Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân: cạnh góc vuông = cạnh huyền : \(\sqrt 2 \), tính độ dài 2 cạnh góc vuông, từ đó tính diện tích đáy.

- Tính thể tích khối chóp: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(BC = a\) \( \Rightarrow AB = AC = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Khi đó \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\).

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{{12}}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), chứng minh \(\angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle A'MA\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao \(AA'\).

- Tính thể tích khối lăng trụ \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Ta có:

\(AM \bot BC\) (do \(\Delta ABC\) đều)

\(BC \bot AA'\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow BC \bot \left( {AA'M} \right) \Rightarrow BC \bot A'M\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\\A'M \subset \left( {A'BC} \right),\,\,A'M \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'M;AM} \right) = \angle A'MA = {60^0}\).

Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Xét tam giác vuông \(A'AM\) có: \(AA' = AM.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3  = \dfrac{{3a}}{2}\).

Vậy thể tích khối lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thể tích của khối hộp có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = Sh.\)

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = V;\,\,{V_{A'.ABC'D'}} = V'.\)

\({V_{BA'B'C'}} = \dfrac{1}{3}{V_{BB'C'.AA'D'}}\) \( \Rightarrow V' = {V_{A'.ABC'D'}} = \dfrac{2}{3}{V_{BB'C'.AA'D'}}\)

Mà: \({V_{BB'C'.AA'D'}} = \dfrac{1}{2}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \dfrac{1}{2}V\)

\( \Rightarrow V' = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}V = \dfrac{1}{3}V\) \( \Rightarrow \dfrac{{V'}}{V} = \dfrac{1}{3}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SB,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SB,\,\,AB} \right) = \angle SBA = {45^0}\)

\( \Rightarrow \Delta SAB\) vuông cân tại \(A \Rightarrow SA = AB = a.\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}{S_{ABCD}}\) \( = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{1}{2}.a.2a = \dfrac{{2{a^3}}}{6}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Khối chóp có thể tích \(V\) và diện tích đáy \(S\) thì có chiều cao là \(h = \dfrac{{3V}}{S}.\) 

Lời giải chi tiết:

Chiều cao của khối chóp đã cho là: \(h = \dfrac{{3V}}{S} = \dfrac{{3{a^3}}}{{{a^2}}} = 3a.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = Sh.\) 

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối lăng trụ đã cho là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' = \dfrac{1}{2}A{B^2}.AA'\) \( = \dfrac{1}{2}.{\left( {2\sqrt 2 a} \right)^2}.6a = 24{a^3}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thể tích khối chóp có chiều cao \(h\)  và diện tích đáy \(S\) là \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 .\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 3  = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

Ta có:\(SC \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SC \bot AC\)

\( \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(SA\) trên \(\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SA,\,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SA,\,\,AC} \right) = \angle SAC = {60^0}\)

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(C\) ta có: \(SC = CA.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3  = 3a.\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SC.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.3a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thể tích khối chóp có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích của khối chóp đã cho là:\(V = \dfrac{1}{3}Sh = \dfrac{1}{3}.{a^2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thể tích khối chóp có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = \frac{1}{3}Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}A{B^2} = \frac{1}{2}{a^2}.\)

\( \Rightarrow {V_{SABC}} = \frac{1}{3}SC.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.3a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{1}{2}{a^3}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Diện tích đáy của khối lăng trụ đã cho là: \(S = 2a.3a = 6{a^2}.\)

\( \Rightarrow \) Thể tích khối lăng trụ đã cho là: \(V = Sh = 6{a^2}.5a = 30{a^3}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thể tích khối chóp có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối chóp đã cho là: \({V_{SABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.3a.{a^2} = {a^3}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thể tích khối bát diện đểu cạnh \(a\) bằng 2 lần thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh \(a.\)

Sử dụng công thức tính nhanh khối chóp tứ giác đều cạnh \(a\) là: \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có thể tích khối bát diện đều cạnh \(a\) = 2 lần thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh \(a.\)

\( \Rightarrow V = 2{V_{SABCD}} = 2.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thể tích khối lăng trụ có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = Sh.\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \dfrac{1}{2}AC.BC.\sin C.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(C\) \( \Rightarrow AC = BC = a.\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.BC.\sin C\) \( = \dfrac{1}{2}.a.a.\sin {45^0}\)\( = \dfrac{1}{2}{a^2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}.\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta AA'C\) vuông tại \(A\) ta có:

