Phương pháp giải:

Đối với phương trình có căn thì điều kiện xác định \(\sqrt A \) là \(A \ge 0.\) 

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: 

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 9 \ge 0\\3 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\x \le 3\end{array} \right. \Rightarrow - 3 \le x \le 3.\)

Phương pháp giải:

Đối với phương trình có căn thì điều kiện xác định \(\sqrt A \) là \(A \ge 0.\) 

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: 

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 9 \ge 0\\3 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\x \le 3\end{array} \right. \Rightarrow - 3 \le x \le 3.\)

Phương pháp giải:

Phương trình bậc nhất  \(ax + b = 0\) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(a \ne 0\). Và nghiệm duy nhất đó là \(x =  - \frac{b}{a}.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}m(x - 1) = 5x + 2016\\ \Leftrightarrow mx - m - 5x - 2016 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 5} \right)x - m - 2016 = 0\end{array}\)

Phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow m - 5 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 5.\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 2 nghiệm trái dấu\(\Leftrightarrow ac < 0.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(2{x^2} - 2016(m + 1)x + m - 3 = 0\) có 2 nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow 2\left( {m - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow m - 3 < 0 \Leftrightarrow m < 3.\)  

Chọn D

Phương pháp giải:

Hàm phân thức \(\frac{A}{B}\) xác định \( \Leftrightarrow B \ne 0.\)

Hàm căn thức \(\sqrt A \) xác định \( \Rightarrow A \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}15 - 10x \ge 0\\12x - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{3}{2}\\x > \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow x \in \left( {\frac{1}{3};\frac{3}{2}} \right].\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Hàm phân thức \(\frac{A}{B}\) xác định \( \Leftrightarrow B \ne 0.\)

Hàm căn thức \(\sqrt A \) xác định \( \Rightarrow A \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}15 - 10x \ge 0\\12x - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{3}{2}\\x > \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow x \in \left( {\frac{1}{3};\frac{3}{2}} \right].\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Hàm phân thức \(\frac{A}{B}\) xác định \( \Leftrightarrow B \ne 0.\)

Hàm căn thức \(\sqrt A \) xác định \( \Rightarrow A \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ne 0\\x - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 5.\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Hàm phân thức \(\frac{A}{B}\) xác định \( \Leftrightarrow B \ne 0.\)

Hàm căn thức \(\sqrt A \) xác định \( \Rightarrow A \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ne 0\\x - 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ge 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 5.\)

Chọn B

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình:

\(\frac{A}{B}\) xác định \( \Leftrightarrow B \ne 0\)

\(\sqrt A \) xác định \(\Leftrightarrow A \ge 0.\)

- Áp dụng các phương pháp giải phương trình chứa căn.

\(A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\\B \ge 0\\{A^2} = B\end{array} \right.\)

\(\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\\B \ge 0\\A = B\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\\x\sqrt {2 - x} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 2\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.\)

Kiểm tra khi x = 2 ta có: \(2\sqrt {2 - 2}  = \sqrt {2 - 2}  \Leftrightarrow 2.0 = 0\) (luôn đúng)

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Chọn B

Phương pháp giải:

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Vì \({x^2} + 1 > 0\,\,\forall x \in R\) nên \(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0.\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Vì \({x^2} + 1 > 0\,\,\forall x \in R\) nên \(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0.\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Phương trình dạng \(ax + b = 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi  \(a = 0\) và \(b \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

\({m^2}x + 6 = 4x + 3m \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 4} \right)x + 6 - 3m = 0\)

Để phương trình vô nghiệm thì 

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 = 0\\6 - 3m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \pm 2\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2.\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Phương trình dạng \(ax + b = 0) có nghiệm khi và chỉ khi 

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\\a \ne 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( {{m^2} - 2m} \right)x = {m^2} - 3m + 2 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 2m} \right)x - {m^2} + 3m - 2 = 0.\)

Khi a = 0 và b = 0 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m = 0\\ - {m^2} + 3m - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\) thì phương trình có vô số nghiệm.

