Phương pháp giải:

Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x - 9} \right)\left( {x + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 9} \right)\left( {x + 9} \right) = 0\) (do \({x^2} + 9 \ne 0,\,\,\forall x\)).

Chọn: C

Phương pháp giải:

\(\dfrac{1}{A}\) xác định \( \Leftrightarrow A \ne 0\).

\(\sqrt A \) xác định \( \Leftrightarrow A \ge 0\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right.\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 1\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình bậc nhất là phương trình có dạng \(ax + b = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(\sqrt 2 x - 7 = 0\) là phương trình bậc nhất.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Nếu mọi nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) đều là nghiệm của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) thì phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

Nếu mọi nghiệm của phương trình \(h\left( x \right) = p\left( x \right)\)  đều là nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) thì phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình \(h\left( x \right) = p\left( x \right)\)

Hay \(p\left( x \right) = h\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\)

\( \Rightarrow {S_2}\) là tập con của \({S_1}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa: Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập hợp nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Hai phương trình được gọi là tương đương khi: Có cùng tập hợp nghiệm.

Chọn C.

Phương pháp giải:

\(\sqrt A \) xác định \( \Leftrightarrow A \ge 0\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ : \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ge 0\\2x - {x^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ge 0\\{x^2} - 2x \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Thử lại :

\(x = 0 \Rightarrow 0 = 0\) (luôn đúng).

\(x = 2 \Rightarrow 0 = 0\)  (luôn đúng).

Vậy \(S = \left\{ {0;2} \right\}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

\(\sqrt A \) xác định \( \Leftrightarrow A \ge 0\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\1 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Thử lại : Khi \(x = 1\) ta có : \(1 + 0 = 0\) (Vô lí)

Vậy \(S = \left\{ \emptyset  \right\}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình \(\left( 2 \right)\) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình \(\left( 1 \right)\) nếu tập nghiệm của \(\left( 1 \right)\) là tập con của tập nghiệm của \(\left( 2 \right)\).

Phép biến đổi hệ quả cho ta phương trình hệ quả.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: Phép bình phương là phép biến đổi hệ quả nên ta được phương trình hệ quả.

Chọn A.

Phương pháp giải:

+ Phương trình có dạng: \({\rm{af}}(x) + b\sqrt {f(x)} + c = 0\) điều kiện : \(f(x) \ge 0\)

+ Đặt \(\sqrt {f(x)} = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) , phương trình \( \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \ge - 1\end{array} \right.\)

Đặt: \(\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} = t\,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = {t^2} \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = {t^2} - 6\)

Khi đó, phương trình trở thành: \(t = {t^2} - 6 \Leftrightarrow {t^2} - t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Với t = 3 \( \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 9 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 7 = 0\)

Tích 2 nghiệm của phương trình là -7

Chọn B.

Phương pháp giải:

+ Phương trình có dạng: \({\rm{af}}(x) + b\sqrt {f(x)} + c = 0\) điều kiện : \(f(x) \ge 0\)

+ Đặt \(\sqrt {f(x)} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) , phương trình \( \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0\)

Lời giải chi tiết:

Vì : \(4{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 11 = 4{\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + 2 > 0,\forall x\) nên phương trình xác định với mọi x

Đặt: \(\sqrt {4{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 11} = t(t \ge \sqrt 2 )\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 11 = {t^2}\\ \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 15 = {t^2} + 4\end{array}\)

Khi đó, phương trình trở thành: \({t^2} - 5t + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 4\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

+) Với t = 4 \( \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 11 = 16 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x - 5 = 0\)

 Tổng 2 nghiệm của phương trình là 3.

Chọn B.

Phương pháp giải:

+ Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + x + 2} (t \ge 0)\) ta được phương trình ẩn t

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + x + 2} \,\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + x + 2 \Leftrightarrow {t^2} - 2 = {x^2} + x\)

Phương trình trở thành: \(\sqrt {{t^2} + 5} + t = \sqrt {3{t^2} + 13} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} + 5 + {t^2} + 2t\sqrt {{t^2} + 5} = 3{t^2} + 13\\ \Leftrightarrow 2t\sqrt {{t^2} + 5} = {t^2} + 8\\ \Leftrightarrow 4{t^2}\left( {{t^2} + 5} \right) = {\left( {{t^2} + 8} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{t^4} + 20{t^2} = {t^4} + 16{t^2} + 64\\ \Leftrightarrow 3{t^4} + 4{t^2} - 64 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\{t^2} = - \dfrac{{16}}{3}\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \({t^2} = 4 \Leftrightarrow {x^2} + x + 2 = 4 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Chọn D

Phương pháp giải:

Bình phương hai vế.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}DK:\,\,x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5\\\sqrt {x - 5}  = 2 \Leftrightarrow x - 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 9 \right\}\).

Chọn đáp án B.

Phương pháp giải:

Phương trình \(a\,{x^2} + bx + c = 0,\,\,a \ne 0\) với \(a + b + c = 0\) có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\) .