\(AA' = \sqrt {A'{C^2} - A{C^2}} \) \( = \sqrt {5{a^2} - {a^2}}  = 2a\)

\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}}\) \( = 2a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thể tích khối lăng trụ có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = Sh.\)

Đường trung tuyến của tam giác đều cạnh \(a\) có độ dài là: \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là: \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({S_{ABC}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 .\)

Ta có: \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) đều cạnh \(2a\)  \( \Rightarrow AM = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta AA'M\) vuông tại \(A\) ta có: \(AA' = \sqrt {A'{M^2} - A{M^2}} \) \( = \sqrt {9{a^2} - 3{a^2}}  = a\sqrt 6 \)

\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}}\) \( = a\sqrt 6 .{a^2}\sqrt 3  = 3{a^3}\sqrt 2 \)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dựa vào diện tích mặt chéo để suy ra độ dài cạnh hình lập phương.

Áp dụng công thức tính thể tích hình lập phương.

Lời giải chi tiết:

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là x.

Khi đó \(AC = x\sqrt 2 ;AA' = x\)

Mà diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng \(2\sqrt 2 {a^2}\) nên

\(AC.AA' = 2\sqrt 2 {a^2} \Rightarrow x\sqrt 2 .x = 2\sqrt 2 {a^2} \Rightarrow x = a\sqrt 2 \)

Khi đó thể tích hình lập phương là \(V = {x^3} = 2{a^3}\sqrt 2 \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ số thể tích để tính \({V_{SABM}}\).

Áp dụng công thức tính thể tích để suy ra \({d_{M;\left( {SAB} \right)}}\)

Lời giải chi tiết:

Vì M là trung điểm của SD nên \(\frac{{{V_{SABM}}}}{{{V_{SABD}}}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{1}{2}\)

Mà \(\frac{{{V_{SABD}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{SABD}} = \frac{1}{2}.4{a^3} = 2{a^3}\)

\( \Rightarrow {V_{SABM}} = {a^3} = \frac{1}{3}.d\left( {M;\left( {SAB} \right)} \right).{S_{SAB}} \Leftrightarrow d\left( {M;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{3{a^3}}}{{{a^2}}} = 3a\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thể tích khối lập phương cạnh \(a\) là: \(V = {a^3}.\)

Diện tích toàn phần của khối lập phương cạnh \(a\) là: \({S_{tp}} = 6{a^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Cạnh của khối lập phương đã cho là:\(a = \sqrt[3]{{27}} = 3.\)

\( \Rightarrow \) Diện tích toàn phần của khối lập phương đã cho là: \({6.3^2} = 54.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính nhanh đường cao trong tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) để tính chiều cao khối chóp.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài \(AC\).

- Tính diện tích tam giác \(ABC\): \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\).

- Tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Bh\) trong đó \(B,\,h\) lần lượt là diện tích đáy và chiều cao khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\): \(AC = AB.\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{{a^3}}}{{12}}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thể tích của tứ diện \(OABC\) có \(OA = a,\,\,OB = b,\,\,OC = c\) đôi một vuông góc là: \(V = \frac{1}{6}abc.\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) đã cho là: \(V = \frac{1}{6}AB.AC.AD = \frac{1}{6}.2a.3a.4a = 4{a^3}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thể tích hình chóp \(V = \dfrac{1}{3}S.h\) với \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao hình chóp

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AD\)

Vì \(AD\) là đường trung tuyến trong tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AD\)\( = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Ta có \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \) góc giữa cạnh bên \(SA\) và đáy là góc giữa \(SA\) và \(AH\), hay là góc \(SAH\)

Theo đề bài ta có

\(\widehat {SAH} = {45^0} \Rightarrow \Delta SAH\) vuông cân tại \(H \Rightarrow SH = AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Diện tích tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Thể tích khối chóp \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SH\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)\( = \dfrac{{{a^3}}}{{12}}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thể tích khối lăng trụ \(V = S.h\) với \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao lăng trụ

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(BC = AB = a\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)

Thể tích khối trụ \(V = {S_{ABC}}.AA'\) \( = \dfrac{1}{2}{a^2}.a = \dfrac{{{a^3}}}{3}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thể tích khối trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) là \(V = \pi {R^2}h\) hay \(V = S.h\) với \(S\) là diện tích đáy.

