Giải đề thi học kì 2 toán lớp 10 năm 2020 - 2021 trường Lấp Vò 1

Làm bài

Câu hỏi 1 :

Lập bảng xét dấu và kết luận của \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 3x - 2\)

Phương pháp giải:

Giải phương trình f(x)=0.

\(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\) thì tam thức cùng dấu với a khi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và trái dấu với a khi \(x \in \left( {{x_1},{x_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\( - {x^2} + 3x - 2 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x = 1;x = 2\).

Khi đó \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 3x - 2 > 0\) ( trái dấu với -1) khi \(x \in \left( {1;2} \right)\) và \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 3x - 2 < 0\) (cùng dấu với -1) khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

Câu hỏi 2 :

Giải các bất phương trình sau:

Câu 1:

\(\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 4x + 3}} \ge 0\)

Phương pháp giải:

Giải \({x^2} + 4x + 3 = 0\).

Lập bảng xét dấu.

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 4x + 3}} \ge 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} \ge 0\)

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta có \(S = \left( { - 3; - 1} \right) \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

\(\sqrt {2{x^2} - 5x + 2}  \le 2 - x\)

Phương pháp giải:

\(\sqrt {f\left( x \right)}  \le g\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) \le {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sqrt {2{x^2} - 5x + 2}  \le 2 - x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\2{x^2} - 5x + 2 \ge 0\\2{x^2} - 5x + 2 \le {x^2} - 4x + 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\{x^2} - x - 2 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ - 1 \le x \le 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\ - 1 \le x \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left\{ 2 \right\} \cup \left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {1 - m} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 1\). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \(f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\).

Phương pháp giải:

\(a{x^2} + bx + c < 0\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left( {m - 1} \right)^2} + \left( {1 - m} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\1 < m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2\end{array}\)

Câu hỏi 4 :

Cho góc \(\alpha \) thỏa \(\cos \alpha  =  - \dfrac{3}{5}\left( {\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi } \right)\). Tính các giá trị: \(\sin \alpha ,\tan \alpha ,\cos 2\alpha \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1;\)\(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = \dfrac{{16}}{{25}}\\ \Rightarrow \left| {\sin \alpha } \right| = \dfrac{4}{5}\\\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \sin \alpha  = \dfrac{4}{5}\\ \Rightarrow \tan \alpha  =  - \dfrac{4}{3}\\\cos 2\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = \dfrac{{ - 7}}{{25}}\end{array}\)

Câu hỏi 5 :

Cho góc \(\alpha \) thỏa \(\cot \alpha  = 3\). Tính giá trị của

\(M = \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha  + 2{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha  + 2021{{\sin }^2}\alpha }}\)

Phương pháp giải:

Chia cả từ và mẫu của M cho \({\sin ^2}\alpha \)

Lời giải chi tiết:

\(\cot \alpha  = 3 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  \ne 0\)

Chia cả tử và mẫu của M cho \({\sin ^2}\alpha \) ta được:

\(\begin{array}{l}M = \dfrac{{1 + 2\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + 2\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}}}{{\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + 2021}}\\ = \dfrac{{1 + 2.\tan \alpha  + {{\tan }^2}\alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha  + 2021}} = \dfrac{5}{{406}}\end{array}\)

Vậy \(M = \dfrac{5}{{406}}\)

Câu hỏi 6 :

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;3), B(-6;2) và đường thẳng \(\left( \Delta  \right):x + y - 1 = 0\).

Câu 1:

Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

Phương pháp giải:

Tìm \(\overrightarrow {AB} \).

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 8; - 1} \right)\)=> AB nhận vecto \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 8} \right)\) làm vtpt nên có phương trình:

\(\begin{array}{l}AB:1\left( {x - 2} \right) - 8\left( {y - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x - 8y + 22 = 0\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Viết phương trình đường tròn (C) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \).

Phương pháp giải:

(C) tiếp xúc với \(\left( \Delta  \right)\) nên \(R = d\left( {A,\Delta } \right)\).

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\), \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và \(\left( \Delta  \right):ax + by + c = 0\).

Phương trình (C) qua \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) bán kính R là: \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

(C) tiếp xúc với \(\left( \Delta  \right)\) nên \(R = d\left( {A,\Delta } \right) = 2\sqrt 2 \).

Đường tròn tâm A bán kính \(2\sqrt 2 \) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 8\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Trong mặt phẳng Oxy, cho elip có phương trình chính tắc: \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Xác định tiêu cự, độ dài trục lớn, độ dài trục bé và tâm sai của elip?

Phương pháp giải:

\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có độ dài trục lớn là 2a, trục bé là 2b, tiêu cự 2c với \({c^2} = {a^2} - {b^2}\), tâm sai \(e = \dfrac{c}{a}\)

Lời giải chi tiết:

\(a = 5;b = 4\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 3 \Rightarrow 2c = 6\\2a = 10;2b = 8;e = \dfrac{3}{4}\end{array}\)

Câu hỏi 8 :

Với \(\alpha \) là góc (cung) làm cho các biểu thức đã cho có nghĩa. Rút gọn biểu thức sau:

\(A = \dfrac{{\sin 4\alpha  + 2\sin 2\alpha }}{{\sin 4\alpha  - 2\sin 2\alpha }}.\cot \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\)

Phương pháp giải:

\(\cot \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - x} \right) = \tan x\)

\(\sin 2x = 2\sin x.\cos x\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{\sin 4\alpha  + 2\sin 2\alpha }}{{\sin 4\alpha  - 2\sin 2\alpha }}.\cot \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\\ = \dfrac{{2\sin 2\alpha .\cos 2\alpha  + 2\sin 2\alpha }}{{2\sin 2\alpha .\cos 2\alpha  - 2\sin 2\alpha }}.\tan \alpha \\ = \dfrac{{\cos 2\alpha  + 1}}{{\cos 2\alpha  - 1}}.\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\\ = \dfrac{{2{{\cos }^2}\alpha }}{{ - 2{{\sin }^2}\alpha }}.\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\\ =  - \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} =  - \cot \alpha \end{array}\)

close