Đề số 4 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12

Đề bài

Câu 1: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a,$ $x = b$ là:

A. $S = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|$

B. $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$

C. $S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$

D. $S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$

Câu 2: Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$ là:

A. $- 1 + 2i.$                B. $1 - 2i.$

C. $- 1 - 2i.$                 D. $1 + 2i.$

Câu 3: Cho hình phẳng $\left( H \right)$ được giới hạn bởi các đường $x = 0,$ $x = \pi ,$ $y = 0$ và $y =  - \cos x$. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục Ox được tính theo công thức:

A. $V = \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^2}xdx}$

B. $V = \pi \int\limits_0^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx}$

C. $V = \pi \left| {\int\limits_0^\pi  {\left( { - \cos x} \right)dx} } \right|$

D. $V = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^2}xdx}$

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {1; - 4; - 3} \right)$ và $\overrightarrow n  = \left( { - 2;5;2} \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow n$ làm vecto pháp tuyến là

A. $- 2x + 5y + 2z - 28 = 0$

B. $x - 4y - 3z + 28 = 0$

C. $x - 4y - 3z - 28 = 0$

D. $- 2x + 5y + 2z + 28 = 0$

Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 3$ là:

A. $3{x^3} - 2{x^2} + 3x + C.$

B. ${x^3} - {x^2} + C.$

C. ${x^3} - {x^2} + 3x + C.$

D. $6x - 2 + C.$

Câu 6: Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),$ $y = g\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên và các đường thẳng $x = a,$ $x = b$ là:

A. $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} .$

B. $\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .$

C. $\left| {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} .} \right|$

D. $\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx - \int\limits_a^b {\left| {g\left( x \right)} \right|dx} .} .$

Câu 7: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {1;9} \right]$, thỏa mãn $\int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx = 7}$ và $\int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx = 3}$. Tính giá trị biểu thức $P = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_5^9 {f\left( x \right)dx.}$

A. $P = 4$.                    B. $P = 3$.

C. $P = 10$.                  D. $P = 2$.

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {2;3;5} \right)$. Tìm tọa độ điểm A’ là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy.

A. $A'\left( {2;0;5} \right)$

B. $A'\left( {0;3;5} \right)$

C. $A'\left( {0;3;0} \right)$

D. $A'\left( {2;0;0} \right)$

Câu 9: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 2} \right).$

A. $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}$

B. $\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}.$

C. $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}.$

D. $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{{ - 2}}$

Câu 10: Gọi ${z_1};\,\,{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình $2{z^2} + 10z + 13 = 0$, trong đó ${z_1}$ có phần ảo dương. Số phức $2{z_1} + 4{z_2}$ bằng

A. $1 - 15i.$                  B. $- 15 + i$

C. $- 15 - i$                  D. $- 1 - 15i$

Câu 11: Số phức $z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}}$ có phần thực là

A. 3.                               B. 1.

C. $- 3$.                       D. $- 1.$

Câu 12: Trong không gian Oxyz, một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1$ là:

A. $\overrightarrow n  = \left( { - 5;1; - 2} \right)$

B. $\overrightarrow n  = \left( { - \frac{1}{5}; - 1; - \frac{1}{2}} \right)$

C. $\overrightarrow n  = \left( {2; - 10;5} \right)$

D. $\overrightarrow n  = \left( { - 2; - 10;20} \right)$

Câu 13: Phần thực của số phức $\left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)$ là:

A. 4.                               B. 5.

C. 3.                               D. 0.

Câu 14: Cho các số phức ${z_1} = 3 + 4i,$ ${z_2} = 5 - 2i$. Tìm số phức liên hơp $\overline z$ của số phức $z = 2{z_1} + 3{z_2}$.