Khi 

\(a \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right.,\) (vì \(m \ne 2\))

Vậy \(m \ne 0\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình dạng \(ax + b = 0\) có tập nghiệm là R khi và chỉ khi : 

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(m\left( {x + 5} \right) - 2x = {m^2} + 6 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x - {m^2} + 5m - 6 = 0\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\ - {m^2} + 5m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' = 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1.\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\) có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\P = \frac{{ - b}}{a} > 0\\S = \frac{c}{a} > 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) có 2 nghiệm dương phân biệt khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} - m\left( {m - 3} \right) > 0\\\frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{m} > 0\\\frac{{m - 3}}{m} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m + 1 > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 2 nghiệm và tích bằng 8 khi và chỉ khi  

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P = \frac{c}{a} = 8.\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình \({x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + {m^2} - 2m = 0\) có 2 nghiệm và tích bằng 8 khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P = \frac{c}{a} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m - 3} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 2m} \right) > 0\\\frac{{{m^2} - 2m}}{1} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + 9 > 0\\{m^2} - 2m - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{9}{4}\\\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m = 0\) có hai nghiệm khi và chỉ khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > - \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

$\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\\B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5.\)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Điều kiện xác định của \(\sqrt A \) là: \(A \ge 0\) 

Điều kiện xác định của hàm phân thức \(\frac{B}{C}\) là \(C \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định của hàm số \(\frac{1}{{{x^2} - 16}} = \frac{2}{{\sqrt {3 - x} }}\) là 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 16 \ne 0\\3 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 4\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 4\\x < 3\end{array} \right.\) 

Chọn B

Phương pháp giải:

Điều kiện xác định của \(\sqrt A \) là: \(A \ge 0\) 

Điều kiện xác định của hàm phân thức \(\frac{B}{C}\) là \(C \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định của hàm số \(\frac{1}{{{x^2} - 16}} = \frac{2}{{\sqrt {3 - x} }}\) là 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 16 \ne 0\\3 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 4\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 4\\x < 3\end{array} \right.\) 

Chọn B

Phương pháp giải:

Phương trình \( - {x^2} - 2mx - m + 4 = 0\) có nghiệm bằng – 1 thì – 1 phải thỏa mãn phương trình.

Lời giải chi tiết:

Vì \(x =  - 1\) là 1 nghiệm của phương trình nên \( - 1 + 2m - m + 4 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình có dạng: \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}+c\), điều kiện là \(\left\{ \begin{align}  & f(x)\ge 0 \\ & g(x)\ge 0 \\\end{align} \right.\)

Khi đó: \(f(x)={{\left( g(x)+c \right)}^{2}}\), giải phương trình ta tìm được x.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: 

\(\left\{ \begin{array}{l}3 - x \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x \ge - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le x \le 3\)

Khi đó: \(\sqrt{3-x}=\sqrt{x+2}+1\Leftrightarrow 3-x=x+2+1+2\sqrt{x+2}\Leftrightarrow -2\text{x}=2\sqrt{x+2}\Leftrightarrow -\text{x}=\sqrt{x+2}\)

Điều kiện \(-x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0\) \(\Rightarrow\) điều kiện của x là: \(-2\le x\le 0\)

Phương trình  \(\Leftrightarrow {{x}^{2}}=x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1\,\,\,(tm) \\ & x=2\,\,\,\,\,\,(ktm) \\\end{align} \right.\)

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = -1

Chọn A

Phương pháp giải:

+ Phương trình có dạng: \(\sqrt{f(x)}=\frac{g(x)}{\sqrt{h(x)}}\), điều kiện là \(\left\{ \begin{align}  & f(x)\ge 0 \\ & h(x)>0 \\\end{align} \right.\)

+  Khi đó: \(\sqrt{f(x).h(x)}=g(x)\Leftrightarrow f(x).h(x)={{g}^{2}}(x)\), giải phương trình ta tìm được x

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\7 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x < 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < 7\)

Phương trình \(\Leftrightarrow \sqrt{(x-2)(7-x)}=x+5\)\(\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+9\text{x}-14={{x}^{2}}+10\text{x}+25\)

                      \(\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}+x+39=0\) , có D = -311 < 0 nên phương trình vô nghiệm                                    

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

+ Phương trình có dạng: \(\sqrt{f(x)+\sqrt{g(x)}}=h(x)\), điều kiện là \(\left\{ \begin{align}  & g(x)\ge 0 \\ & h(x)\ge 0 \\\end{align} \right.\)

+  Khi đó: \(f(x)+\sqrt{g(x)}={{h}^{2}}(x)\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{g(x)} \right)}^{2}}={{\left( {{h}^{2}}(x)-f(x) \right)}^{2}}\), giải phương trình ta tìm được x

Lời giải chi tiết:

Lời giải:

Điều kiện: \(x+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1\)

Phương trình\(\Leftrightarrow 2x+\sqrt{6{{x}^{2}}+1}={{x}^{2}}+2\text{x}+1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {6{{\rm{x}}^2} + 1} = {x^2} + 1\\ \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} + 1 = {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4{{\rm{x}}^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 2\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)              

\(\Rightarrow\) Tổng các nghiệm của phương trình là 0 + 2 = 2.

