Phương pháp giải:

Chuyển vế rồi quy đồng.

Sử dụng dấu của nhị thức bậc nhất.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\dfrac{3}{{x + 1}} \ge - 2 \Leftrightarrow \dfrac{3}{{x + 1}} + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 5}}{{x + 1}} \ge 0\end{array}\)

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta thấy \(\dfrac{{2x + 5}}{{x + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - \dfrac{5}{2}\\x > - 1\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

\(\sqrt {f\left( x \right)} \le g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) \le {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 10x + 9} \le 2x - 3\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 10x + 9 \ge 0\\2x - 3 \ge 0\\{x^2} - 10x + 9 \le {\left( {2x - 3} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 9\\x \le 1\end{array} \right.\\x \ge \dfrac{3}{2}\\3{x^2} - 2x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 9\\\left[ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{3}{2}\\x \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \ge 9\end{array}\)

Vậy \(S = \left[ {9; + \infty } \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)

Xác định dấu của \(\cos x\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\ \Rightarrow \left| {\cos x} \right| = \sqrt {1 - \dfrac{1}{9}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\\\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos x < 0\\ \Rightarrow \cos x = - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ = \sin \alpha .\cos \dfrac{\pi }{6} + \cos \alpha .\sin \dfrac{\pi }{6}\\ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}.\dfrac{1}{2}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 + 2\sqrt 2 }}{6}\end{array}\)

\(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}x - 1 = 2.\dfrac{8}{9} - 1 = \dfrac{7}{9}\)

Phương pháp giải:

Biến đổi vế trái về vế phải.

\(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}VT = \dfrac{{\cos 2x + 2{{\sin }^2}x}}{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}.\left( {1 + \tan x} \right)\\ = \dfrac{1}{{2{{\sin }^2}x + \sin 2x}}.\dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}\\ = \dfrac{1}{{2\sin x\left( {\sin x + \cos x} \right)}}.\dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}\\ = \dfrac{1}{{2\sin x.\cos x}} = \dfrac{1}{{\sin 2x}} = VP\end{array}\)

Phương pháp giải:

Đưa phương trình đường tròn về đạng chính tắc: \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {3^2} + {2^2} - 9\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {2^2}\end{array}\)

Vậy (C) có tâm I(-3;2), bán kính R=2.

Phương pháp giải:

\(\Delta '\) là tiếp tuyến của đường tròn (C)\( \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta '} \right) = R\) với I là tâm và R là bán kính đường tròn.

\(\Delta '\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) thì nhận \(\overrightarrow n \left( {b; - a} \right)\) làm vecto pháp tuyến.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\Delta '\) là tiếp tuyến cần tìm. khi đó \(\Delta ' \bot \Delta \) nên có dạng: \(4x + 3y + c = 0\).

Vì \(\Delta '\) là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên

\(\begin{array}{l}d\left( {I,\Delta '} \right) = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4.\left( { - 3} \right) + 3.2 + c} \right|}}{5} = 2\\ \Leftrightarrow \left| {c - 6} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 16\\c = - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ':4x + 3y + 16 = 0\\\Delta ':4x + 3y - 4 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Phương pháp giải:

Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

(d) cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B thì \({\left[ {d\left( {I,d} \right)} \right]^2} + {\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} = {R^2}\) theo Py- ta- go.

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( { - 2; - 1} \right)\) là \(a\left( {x + 2} \right) + b\left( {y + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow ax + by + 2a + b = 0\).

(d) cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B nên \({\left[ {d\left( {I,d} \right)} \right]^2} + {\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} = {R^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {I,d} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {a.\left( { - 3} \right) + b.2 + 2a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 1\\ \Leftrightarrow \left| { - a + 3b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} - 6ab + 9{b^2} = {a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow - 6ab + 8{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\3a = 4b\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(b = 0 \Rightarrow \left( d \right):x + 2 = 0\)

Với \(3a = 4b\). Chọn a=4,b=3. Khi đó \(\left( d \right):4x + 3y + 11 = 0\)

Vậy \(\left( d \right):x + 2 = 0\) hoặc \(\left( d \right):4x + 3y + 11 = 0\)