A. $\overline z  = 8 - 2i.$

B. $\overline z  = 21 - 2i.$

C. $\overline z  = 21 + 2i.$

D. $\overline z  = 8 + 2i.$

Câu 15: Trong không gian Oxyz, các vecto đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là $\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\,\overrightarrow k$ cho điểm

$M\left( {3; - 4;12} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {OM}  =  - 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k$ 

B. $\overrightarrow {OM}  =  - 3\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j  - 12\overrightarrow k$

C. $\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k$

D. $\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k$

Câu 16: Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm $A\left( {3;1;2} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $x + y + 3z + 5 = 0$ có phương trình là

A. $\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{2}$

B. $\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}$

C. $\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}$

D. $\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}$

Câu 17: $\int {{e^{ - 2x + 1}}dx}$ bằng

A. $\frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C.$

B. $- \frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C.$

C. ${e^{ - 2x + 1}} + C.$

D. $- 2{e^{ - 2x + 1}} + C.$

Câu 18: Tính môđun $\left| z \right|$ của số phức $z = \left( {2 + i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} + 1$.

A. $\left| z \right| = 17.$

B. $\left| z \right| = \sqrt {15} .$

C. $\left| z \right| = 3.$

D. $\left| z \right| = \sqrt {17} .$

Câu 19: Cho ${z_1};\,\,{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$, biết ${z_1} - {z_2}$ có phần ảo là số thực âm. Tìm phần ảo của số phức ${\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2$.

A. 3.                               B. $- 12.$

C. $- 3.$                       D. $12.$

Câu 20: Cho tích phân $I = \int\limits_1^e {\frac{{2\ln x + 3}}{x}dx}$. Nếu đặt $t = \ln x$ thì:

A. $I = \int\limits_1^e {\left( {2t + 3} \right)dt} .$

B. $I = \int\limits_0^1 {\left( {2t} \right)dt} .$

C. $I = \int\limits_0^1 {\left( {2t + 3} \right)dt} .$

D. $I = \int\limits_0^1 {\left( {2\ln t + 3} \right)dt} .$

Câu 21: Cho hai hàm số $y = g\left( x \right)$ và $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;c} \right]$ có đồ thị như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số trên được tính theo công thức:

A. $S = \int\limits_a^b {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx}$$+ \int\limits_b^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx.}$

B. $S = \int\limits_a^c {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

C. $S = \int\limits_a^b {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx}$$- \int\limits_b^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx.}$

D. $S = \left| {\int\limits_a^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|$

Câu 22: Biết $\int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx}  = a\ln 2 + b$ với $a,\,\,b$ là các số hữu tỉ. Khi đó ${b^2} - 2a$ bằng

A. 33.                             B. 26.

C. 17.                             D. 6.

Câu 23: Cho hai số phức ${z_1} =  - 1 + 2i;$ ${z_2} = 1 + 2i$. Tinh $T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}$

A. $T = 2\sqrt 5$          B. $T = 4$

C. $T = 10$                   D. $T = 7$

Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):\,\,3x + 4y - 12z + 5 = 0$ và điểm $A\left( {2;4; - 1} \right)$. Trên mặt phẳng $\left( P \right)$ lấy điểm M. Gọi B là điểm sao cho $\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow {AM}$. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng $\left( P \right)$.

A. $d = 9.$                    B. $d = \frac{{30}}{{13}}.$

C. $d = 6.$                    D. $d = \frac{{66}}{{13}}.$

Câu 25: Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx =  - \frac{a}{b} + \frac{\pi }{c}}$ với $a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}$, phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $T = a + b + c.$

A. $T = 156.$                B. $T = 62.$

C. $T = 159.$                D. $T = 167.$

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {1;2;1} \right)$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z + 7 = 0$ theo một đường tròn có đường kính bằng 8. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là:

A. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 81$

B. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25$

C. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5$

D. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9$

Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $I\left( {3;4; - 5} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x + 6y - 3z + 4 = 0$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với $\left( P \right)$ là:

A. ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = \frac{{361}}{{49}}$

B. ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49$

C. ${\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 49$

D. ${\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = \frac{{361}}{{49}}$

Câu 28: Trong không gian Oxyz, biết $\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right)$ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua $A\left( {2;1;5} \right)$ và chứa trục Ox. Tính $k = \frac{b}{c}.$

A. $k =  - 5.$                 B. $k = \frac{1}{5}$

C. $k = 5.$                    D. $k =  - \frac{1}{5}$

Câu 29: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} - x$ và đồ thị hàm số $y = x - {x^2}$.