Chọn C.

Phương pháp giải:

+ Phương trình có dạng: \(f(x).\sqrt{g(x)}=h(x)\), điều kiện là \(g(x)\ge 0\)

+  Đưa phương trình về dạng phương trình tích và giải phương trình.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(10-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -\sqrt{10}\le x\le \sqrt{10}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\sqrt {10 - {x^2}} = {x^2} - x - 12\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\sqrt {10 - {x^2}} = \left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {10 - {x^2}} - \left( {x - 4} \right)} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\\sqrt {10 - {x^2}} = x - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\10 - {x^2} = {x^2} - 8{\rm{x}} + 16\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\2{x^2} - 8{\rm{x}} + 6 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\Rightarrow\) Tổng các nghiệm của phương trình là: -3.

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Phương trình có dạng: \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\), điều kiện là \(g(x)\ge 0\) hoặc \(f(x)\ge 0\).

+  Khi đó: \(f(x)=g(x)\), giải phương trình ta tìm được x.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: 

\(\left\{ \begin{array}{l}3 - 2x - {x^2} \ge 0\\x + 5 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 1\\x \ge - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le x \le 1\)

Ta có:

\(\sqrt{7-{{x}^{2}}+x\sqrt{x+5}}=\sqrt{3-2\text{x}-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 7-{{x}^{2}}+x\sqrt{x+5}=3-2\text{x}-{{x}^{2}}\Leftrightarrow x\sqrt{x+5}=-4-2\text{x}\)

TH1: x = 0, khi đó phương trình trở thành 0 = -4 (vô nghiệm)

TH2: \(x\in \left( -3;1 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow pt \Leftrightarrow \sqrt {x + 5} = - \frac{4}{x} - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{4}{x} - 2 \ge 0\\x + 5 = {\left( { - \frac{4}{x} - 2} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{4}{x} - 2 \ge 0\\x + 5 = \frac{{16}}{{{x^2}}} + \frac{{16}}{x} + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{4}{x} - 2 \ge 0\\{x^3} + {x^2} - 16x - 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{4}{x} - 2 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = \pm 4\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\,\,\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có duy nhất 1 nghiệm \(x=-1\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

+ Phân tích rồi nhóm nhân tử chung, đưa phương trình về dạng phương trình tích

+ Phương trình dạng\(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\), điều kiện là \(g(x)\ge 0\,\,\,\left( f(x)\ge 0 \right)\), Bình phương 2 vế ta giải phương trình tìm được nghiệm

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\7 - x \ge 0\\ - {x^2} + 8x - 7 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 7\\1 \le x \le 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 7\)

Phương trình: 

\(\begin{array}{l}x + 2\sqrt {7 - x} = 2\sqrt {x - 1} + \sqrt { - {x^2} + 8{\rm{x}} - 7} + 1\\ \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {7 - x} - 2\sqrt {x - 1} - \sqrt {(7 - x)(x - 1)} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} \left( {\sqrt {x - 1} - 2} \right) - \sqrt {7 - x} \left( {\sqrt {x - 1} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 1} - 2} \right)\left( {\sqrt {x - 1} - \sqrt {7 - x} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} = 2\\\sqrt {x - 1} = \sqrt {7 - x} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 4\\x - 1 = 7 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\Rightarrow\) Hiệu bình phương các nghiệm của phương trình là: \({{5}^{2}}-{{4}^{2}}={{3}^{2}}=9\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Phương trình có dạng: \(\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt {g(x)} = c\), điều kiện \(g(x) \ge 0\)

+ Đặt \(\sqrt[3]{{f(x)}} = u,\,\,\sqrt {g(x)} = v \Rightarrow \)Hệ phương trình chứa u và v.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(12 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 12\)

Đặt \(\sqrt[3]{{x + 24}} = u;\,\,\sqrt {12 - x} = v \Rightarrow \)Hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{u^3} + {v^2} = 36\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) ta có v = 6 – u. Thay vào (2) ta được:

