Phương pháp giải:

Giải phương trình f(x)=0.

\(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\) thì tam thức cùng dấu với a khi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và trái dấu với a khi \(x \in \left( {{x_1},{x_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\( - {x^2} + 3x - 2 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x = 1;x = 2\).

Khi đó \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 3x - 2 > 0\) ( trái dấu với -1) khi \(x \in \left( {1;2} \right)\) và \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 3x - 2 < 0\) (cùng dấu với -1) khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

Phương pháp giải:

\(a{x^2} + bx + c < 0\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left( {m - 1} \right)^2} + \left( {1 - m} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\1 < m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2\end{array}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1;\)\(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = \dfrac{{16}}{{25}}\\ \Rightarrow \left| {\sin \alpha } \right| = \dfrac{4}{5}\\\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \sin \alpha  = \dfrac{4}{5}\\ \Rightarrow \tan \alpha  =  - \dfrac{4}{3}\\\cos 2\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = \dfrac{{ - 7}}{{25}}\end{array}\)

Phương pháp giải:

Chia cả từ và mẫu của M cho \({\sin ^2}\alpha \)

Lời giải chi tiết:

\(\cot \alpha  = 3 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  \ne 0\)

Chia cả tử và mẫu của M cho \({\sin ^2}\alpha \) ta được:

\(\begin{array}{l}M = \dfrac{{1 + 2\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + 2\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}}}{{\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + 2021}}\\ = \dfrac{{1 + 2.\tan \alpha  + {{\tan }^2}\alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha  + 2021}} = \dfrac{5}{{406}}\end{array}\)

Vậy \(M = \dfrac{5}{{406}}\)

Phương pháp giải:

\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có độ dài trục lớn là 2a, trục bé là 2b, tiêu cự 2c với \({c^2} = {a^2} - {b^2}\), tâm sai \(e = \dfrac{c}{a}\)

Lời giải chi tiết:

\(a = 5;b = 4\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 3 \Rightarrow 2c = 6\\2a = 10;2b = 8;e = \dfrac{3}{4}\end{array}\)

Phương pháp giải:

\(\cot \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - x} \right) = \tan x\)

\(\sin 2x = 2\sin x.\cos x\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{\sin 4\alpha  + 2\sin 2\alpha }}{{\sin 4\alpha  - 2\sin 2\alpha }}.\cot \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\\ = \dfrac{{2\sin 2\alpha .\cos 2\alpha  + 2\sin 2\alpha }}{{2\sin 2\alpha .\cos 2\alpha  - 2\sin 2\alpha }}.\tan \alpha \\ = \dfrac{{\cos 2\alpha  + 1}}{{\cos 2\alpha  - 1}}.\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\\ = \dfrac{{2{{\cos }^2}\alpha }}{{ - 2{{\sin }^2}\alpha }}.\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\\ =  - \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} =  - \cot \alpha \end{array}\)