A. $S = \frac{{81}}{{12}}$                              B. $S = 13$

C. $S = \frac{9}{4}$      D. $S = \frac{{37}}{{12}}$

Câu 30: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4$ và các đường thẳng $y = 0,$ $x =  - 1,$ $x = 5$ bằng:

A. $\frac{{49}}{3}$       B. 18

C. $\frac{{65}}{3}$       D. 36

Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A\left( {0;1; - 1} \right),$ $B\left( {1;1;2} \right),$ $C\left( {1; - 1;0} \right)$ và $D\left( {0;0;1} \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ song song với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ và chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện sao cho tỉ số thể tích của khối đa diện có chứa điểm A và khối tứ diện ABCD bằng $\frac{1}{{27}}$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

A. $- y + z - 4 = 0$

B. $y - z - 1 = 0$

C. $y + z - 4 = 0$

D. $3x - 3z - 4 = 0$

Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left( {0;0;1} \right),$ $B\left( {0;2;0} \right),$ $C\left( {3;0;0} \right)$. Gọi $H\left( {x;y;z} \right)$ là trực tâm của tam giác ABC. Tính $k = x + 2y + z.$

A. $k = \frac{{66}}{{49}}$                              B. $k = \frac{{36}}{{29}}$

C. $k = \frac{{74}}{{49}}$                              D. $k = \frac{{12}}{7}$

Câu 33: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {e^{2x}},$ $y = 0,$ $x = 0,$ $x = 2$ được biểu diễn bởi $\frac{{{e^a} - b}}{c}$ với $a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}$. Tính $P = a + 3b - c.$

A. $P = 5.$                    B. $P =  - 1$

C. $P = 6$                     D. $P = 3$

Câu 34: Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {\tan ^2}x$ biết phương trình $F\left( x \right) = 0$ có một nghiệm bằng $\frac{\pi }{4}.$

A. $F\left( x \right) = \tan x - 1$

B. $F\left( x \right) = \tan x - x + \frac{\pi }{4} - 1$

C. $F\left( x \right) = \tan x + x + \frac{\pi }{4} - 1$

D. $F\left( x \right) = 2\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 4$

Câu 35: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A\left( {1;4;4} \right)$ và $B\left( { - 1;0;2} \right).$

A. $\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}$

B. $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}$

C. $\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}$

D. $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 4}}{2}$

Câu 36: Trong không gian Oxyz,  cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$. Đường thẳng đi qua điểm $M\left( {2;1; - 1} \right)$ và song song với đường thẳng d có phương trình là:

A. $\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$

B. $\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}$

C. $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}$

D. $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$

Câu 37: Trong không gian Oxyz, tính diện tích S của tam giác ABC, biết $A\left( {2;0;0} \right),$ $B\left( {0;3;0} \right)$ và $C\left( {0;0;4} \right)$

A. $S = 2\sqrt {61}$     B. $S = \frac{{\sqrt {61} }}{2}$

C. $S = \frac{{\sqrt {61} }}{3}$                      D. $S = \sqrt {61}$

Câu 38: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \sqrt x \cos \frac{x}{2},\,\,y = 0,\,\,x = \frac{\pi }{2},\,\,x = \pi$. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng $\left( H \right)$ quay xung quanh trục Ox.

A. $V = \frac{\pi }{6}\left( {3{\pi ^2} + 4\pi  - 8} \right)$

B. $V = \frac{\pi }{{16}}\left( {3{\pi ^2} - 4\pi  - 8} \right)$

C. $V = \frac{\pi }{8}\left( {3{\pi ^2} + 4\pi  - 8} \right)$

D. $V = \frac{1}{{16}}\left( {3{\pi ^2} - 4\pi  - 8} \right)$

Câu 39: Số phức liên hợp $\overline z$ của số phức $z = \frac{{4 + 6i}}{{1 - i}}$ là:

A. $\overline z  =  - 2 - 10i$

B. $\overline z  =  - 1 + 5i$

C. $\overline z  =  - 2 + 10i$

D. $\overline z  =  - 1 - 5i$

Câu 40: Tính tích phân $I = \int\limits_2^7 {\sqrt {x + 2} dx} .$

A. $I = 19$                    B. $I = 38$

C. $I = \frac{{670}}{3}$ D. $I = \frac{{38}}{3}$

Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}$ và $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}$. Gọi M là trung điểm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng trên. Tính độ dài đoạn thẳng OM.