\({u^3} + {\left( {6 - u} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow {u^3} + {u^2} - 12u = 0 \Leftrightarrow u\left( {{u^2} + u - 12} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 0\\u = 3\\u = - 4\end{array} \right.\)

+) Với \(u = 0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 24}} = 0 \Leftrightarrow x = - 24\,\,\,\left( {tm} \right)\)

+) Với \(u = 3 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 24}} = 3 \Leftrightarrow x + 24 = 27 \Leftrightarrow x = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\)

+) Với \(u = - 4 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 24}} = - 4 \Leftrightarrow x + 24 = - 64 \Leftrightarrow x = - 88\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm.

Chọn C.

Phương pháp giải:

+ Phương trình có dạng: \(\alpha \left( {\sqrt {x - a} + \sqrt {x + b} } \right) + \beta \sqrt {\left( {x - a} \right)\left( {x + b} \right)} = f(x)\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - a \ge 0\\x + b \ge 0\\f(x) \ge 0\end{array} \right.\)

+ Đặt: \(\sqrt {x - a} + \sqrt {x + b} = t\,\,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow \sqrt {\left( {x - a} \right)\left( {x + b} \right)} \) theo t.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + 3 \ge 0\\4 - 2{\rm{x}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ge - 3\\x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 2\)

Đặt: \(\sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 3} = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 3} } \right)^2} = {t^2}\\ \Leftrightarrow x - 1 + x + 3 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)} = {t^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)} = {t^2} - 2{\rm{x}} - 2\end{array}\)

Khi đó, phương trình trở thành: \(t + {t^2} - 2{\rm{x}} - 2 = 4 - 2{\rm{x}} \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 3\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

+) Với t = 2 \( \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)} = 2 - 2{\rm{x}}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 2x \ge 0\\\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = {\left( {1 - {\rm{x}}} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\{x^2} + 2x - 3 = {x^2} - 2{\rm{x}} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình có duy nhất 1 nghiệm.

Chọn A.

Phương pháp giải:

+ Phương trình có dạng: \(\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt {g(x)} = c\), điều kiện \(g(x) \ge 0\)

+ Đặt \(\sqrt[3]{{f(x)}} = u;\,\,\sqrt {g(x)} = v \Rightarrow \) Hệ phương trình chứa u và v.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

Đặt \(\sqrt[3]{{3 - x}} = u\), \(\sqrt {x - 1} = v\) ta được hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{u^3} + {v^2} = 2\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) ta có v = 2 – u. Thay vào (2) ta được: \({u^3} + {\left( {2 - u} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {u^3} + {u^2} - 4u + 4 = 2\)\( \Leftrightarrow {u^3} + {u^2} - 4u + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {{u^2} + 2u - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 1\\u = - 1 - \sqrt 3 \\u = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\)

+) Với \(u = 1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3 - x}} = 1 \Leftrightarrow 3 - x = 1 \Leftrightarrow x = 2 \in Q\)

+) Với \(u = - 1 - \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3 - x}} = - 1 - \sqrt 3 \Leftrightarrow 3 - x = {\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)^3} \Leftrightarrow x = 3 + {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^3} \notin Q\)

+) Với \(u = - 1 + \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3 - x}} = - 1 + \sqrt 3 \Leftrightarrow 3 - x = {\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)^3} \Leftrightarrow x = 3 + {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^3} \notin Q\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm vô tỷ

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2x} \,\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow \) Phương trình ẩn t

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} + 16 \ge 0\\{x^2} + 2{\rm{x}} \ge 0\\{x^2} + 2{\rm{x}} + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \ge 0\end{array} \right.\)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2x} \,\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 2x \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 2x\)

Phương trình trở thành: \(\sqrt {3{t^2} + 16} + t = 2\sqrt {{t^2} + 4} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{t^2} + 16 + {t^2} + 2t\sqrt {3{t^2} + 16} = 4{t^2} + 16\\ \Leftrightarrow 2t\sqrt {3{t^2} + 16} = 0 \Leftrightarrow t = 0\end{array}\)

+) Với \(t = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {0 ; -2}

Chọn A

Phương pháp giải:

+ Đặt \(\sqrt {{x^2} + 1} = u\left( {u \ge 0} \right);x + 3 = v\), đưa phương trình về dạng phương trình tích để tìm u, v