Lời giải chi tiết:

Xét \({x^2} - \left( {3m + 1} \right)x + 3m = 0\) có: \(1 + \left( { - \left( {3m + 1} \right)} \right) + 3m = 0 \Rightarrow \)Phương trình có 2 nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = 3m\end{array} \right.\).

Chọn: C

Phương pháp giải:

+) Tìm ĐKXĐ.

+) Quy đồng bỏ mẫu và giải phương trình.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3\)

\(\dfrac{x}{{2\sqrt {x - 3} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {x - 3} }} \Leftrightarrow \dfrac{x}{{2\sqrt {x - 3} }} = \dfrac{2}{{2\sqrt {x - 3} }} \Leftrightarrow x = 2\,\,\left( {ktm} \right)\)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Chọn đáp án B.

Phương pháp giải:

\(\left| A \right| = \left[ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\left| {1 - 3x} \right| - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left| {1 - 3x} \right| = 3x - 1 \Leftrightarrow 1 - 3x < 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\).

Chọn đáp án A.

Phương pháp giải:

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức \(y = ax + b\;\;\left( {a \ne 0} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình \((m - 4)x + 3 = 0\) là phương trình bậc nhất \( \Leftrightarrow m - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 4\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình dạng \(ax + b = 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(\left( {{m^2} - 4} \right)x = 3m + 6\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 = 0\\3m + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 2\end{array} \right.\\m \ne  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\).

Vậy \(m = 2\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Chuyển vế đổi dấu giải phương trình bậc nhất một ẩn.

Lời giải chi tiết:

\(x + 2 = 3x - 4 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

\(u + v = S,\,\,uv = P\,\,\left( {{S^2} \ge 4P} \right) \Rightarrow u,v\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\).

Lời giải chi tiết:

Nếu hai số u và v có tổng bằng -8 và tích bằng 15 thì chúng là nghiệm của phương trình: \({x^2} + 8x + 15 = 0\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

Phương trình dạng \(ax + b = 0\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow a \ne 0\). Khi đó phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{{ - b}}{a}\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(\left( {2m - 4} \right)x = m - 2\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow 2m - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} + 6x - 1 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} + m - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m >  - 8\end{array} \right.\).

Vậy \(m >  - 8,\,\,m \ne 1\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  = {b^2} - 4ac = 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(\left( {m - 2} \right){x^2} + 2x - 1 = 0\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\\Delta ' = {1^2} + m - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Biểu thức: \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định của phương trình \({x^2} + 2x = \sqrt {x - 3}  - 1\) là \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định \(x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 1 \Rightarrow D = \left[ { - 1; + \infty } \right).\)

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({x^2} = 4 \Leftrightarrow \left| x \right| = 2\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

Đáp án  A.

Phương pháp giải:

+ Phương trình có dạng: \(\sqrt{f(x)}=g(x)\), điều kiện là \(g(x)\ge 0\)

+  Khi đó: \(f(x)={{g}^{2}}(x)\), giải phương trình ta tìm được x

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x-4\ge 0\Leftrightarrow x\ge 4\)

Phương trình: \(\Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}-2x-8=3{{\left( x-4 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}-2x-8=3{{x}^{2}}-24\text{x}+48\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^2} - 22x + 56 = 0 \Leftrightarrow {{\rm{x}}^2} - 11x + 28 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 7\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\Rightarrow\) Tổng các nghiệm của phương trình là 4 + 7 = 11.

Chọn C.

Phương pháp giải:

+ Phương trình có dạng: \(\sqrt{f(x)}=g(x)\), điều kiện là \(g(x)\ge 0\).

+  Khi đó: \(f(x)={{g}^{2}}(x)\), giải phương trình ta tìm được x.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(1-x\ge 0\Leftrightarrow x\le 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 1} = 1 - x \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}^2} - 1} \right)}^2}} = 1 - x\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = {\left( {1 - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}.{\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {1 - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 1 - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{x^2} + 2{\rm{x}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm

Chọn B.                  

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có

Hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta  > 0\,\,\left( {\Delta ' > 0} \right).\)

Nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta  = 0\,\,\left( {\Delta ' = 0} \right).\)

Vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  < 0\,\,\left( {\Delta ' < 0} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng nội dung của định lí Vi-et.

Lời giải chi tiết:

Chọn C

Phương pháp giải:

+Phương trình có dạng: \(\alpha \left( {\sqrt {x + a} - \sqrt {b - x} } \right) + \beta \sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {b - x} \right)} = \gamma \)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + a \ge 0\\b - x \ge 0\end{array} \right.\)

Đặt:\(\sqrt {x + a} - \sqrt {b - x} = t\,\, \Rightarrow \sqrt {\left( {x + a} \right)\left( {b - x} \right)} \) theo t

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\6 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\x \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le x \le 6\)

Đặt: \(\sqrt {x + 3} - \sqrt {6 - x} = t\,\,\) 

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 3} - \sqrt {6 - x} } \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow x + 3 + 6 - x - 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} = {t^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} = 9 - {t^2} \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} = \dfrac{{9 - {t^2}}}{2}\,\,\,\left( { - 3 \le t \le 3} \right)\end{array}\)