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối trụ là \(V = 16\pi .3 = 48\pi \)\(\left( {d{m^3}} \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Khối lập phương cạnh \(a\) thì có thể tích \(V = {a^3}\)

Lời giải chi tiết:

Cạnh khối lập phương là \(\sqrt[3]{{27}} = 3\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp đường cao \(h\), diện tích đáy \(B\) là \(V = \dfrac{1}{3}Bh\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), do \(\Delta SAB\) đều cạnh \(AB = a\) nên \(SH \bot AB\) và \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Góc giữa đường và mặt là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng kia.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của khối lăng trụ.

- Khối lăng trụ có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) có thể tích \(V = Bh\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(BB' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow A'B'\) là hình chiếu của \(A'B\) lên \(\left( {A'B'C'} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \angle \left( {A'B;A'B'} \right) = \angle BA'B' = {60^0}\).

Xét \({\Delta _v}A'BB'\) có: \(BB' = A'B'.\tan {60^0} = a\sqrt 5 .\sqrt 3  = a\sqrt {15} \).

\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}A{B^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} = a\sqrt {15} .\dfrac{{5{a^2}}}{2} = \dfrac{{5\sqrt {15} {a^3}}}{2}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí Pytago tính độ dài cạnh \(BC\).

- Tính diện tích tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\): \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.BC\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}}  = \sqrt {5{a^2} - {a^2}}  = 2a\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.BC = \dfrac{1}{2}.a.2a = {a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.3a.{a^2} = {a^3}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính chiều cao \(SH\): \(S{H^2} = AH.BH\).

Sử dụng công thức tính thể tích chóp có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(S\) là \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(AB = a,\,\,AH = 2BH\) \( \Rightarrow AH = \dfrac{{2a}}{3},\,\,BH = \dfrac{a}{3}\).

Áp dung hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAB\) có:

\(S{H^2} = AH.BH = \dfrac{{2a}}{3}.\dfrac{a}{3} = \dfrac{{2{a^2}}}{9}\) \( \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).

Do \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \({S_{ABCD}} = {a^2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{9}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tính độ dài \(HD\).

- Xác định góc giữa \(SD\) và mặt đáy là góc giữa \(SD\) và hình chiếu của \(SD\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài đường cao \(SH\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(BD = 1 \Rightarrow HD = \dfrac{1}{4}BD = \dfrac{1}{4}\).

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(HD\) là hình chiếu vuông góc của \(SD\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SD;HD} \right) = \angle SDH = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(SHD\) có: \(SH = HD.\tan {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\).

Do \(ABCD\) là hình vuông có \(BD = 1 \Rightarrow AB = AD = \dfrac{{BD}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AB.AD = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{24}}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông hoặc tính chất tam giác vuông cân tính chiều cao.

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}Sh\) với \(S,\,\,h\) lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của khối chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi M là trung điểm của CD ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\SM \subset \left( {SCD} \right),\,\,SM \bot CD\\OM \subset \left( {ABCD} \right),\,\,OM \bot CD\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;OM} \right) = \angle SMO = {45^0}\).

\( \Rightarrow \Delta SOM\) vuông cân tại O \( \Rightarrow SO = OM = \dfrac{1}{2}AD = a\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a.{\left( {2a} \right)^2} = \dfrac{{4{a^3}}}{3}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thể tích của khối chóp có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là: \(V = \frac{1}{3}Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB.\)

Ta có: \(\Delta SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

\(\begin{array}{l} \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\\ \Rightarrow {V_{SABCD}} = \frac{1}{3}SM.{S_{ABCD}}\\ = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2}.{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thể tích khối lăng trụ có đường cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là: \(V = Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích của lăng trụ tam giác đều có đường cao bằng \(a,\) cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 \) là: \(V = Sh = a.\frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \frac{1}{3}Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({V_{OA'B'C'}} = \frac{1}{3}d\left( {O;\,\,\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{A'B'C'}}\)

                             \( = \frac{1}{3}AA'.\frac{1}{2}AB.AD = \frac{1}{6}.5.3.4 = 10.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(h\) là chiều cao của lăng trụ \( \Rightarrow {V_{lt}} = h{S_{ABC}} = 1.\)

Khi đó ta có: \({V_{G.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}d\left( {G;\,\,\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{A'B'C'}}\) \( = \dfrac{1}{3}h.{S_{A'B'C'}}\)\( = \dfrac{1}{3}.1 = \dfrac{1}{3}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = Sh.\)  

Ta có tam giác có các cạnh lần lượt là 3, 4, 5 là tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 3, 4. Từ đó tính diện tích tam giác đáy rồi tính thể tích lăng trụ.