+ Thay giá trị u, v tìm được vào phương trình ban đầu suy ra x

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({x^2} + 3{\rm{x}} + 1 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right) + 3\left( {x + 3} \right) - 9 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \)

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 1} = u\left( {u \ge 0} \right);x + 3 = v\)

Phương trình trở thành:

\({u^2} + 3v - 9 = uv \Leftrightarrow {u^2} + 3v - 9 - uv = 0 \Leftrightarrow \left( {{u^2} - 9} \right) - v(u - 3) = 0 \Leftrightarrow \left( {u - 3} \right)\left( {u + 3 - v} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\u + 3 - v = 0\end{array} \right.\)

+) Với u = 3\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} = 9 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 9 \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt 2 \)

+) Với u + 3 – v = 0\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + 3 - (x + 3) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} = x \Leftrightarrow {x^2} + 1 = {x^2}\)(vô nghiệm)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ { \pm 2\sqrt 2 } \right\}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Đặt \(\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} = u\left( {u \ge 0} \right);1 - x = v\), đưa phương trình về dạng phương trình tích để tìm u, v

+ Thay giá trị u, v tìm được vào phương trình ban đầu tìm x

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} = {x^2} - 2{\rm{x}} - 1 \Leftrightarrow 2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} = \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} \right) + 4(1 - x) - 4\)

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} = u\left( {u \ge 0} \right);1 - x = v\)

Phương trình trở thành: \(2uv = {u^2} + 4v - 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {u^2} - 4 + 4v - 2uv = 0 \Leftrightarrow \left( {{u^2} - 4} \right) - 2v(u - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {u - 2} \right)\left( {u + 2 - 2v} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\u + 2 - 2v = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với u = 2\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 5 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 6 \)

+) Với u + 2 – 2v = 0\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1}+ 2 - 2\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} - 1} = - 2{\rm{x}}\) 

Điều kiện \(x \le 0\)

Phương trình \( \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 1 = 4{{\rm{x}}^2} \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x + 1 = 0\)(vô nghiệm)

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Chọn B

Phương pháp giải:

\(\sqrt A \) xác định \( \Leftrightarrow A \ge 0\)

\(\frac{A}{B}\) xác định \( \Leftrightarrow B \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x \ne 1\end{array} \right.\)

Tập xác định của hàm số là:  \(\left( { - \infty ;2} \right]{\rm{\backslash }}\left\{ 1 \right\}\).

Chọn: C

Phương pháp giải:

\(\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {21x + 190}  = x + 10 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 10 \ge 0\\21x + 190 = {\left( {x + 10} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 10\\21x + 190 = {x^2} + 20x + 100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 10\\{x^2} - x - 90 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 10\\\left[ \begin{array}{l}x = 10\\x =  - 9\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x =  - 9\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = 10.\left( { - 9} \right)\left( {10 - 9} \right) =  - 90\end{array}\)

Chọn đáp án D.

Phương pháp giải:

+) Phương trình có nghiệm \(x = 1\) nên có nhân tử \(\left( {x - 1} \right)\).

+) Đưa phương trình về dạng tích và giải.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^3} - 2{x^2} - 8x + 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{x^2} - x - 9 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{1 + \sqrt {37} }}{2}\\x = \frac{{1 - \sqrt {37} }}{2} = \frac{{a - \sqrt b }}{c}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 37\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow S = 1 + 37 + 2 = 40\end{array}\)

Chọn đáp án A.

Phương pháp giải:

+) Khai triển \(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right) + 3\sqrt {x\left( {x - 3} \right)}  = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 + 3\sqrt {x\left( {x - 3} \right)}  = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + 3\sqrt {x\left( {x - 3} \right)}  - 10 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {x\left( {x - 3} \right)}  \Rightarrow {t^2} = x\left( {x - 3} \right)\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} + 3t - 10 = 0\).

Chọn đáp án A.

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ của phương trình

\(\sqrt A  = \sqrt B  \Leftrightarrow A = B\).

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 2 \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - 1\end{array} \right.\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)

\(\sqrt {{x^2} - x - 2}  = \sqrt {x - 2}  \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}.\)

Chọn đáp án C.

Phương pháp giải:

\(\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x - 1 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 5 \right\}\).