Khi đó, phương trình trở thành: \(t = 3 + \dfrac{{9 - {t^2}}}{2} \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 5\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
t = 3 \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} - \sqrt {6 - x} = 3\\
\Leftrightarrow \sqrt {x + 3} = 3 + \sqrt {6 - x} \\
\Leftrightarrow x + 3 = 9 + 6 - x + 6\sqrt {6 - x} \\
\Leftrightarrow 2x - 12 = 6\sqrt {6 - x} \\
\Leftrightarrow x - 6 = 3\sqrt {6 - x} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 6\\
{x^2} - 12x + 36 = 54 - 9x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 6\\
{x^2} - 3x - 18 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 6\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 6\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\
x = - 3\,\,\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {6}

Chọn C.

Phương pháp giải:

+ Phương trình có dạng: \(\sqrt{f(x)}=g(x)\), điều kiện là \(g(x)\ge 0\)

+  Khi đó: \(f(x)={{g}^{2}}(x)\), giải phương trình ta tìm được x

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x+10\ge 0\Leftrightarrow x\ge -10\)

Phương trình:

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow 4{{\text{x}}^{2}}+101x+64=4{{\left( x+10 \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 4{{\text{x}}^{2}}+101x+64=4{{x}^{2}}+80\text{x}+400 \\ & \Leftrightarrow 21\text{x}=336\Leftrightarrow x=16\,\,\,\,\left( tm \right) \\\end{align}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 16

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình có dạng: \(\sqrt{f(x)}=g(x)\), điều kiện là \(g(x)\ge 0\)

Khi đó: \(f(x)={{g}^{2}}(x)\), giải phương trình ta tìm được x.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x-3\ge 0\Leftrightarrow x\ge 3\)

Khi đó:

\(\sqrt{x-1}=x-3\Leftrightarrow x-1={{\left( x-3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-7\text{x}+10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=2\,\,\,(ktm) \\ & x=5\,\,\,(tm) \\\end{align} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.

Chọn A.

Phương pháp giải:

+Phương trình có dạng: \({\rm{af}}(x) + b\sqrt {f(x)} + c = 0\) điều kiện : \(f(x) \ge 0\)

+ Đặt \(\sqrt {f(x)} = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) , phương trình \( \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \({x^2} - 6{\rm{x}} + 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 3 - \sqrt 3 \\x \ge 3 + \sqrt 3 \end{array} \right.\)Đặt: \(\sqrt {{x^2} - 6{\rm{x}} + 6} = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 6 = {t^2} \Leftrightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 9 = {t^2} + 3\)

Khi đó, phương trình trở thành: \( \Leftrightarrow {t^2} + 3 = 4t \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = 3\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

+) Với t = 1 \( \Leftrightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 6 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 5\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

+) Với t = 3 \( \Leftrightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 6 = 9 \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + 2\sqrt 3 \,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3 - 2\sqrt 3 \,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

Chọn D

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(a + b + c = 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x = 1;\,\,x = \dfrac{c}{a}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(1 - 4 + 3 = 0 \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(W = \left\{ {1;3} \right\}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

+ Phương trình có dạng: \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\), điều kiện là \(g(x)\ge 0\) hoặc \(f(x)\ge 0\).

+ Khi đó: \(f(x)=g(x)\), giải phương trình ta tìm được x.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(7x+2\ge 0\Leftrightarrow x\ge -\frac{2}{7}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2}{\rm{ + 3x}} - 4} = \sqrt {7x + 2} \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{x}}^2}{\rm{ + 3x}} - 4 = 7{\rm{x}} + 2\\ \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 6 = 0 \Leftrightarrow {{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

+ Đánh giá từng căn thức của 2 vế, ta có : \(\sqrt {{A^2} + m} \ge m\)và \(n - {B^2} \le n\)

+ Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi vế trái = vế phải \(x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {2{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 3} = \sqrt {2\left( {{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 1} \right) + 1} = \sqrt {2{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2} + 1} \ge 1\\\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 5} = \sqrt {\left( {{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 1} \right) + 4} = \sqrt {{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}^2} + 4} \ge 2\\ \Rightarrow \sqrt {2{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 3} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 5} \ge 3\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Mặt khác, ta có: \(6{\rm{x}} - 3{x^2} = 3 - \left( {3 - 6{\rm{x}} + 3{{\rm{x}}^2}} \right) = 3 - 3{\left( {x - 1} \right)^2} \le 3\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), để phương trình: \(\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 3} + \sqrt {{{\rm{x}}^2} - 2x + 5} = 6 - 3{{\rm{x}}^2}\) có nghiệm thì \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(\sqrt A \) xác định \( \Leftrightarrow A \ge 0\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\1 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Thử lại : Khi \(x = 1\) ta có : \(1 + 0 = 0\) (Vô lí)

Vậy \(S = \left\{ \emptyset  \right\}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định của phương trình \(x + \sqrt {2x + 1}  = \sqrt {1 - x} \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\1 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le x \le 1.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định nếu \(f\left( x \right) \ge 0\).

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\).

Chọn C.