Lời giải chi tiết:

Ta có tam giác có các cạnh lần lượt là 3, 4, 5 là tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 3, 4.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{day}} = \frac{1}{2}.3.4 = 6.\\ \Rightarrow V = Sh = 6.2 = 12.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC.\sin \angle ABC\).

- Sử dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ: \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC.\sin \angle ABC = \dfrac{1}{2}.a.a.sin{120^0} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ: \(V = Sh\) trong đó S, h lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của khối lăng trụ.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 2  = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\)

\({S_{AA'B'B}} = AA'.AB \Rightarrow \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3} = AA'.a \Rightarrow AA' = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là:

\(V = AA'.{S_{ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Công thức thể tích khối tứ diện vuông với độ dài ba cạnh góc vuông là \(a,b,c\) là: \(V = \dfrac{1}{6}abc\).

Lời giải chi tiết:

Tứ diện \(OABM\) là tứ diện vuông, có thể tích là:

\(V = \dfrac{1}{6}OA.OB.OM = \dfrac{1}{6}.2a.3a.\dfrac{{8a}}{2} = 4{a^3}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính thể tích khối hộp \(V = Bh\) trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao tương ứng, từ đó tính diện tích đáy khối hộp chữ nhật.

- Sử dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \,\,\left( {x,\,\,y \ge 0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Diện tích đáy của khối hộp chữ nhật là \(S = \frac{{9{a^3}}}{a} = 9{a^2}\).

Gọi \(x,\,\,y\) là hai kích thước của đáy khối hộp chữ nhật, ta có \(S = xy = 9{a^2}\).

Chu vi đáy là \(C = 2\left( {x + y} \right) \ge 2.2\sqrt {xy}  = 4\sqrt {9{a^2}}  = 12a.\)

\( \Rightarrow {C_{\min }} = 12a \Leftrightarrow x = y\). Khi đó ta có \(S = {x^2} = 9{a^2} \Leftrightarrow x = 3a = y\).

Vậy chu vi đáy nhỏ nhất bằng \(12a\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính nhanh khối chóp tam giác đều cạnh \(a\) là: \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi cạnh của tứ diện ABCD là a.

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = 1 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\) \( \Leftrightarrow {a^3} = 6\sqrt 2  \Leftrightarrow a = \sqrt[3]{{6\sqrt 2 }}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông để tính cạnh của hình lập phương.

Thể tích khối lập phương cạnh \(a\) là: \(V = {a^3}.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi cạnh của hình lập phương là \(a.\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(A{C^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}.\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta AA'C\) vuông tại \(A\) ta có: \(A'{C^2} = A{C^2} + AA{'^2} = 2{a^2} + {a^2} = 3{a^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 3{a^2} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.\\ \Rightarrow V = {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} = \dfrac{1}{{3\sqrt 3 }}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa đường thẳng \(A'B\) và \(\left( {A'ACC'} \right)\) là góc giữa \(A'B\) và hình chiếu của \(A'B\) lên \(\left( {A'ACC'} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và định lí Pytago trong tam giác vuông để tính chiều cao của khối lăng trụ.

- Tính thể tích: \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'A.{S_{ABCD}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BO \bot AC\\BO \bot AA'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BO \bot \left( {A'ACC'} \right)\).

Do đó \(A'O\) là hình chiếu của \(A'B\) lên \(\left( {A'ACC'} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {A'B;\left( {A'ACC'} \right)} \right) = \angle \left( {A'B;A'O} \right) = \angle BA'O = {30^0}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(BD = a\sqrt 2  \Rightarrow BO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(A'BO\) có: \(A'B = \dfrac{{BO}}{{\sin \angle BA'O}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}:\dfrac{1}{2} = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác \(A'AB\) có: \(A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}}  = a\).

Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'A.{S_{ABCD}} = a.{a^2} = {a^3}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(AA'\).

- Sử dụng các công thức tính nhanh:

   + Đường cao trong tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

   + Diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

- Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'{S_{\Delta ABC}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AM \bot BC\) và \(AM = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AMA'} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot A'M\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {A'BC} \right) \supset A'M \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'M;AM} \right) = \angle A'MA = {60^0}\).

Ta có \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AA' \bot AM\) \( \Rightarrow \Delta AMA'\) vuông tại \(A\).