Phương pháp giải:

\(\sqrt A \) xác định \( \Leftrightarrow A \ge 0\)

\(\frac{1}{B}\) xác định \( \Leftrightarrow B \ne 0\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\x \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow D = \left[ { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Chọn đáp án C.

Phương pháp giải:

Hai phương trình được gọi là tương đương khi và chỉ khi chúng có cùng tập nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{\left( {{x^2} + x - 6} \right)\sqrt {x + 1} }}{{\left| x \right| - 2}} = 0\), ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\\left| x \right| - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\x \ne  \pm 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\x \ne 2\end{array} \right.\)

\(\frac{{\left( {{x^2} + x - 6} \right)\sqrt {x + 1} }}{{\left| x \right| - 2}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + x - 6 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 1\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1} \right\}\).

\(\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{\sqrt {x + 3} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 > 0\\{x^2} + 4x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 3\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 1 \Rightarrow S = \left\{ { - 1} \right\}\)

Chọn đáp án A.

Phương pháp giải:

+) Tìm ĐKXĐ.

+) Quy đồng, bỏ mẫu, giải phương trình bậc hai.

+) Đối chiếu điều kiện.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ : \(x \ne 2\).

\(\dfrac{{{x^2} + 6}}{{x - 2}} = \dfrac{{5x}}{{x - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Nếu mọi nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) đều là nghiệm của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) thì phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình  \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

Ta có: \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne  - 1\) . Ta có: \(\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 1}} = 3 \Rightarrow {x^2} + x = 3x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

\(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện của phương trình \(\sqrt {x - 1}  = 2\) là \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)

Biểu thức \(\frac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ : \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x \ge  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3\)

Tập xác định : \(D = (3; + \infty )\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Hàm số \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)

Hàm số  \(\frac{1}{{f\left( x \right)}}\)  xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({x^2} + 1 > 0\) với mọi x \( \Rightarrow {x^2} + 1 \ne 0\) với mọi x

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\{x^2} - 2x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{\left( {x - 1} \right)^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x \ne 1\end{array} \right..\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Dự đoán phương trình vô nghiệm và chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy phương trình  \(x + \sqrt {x - 3}  = 3 + \sqrt {x - 3} \) có nghiệm \(x = 3\)

Phương trình \(x + \sqrt x  = \sqrt x  + 2\) có nghiệm \(x = 2\)

Phương trình \(\sqrt {x - 2} \) = \(\sqrt {2 - x} \) có nghiệm \(x = 2\)

Dự đoán đáp án C. \(\sqrt {x - 4}  + 2 = x + \sqrt {4 - x} \)

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\)

Với \(x = 4\) phương trình thành \(2 = 4\) (vô lý) \( \Rightarrow \) Phương trình \(\sqrt {x - 4}  + 2 = x + \sqrt {4 - x} \) vô nghiệm

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hàm số \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định của phương trình \(x - 2\sqrt {x - 3}  = 0\) là \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) \(\sqrt A \) xác định (có nghĩa) \( \Leftrightarrow A \ge 0\).

+) Phân thức xác định khi và chỉ khi mẫu thức khác 0.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đã cho xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\7 - x \ge 0\\\sqrt {7 - x}  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\7 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < 7\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tìm tập nghiệm của từng phương trình sau đó kết luận, dựa vào định nghĩa: Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập hợp nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình \(x + \dfrac{1}{x} = 1\) ta có:

ĐKXĐ: \(x \ne 0\)

\(pt \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0\) (vô nghiệm) \( \Rightarrow S = \emptyset \).

Xét phương trình \({x^2} + \sqrt x  =  - 1\,\,\left( {x \ge 0} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\\sqrt x  \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} + \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow VT > VP \Rightarrow \)Phương trình vô nghiệm \( \Rightarrow S = \emptyset \).

Xét phương trình \(\left| {2x - 1} \right| + \sqrt {2x + 1}  = 0\,\,\left( {x \ge  - \dfrac{1}{2}} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| \ge 0\\\sqrt {2x + 1}  \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| {2x - 1} \right| + \sqrt {2x + 1}  \ge 0\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\2x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{2}\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) (vô lý) \( \Rightarrow S = \emptyset \).

Xét phương trình \(x\sqrt {x - 5}  = 0\,\,\left( {x \ge 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt {x - 5}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow S = \left\{ {0;5} \right\}\).