A. $OM = \sqrt {35}$   B. $OM = 2\sqrt {35}$

C. $OM = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$                  D. $OM = \sqrt 5$

Câu 42: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y =  - {3^x},$ $y = 0,$ $x = 0,$ $x = 4$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $S = \pi \int\limits_0^4 {{3^{2x}}dx}$

B. $S = \int\limits_0^4 {\left( { - {3^x}} \right)dx}$

C. $S = \int\limits_0^4 {{3^x}dx}$

D. $S = \pi \int\limits_0^4 {{3^x}dx}$

Câu 43: Gọi z là số phức có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện $\left| {z - 2 - 8i} \right| = \sqrt {17}$. Biết $z = a + bi$ với$a,\,\,b \in \mathbb{R}$, tính $m = 2{a^2} - 3b.$

A. $m = 14.$                 B. $m =  - 18.$

C. $m =  - 10.$              D. $m = 54.$

Câu 44: Cho phương trình ${x^2} - 4x + \frac{c}{d} = 0$ (với phân số $\frac{c}{d}$ tối giản) có hai nghiệm phức. Gọi A; B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy. Biết tam giác OAB đều (O là gốc tọa độ). Tính $P = c + 2d.$

A. $P =  - 14$                B. $P = 22$

C. $P = 18$                   D. $P =  - 10$

Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $2x - 6y - 4z + 7 = 0$ và ba điểm $A\left( {2;4; - 1} \right);$ $B\left( {1;4; - 1} \right);$ $C\left( {2;4;3} \right)$. Gọi S là điểm nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho $SA = SB = SC$. Tính $l = SA + SB$.

A. $l = \sqrt {53}$

B. $l = \sqrt {37}$

C. $l = \sqrt {117}$

D. $l = \sqrt {101}$

Câu 46: Biết $\int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx}  = \frac{a}{b}\ln a - c$, trong đó $a,b$ là các số nguyên tố, c là số nguyên dương. Tính $T = a + b + c.$

A. $T = 27.$                  B. $T = 35.$

C. $T = 23.$                  D. $T = 11.$

Câu 47: Trên tập số phức, phương trình ${z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0$ có một nghiệm là

A. $z = 3 - {2019^{2020}}i$

B. $z = 3 - {2019^{1010}}i$

C. $z = 3 + {2019^{1010}}i$

D. $z = 3 + {2019^{2020}}i$

Câu 48: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0$

A. $I\left( {2; - 1; - 1} \right);R = 9$

B. $I\left( { - 2;1;1} \right);R = 9$

C. $I\left( { - 2;1;1} \right);R = 3$

D. $I\left( {2; - 1; - 1} \right);R = 3$

Câu 49: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x\ln x$, trục hoành và đường thẳng $x = e$. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay D quanh trục hoành được viết dưới dạng $\frac{\pi }{a}\left( {b.{e^3} - 2} \right)$ với a và b là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức $T = a - {b^2}.$

A. $T = 2.$                    B. $T =  - 12.$

C. $T =  - 1.$                 D. $T =  - 9.$

Câu 50: Biết $\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}{e^x}dx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{a - be}}{a}}$ với a là số nguyên tố. Tính $S = 2{a^2} + b.$

A. $S = 19.$                  B. $S = 241.$

C. $S = 99.$         D. $S = 9.$

Lời giải chi tiết

 

 

Câu 1 (NB)

Phương pháp:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a,$ $x = b$ là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$.

Cách giải:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a,$ $x = b$ là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$.

Chon B.

Câu 2 (NB)

Phương pháp:

Tìm hai nghiệm phức của phương trình, sử dụng MTCT.

