6}} \ge 0\\ \Leftrightarrow  - {x^2} + 5x - 6 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < 2\end{array} \right. \Rightarrow D = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\end{array}\)

Phương pháp giải:

Tìm đường trung trực của AB và AC.

Tìm tâm I và bán kính R.

Lời giải chi tiết:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

=> M(1;-2), N(2;-1).

Gọi \({d_1},{d_2}\) lần lượt là đường trung trực của AB, AC.

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 4} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 2} \right)\)

=> \(\begin{array}{l}{d_1}: - \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y =  - 2\\{d_2}:1.\left( {x - 2} \right) - \left( {y + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - y - 3 = 0\end{array}\)

Gọi I là giao điểm của \({d_1},{d_2}\). Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.

\(\begin{array}{l} =  > I\left( {1; - 2} \right),IA = 2\\ =  > \left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\dfrac{l}{R} = \alpha \).

\(l\) là độ dài cung, R là bán kính đường tròn, \(\alpha \) là số đo cung (rađian)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(l = 3R \Rightarrow \alpha  = \dfrac{l}{R} = 3\)

Phương pháp giải:

Sắp thứ tự các giá trị theo thứ tự không giảm.

Nếu có n số liệu, n lẻ \(\left( {n = 2k + 1} \right)\) thì số trung vị là \({x_{k + 1}}\)

Nếu có n số liệu, n chẵn \(\left( {n = 2k} \right)\) thì số trung vị là \(\dfrac{{{x_k} + {x_{k + 1}}}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

n=45 nên số trung vị là \({x_{23}}\). Do 22 số đầu là các số 5,6,7.

Phương pháp giải:

\(\overline x  = \dfrac{{{n_1}.{x_1} + {n_2}.{x_2} + ... + {n_k}.{x_k}}}{n}\)

\(\overline x \) và số trung bình cộng. các giá trị \({x_i},{n_i}\) lần lượt là số điểm và số các số \({x_i}\) tương ứng.

Lời giải chi tiết:

\(\overline x  = \dfrac{{2.8 + 1.4 + 2.6 + 4.9}}{9} = 7,6\)

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \\\sin \left( {180^\circ  - \widehat A} \right) = \sin \widehat A\\\cos \left( {90^\circ  - \widehat A} \right) = \sin \widehat A\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \\ \Rightarrow \sin \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = \sin \left( {180^\circ  - \widehat A} \right) = \sin \widehat A\\\cos \left( {\dfrac{{\widehat A + \widehat C}}{2}} \right) = \cos \left( {90^\circ  - \dfrac{{\widehat B}}{2}} \right) = \sin \dfrac{{\widehat B}}{2}\\\cos \left( {\widehat A + \widehat B} \right) =  - \cos \widehat C\end{array}\)

Phương pháp giải:

,\(M(2;2) \in {d_1}\)

\(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d\left( {M,{d_2}} \right)\)\( = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải chi tiết:

,\(M(2;2) \in {d_1}\)

\(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d\left( {M,{d_2}} \right)\)\( = \dfrac{{|3 \cdot 2 - 4 \cdot 2 - 1\mid }}{5}\)\( = \dfrac{3}{5} = 0,6\)

Phương pháp giải:

Nếu \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\):

Thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với a trong \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\) và trái dấu a trong các khoảng còn lại.

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - \dfrac{7}{4}\end{array} \right.\)

Bảng xét dấu:

Phương pháp giải:

\(\sin \alpha  = \dfrac{1}{4},\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \alpha  < 0}\\{\tan \alpha  < 0}\\{\cot \alpha  < 0.}\end{array}} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = \dfrac{{15}}{{16}}\\ \Rightarrow \cos \alpha  =  - \dfrac{{\sqrt {15} }}{4}\end{array}\)

\(\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{ - \sqrt {15} }}{{15}}\quad \) \(\cot \alpha  =  - \sqrt {15} \)

Phương pháp giải:

\(R = IA\)

Lời giải chi tiết:

\(R = IA = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{(2)}^2}}  = 2\sqrt 2 \)

\((C):{(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} = I{A^2}\)

\( \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} = 8\)

Phương pháp giải:

Tìm TXĐ.

\(\sqrt {f\left( x \right)}  < g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) < {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {2{x^4} + 8 - 8}  < 8 - 4x\) (1)

Điều kiện:

\(\begin{array}{l}2{x^2} + 15x - 8 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{1}{2}\\x \le  - 8\end{array} \right.\\ \Rightarrow D = \left( { - \infty ; - 8} \right] \cup \left[ {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 - 4x > 0}\\{{{(8 - 4x)}^2} > 2{x^2} + 15x - 8}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\14{x^2} - 79x + 72 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\\left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{9}{2}\\x < \dfrac{8}{7}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x < \dfrac{8}{7}\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện xác định ta được \(S = \left( { - \infty ; - 8} \right] \cup \left[ {\dfrac{1}{2};\dfrac{8}{7}} \right)\)

Phương pháp giải:

Xét \(m \le  - 3\) và \(m >  - 3\) rồi tìm tập nghiệm trong các trường hợp.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {2x - m} \right| = 2x - m\\2x + 3 \ge 0\end{array} \right.\)

TH1: \(m \le  - 3\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2x - m \ge 2x + 3 \ge 0\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - m = 2x - m\\2x + 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow S = \left[ { - \dfrac{3}{2}; + \infty } \right)\end{array}\)

TH2: \(m >  - 3\)

Nếu \(2x - m \ge 0\) thì

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{m}{2} >  - \dfrac{3}{2}\\x \ge  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{m}{2}\)\( \Rightarrow S = \left( {\dfrac{m}{2}; + \infty } \right)\)

Nếu \(2x - m < 0\) thì hệ vô nghiệm.

Phương pháp giải:

Đưa \({d_2}\) về dạng tổng quát.

Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với \({d_2},{d_3}\) nên \(d\left( {I,{d_2}} \right) = d\left( {I,{d_3}} \right) = R\)

Lời giải chi tiết:

\({n_2} = \left( {1;2} \right),{d_2} \bot {d_3}\)

=>\({d_2}:x + 1 + 2(y - 0) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 2y + 1 = 0\)

\(I( - 3 + t;1 + 2t)\)

Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với \({d_2},{d_3}\) nên \(d\left( {I,{d_2}} \right) = d\left( {I,{d_3}} \right) = R\)

\(\dfrac{{| - 3 + t + 2(1 + 2t) + 1|}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{|2( - 3 + t) - (1 + 2t) + 2\mid }}{{\sqrt 5 }}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( { - 2;3} \right)\\I\left( { - 4; - 1} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}d\left( {I,{d_2}} \right) = \sqrt 5 \\d\left( {I,{d_2}} \right) = \sqrt 5 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\\{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\end{array} \right.\end{array}\)

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt: \(0 < d(I,d) < 2\)

Diện tích: \({S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}{R^2} \cdot \sin \alpha \)

Lời giải chi tiết:

\(0 < d(I,d) < 2\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{| - m + 1|}}{{\sqrt m  + 1}} < 2\)

\( \Leftrightarrow {(1 - m)^2} < 4\left( {{m^2} + 1} \right)\) (Luôn đúng).

Vậy d luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.

\({S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}{R^2} \cdot \sin \alpha  = 2\sin \alpha  \le 2\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ =khi

\(\sin \alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow \alpha  = {90^0 }\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {I,d} \right) = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {1 - m} \right)^2} = 2\left( {{m^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow m =  - 1\end{array}\)