Xét phương trình \(7 + \sqrt {6x - 1}  =  - 18\,\,\left( {x \ge \dfrac{1}{6}} \right)\) ta có \(\sqrt {6x - 1}  \ge 0 \Leftrightarrow 7 + \sqrt {6x - 1}  \ge 7 >  - 18 \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm \( \Rightarrow S = \emptyset \).

Vậy chỉ có phương trình \(x\sqrt {x - 5}  = 0\) không tương đương với phương trình \(x + \dfrac{1}{x} = 1\) do chúng không cùng tập nghiệm.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình dạng \(f\left( x \right)g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ : \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\).

Ta có \(x\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {x - 1}  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.\).

Kết hợp ĐKXĐ ta có \(x = 1\).

Thử lại khi \(x=1\) ta có \(0=0\) (luôn đúng) \( \Rightarrow S = \left\{ 1 \right\}\).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Quy đồng 2 vế của  phương trình sau đó bỏ mẫu và giải phương trình bậc hai.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\).

\(\begin{array}{l}x + \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x - 1} \right) + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

\(\sqrt A \) xác định (có nghĩa) \( \Leftrightarrow A \ge 0\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \( - {x^2} + 6x - 9 \ge 0 \Leftrightarrow  - {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} \le 0\).

Ta có \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \in R\).

Do đó \({\left( {x - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 3 \right\}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập hợp nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án D ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {x + 2}  = 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ge 0\\x + 2 = 4{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = \dfrac{{1 \pm \sqrt {33} }}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{8} \Rightarrow {S_1} = \left\{ {x = \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{8}} \right\}\\x + 2 = 4{x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 \pm \sqrt {33} }}{8} \Rightarrow {S_2} = \left\{ {x = \dfrac{{1 \pm \sqrt {33} }}{8}} \right\}\end{array}\)

Do \({S_1} \ne {S_2}\) nên hai phương trình ở đáp án D không là hai phương trình tương đương.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Khái niệm phương trình hệ quả: \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ne 2.\)

\(\frac{{2x + 4}}{{2 - x}} = \frac{{ - {x^2} + 4}}{{x - 2}} \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} - \frac{{2x + 4}}{{x - 2}} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - 4 - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 4x - 8 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - 4\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 2;\,\,4} \right\}.\)

+) Xét đáp án A:

\(\begin{array}{l}\left( {5x + 6} \right)\left( {x - 4} \right) = {x^2}\left( {4 - x} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 4} \right) + \left( {5x + 6} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 2\\x =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ { - 3;\,\, - 2;\,\,4} \right\}.\end{array}\)

+) Xét đáp án B:

\({\left( {x - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow S = \left\{ 2 \right\}.\)

+) Xét đáp án C:

\({x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ {2;\,\,4} \right\}.\)

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

+) Xét đáp án D:

\(\begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 4} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( { - {x^2} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ { - 2;\,\,0;\,\,2} \right\}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right..\)

+) Xét đáp án A: TXĐ: \(D = \left[ {3;\,\, + \infty } \right) \Rightarrow x = 0\) không thể là nghiệm của phương trình

\( \Rightarrow \) Loại đáp án A.

+) Xét đáp án B: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\} \Rightarrow x = 3\) không thể là nghiệm của phương trình

\( \Rightarrow \) Loại đáp án A.

+) Xét đáp án C: TXĐ: \(D = \mathbb{R}.\)

\({x^2} + \sqrt {{x^2} + 1}  = 3x + \sqrt {{x^2} + 1}  \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right..\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0;\) biểu thức \(\frac{1}{{f\left( x \right)}}\) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ne 0.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{\sqrt {2x + 1} }}{{{x^2} + 3x}} = 0\) là  \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\x\left( {x + 3} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \frac{1}{2}\\x \ne 0\\x \ne  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \frac{1}{2}\\x \ne 0\end{array} \right..\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thay từng giá trị \(x\) đã cho vào phương trình và kiểm tra.

Lời giải chi tiết:

Với \(x = 2\) thì \(\frac{{16}}{{{2^3}}} + 2 - 4 = 0\) đúng nên \(x = 2\) là nghiệm của phương trình.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Giải phương trình: \(\left| A \right| = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\{A^2} = {B^2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\left| {2x - 3} \right| = 2 - 3x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 3x \ge 0\\{\left( {2x - 3} \right)^2} = {\left( {2 - 3x} \right)^2}\end{array} \right..\)

Chọn D.