\( \Rightarrow AA' = AM.\tan \angle A'MA = a\sqrt 3 .\tan {60^0} = 3a\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(2a\) nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'{S_{\Delta ABC}}\) \( = 3a.{a^2}\sqrt 3  = 3{a^3}\sqrt 3 \).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thể tích của khối chóp có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \({S_d}\) là: \(V = \dfrac{1}{3}{S_d}h.\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối chóp: \(V = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SA.A{B^2} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}a.{\left( {2a} \right)^2} = 2{a^3}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa đường thẳng \(B'D\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(B'D\) và hình chiếu của \(B'D\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và định lí Pytago trong tam giác vuông để tính chiều cao và diện tích đáy của khối lăng trụ.

- Tính thể tích: \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'A.{S_{ABCD}}\).

Lời giải chi tiết:

Vì BD là hình chiếu của B’D lên (ABCD) nên \(\angle \left( {B'D;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {B'D;BD} \right) = \angle B'DB = {30^0}\).

Xét tam giác vuông BDB’ có: \(BD = B'B.\cot {30^0} = 2a\sqrt 3 \).

Vì ABCD là hình thoi cạnh 2a có \(BD = 2a\sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AC = 2AO = 2\sqrt {A{B^2} - B{O^2}}  = 2\sqrt {4{a^2} - 3{a^2}}  = 2a\\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD = \dfrac{1}{2}.2a.2a\sqrt 3  = 2{a^2}\sqrt 3 \end{array}\)

Vậy \(V = AA'.{S_{ABCD}} = 2a.2{a^2}\sqrt 3  = 4{a^3}\sqrt 3 \).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \frac{1}{3}Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({V_{D.A'B'C'D'}} = \frac{1}{3}DD'.AB.AD = \frac{1}{3}.3.1.2 = 2.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tính diện tích hình thang vuông \(ADCM\): \({S_{ADCM}} = \dfrac{{\left( {AD + CM} \right).CD}}{2}\) hoặc \({S_{ADCM}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABM}}\).

- Thể tích khối chóp có chiều cao bằng \(h\), diện tích đáy \(S\) là: \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2a\) nên \({S_{ABCD}} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}.\)

Vì \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(BM = CM = a\).

Do đó, \({S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}AB.BM = \dfrac{1}{2}.2a.a = {a^2}.\)

\( \Rightarrow {S_{ADCM}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABM}} = 4{a^2} - {a^2} = 3{a^2}\).

Thể tích của khối chóp \(S.ADCM\) có chiều cao \(SA = 2a\) là :

                                                \({V_{S.ADCM}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ADCM}} = \dfrac{1}{3}.2a.3{a^2} = 2{a^3}.\) 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tập tỉ lệ thể tích của khối \(A'.BCO\) và khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) dựa vào tỉ lệ chiều cao và tỉ lệ diện tích đáy tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({S_{BCO}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABCD}}\) \( \Rightarrow {V_{A'.BCO}} = \dfrac{1}{4}{V_{A'.ABCD}}.\)

Mà \({V_{A'.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\) (thể tích chóp và lăng trụ có cùng chiều cao và diện tích đáy).

\( \Rightarrow {V_{A'.BCO}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.12 = 1.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tính diện tích tam giác \(ABD\), sử dụng công thức He-rong \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi tam giác, \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài 3 cạnh của tam giác.

- Suy ra \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}}\).

- Tính thể tích khối lăng trụ \(V = AA'.{S_{ABCD}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(ABD\), ta có \(p = \dfrac{{AB + AD + BD}}{2} = \dfrac{{a + a + a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{2}a\).

Diện tích tam giác \(ABD\) là: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \({V_{ABCD}} = AA'.{S_{ABCD}} = 4a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = 2{a^3}\sqrt 3 \).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Áp dụng định lí Pytago tính chiều cao \(SA\) của khối chóp.

- Tính diện tích đáy, sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot AB\), suy ra \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\).

Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:

\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2}}  = \sqrt {4{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 5 \\SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {9{a^2} - 5{a^2}}  = 2a\end{array}\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.BC = \dfrac{1}{2}.2a.a = {a^2}\).

Vậy  \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.2a.{a^2} = \dfrac{{2{a^3}}}{3}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác

(Công thức Simson): Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt thuộc \(SA,\,SB,\,SC\). Khi đó, \(\dfrac{{{V_{S.\,{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{S{A_1}}}{{SA}}.\dfrac{{S{B_1}}}{{SB}}.\dfrac{{S{C_1}}}{{SC}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.MNP}}}} = \dfrac{{SA}}{{SM}}.\dfrac{{SB}}{{SN}}.\dfrac{{SC}}{{SP}} = 2.2.2 = 8.\)

Chọn B.