Cách giải:

Phương trình ${z^2} - 2z + 5 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.$

Vậy nghiệm phức có phần ảo dương là $z = 1 + 2i.$

Chọn D.

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ được giới hạn bởi các đường $x = a,$ $x = b,$ $y = 0$ và $y = f\left( x \right)$. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục Ox được tính theo công thức: $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$.

Cách giải:

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ được giới hạn bởi các đường $x = a,$ $x = b,$ $y = 0$ và $y = f\left( x \right)$. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục Ox được tính theo công thức: $V = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\left( { - \cos x} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_0^\pi  {{{\cos }^2}xdx} .$

Chọn D.

Câu 4 (NB)

Phương pháp:

Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ là:

$A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0$.

Cách giải:

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {1; - 4; - 3} \right)$ và có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( { - 2;5;2} \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là  $- 2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y + 4} \right) + 2\left( {z + 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow  - 2x + 5y + 2z + 28 = 0.$

Chọn D.

Câu 5 (NB)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: $\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$ $\left( {n \ne  - 1} \right)$.

Cách giải:

Ta có $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^2} - 2x + 3} \right)dx}$.

$\Rightarrow \int {f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 3x + C} .$

Chọn C.

Câu 6 (NB)

Phương pháp:

Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục $\left[ {a;b} \right]$, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, các đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .$

Cách giải:

Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục $\left[ {a;b} \right]$, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, các đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .$

Chọn B.

Câu 7 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng tính chất của tích phân: $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} ,$ $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} .$

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}P = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_5^9 {f\left( x \right)dx.} \\P = \int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_9^4 {f\left( x \right)dx} \\ + \int\limits_5^4 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_4^9 {f\left( x \right)dx} \\P = \int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx} \\P = 7 - 3 = 4.\end{array}$

Chọn A.

Câu 8 (NB)

Phương pháp:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm $A\left( {x;y;z} \right)$ lên trục $Oy$ có tọa độ là $\left( {0;y;0} \right)$.

Cách giải:

Hình chiếu của điểm $A\left( {2;3;5} \right)$ lên trục Oy là điểm $A'\left( {0;3;0} \right).$

Chọn C.

Câu 9 (NB)

Phương pháp:

- Đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình là: $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$.

Cách giải:

Đường thẳng đi qua $A\left( {1;2;3} \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 2} \right)$ có dạng: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}$

Chọn A.

Câu 10 (TH)

Phương pháp:

- Tìm nghiệm của phương trình đã cho rồi suy ra ${z_1};\,\,{z_2}$.

- Xác định đúng ${z_1},\,\,{z_2}$ dựa vào giả thiết, sau đó tính $2{z_1} + 4{z_2}$.

Cách giải:

Ta có $2{z^2} + 10z + 13 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\\z =  - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\end{array} \right.$

Mà ${z_1}$ có phần ảo dương nên ${z_1} =  - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i;\,\,{z_2} =  - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i.$

Vậy $2{z_1} + 4{z_2} =  - 15 - i.$

Chọn C.

Câu 11 (NB)

Phương pháp:

Tính số phức z bằng MTCT sau đó suy ra phần thực.

Cách giải:

$z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}} = 3 + i$

Vậy phần thực của z bằng 3.

Chọn A.

Câu 12 (TH)

Phương pháp:

- Mặt phẳng $Ax + By + Cz + D = 0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$.

- Mọi vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow n$ đều là 1 VTPT của $\left( P \right)$.

Cách giải:

Ta có $\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1$$\Leftrightarrow 2x - 10y + 5z + 10 = 0$

Suy ra mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {2; - 10;5} \right).$

Chọn C.

Câu 13 (NB)

Phương pháp:

Tính số phức z bằng MTCT và suy ra phần thực của nó.

Cách giải:

Ta có $z = \left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right) = 4 + 3i.$

Vậy phần thực của số phức z là 4.

Chọn A.

Câu 14 (TH)

Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT.

- Số phức liên hợp của số phức $z = a + bi$ là $\overline z  = a - bi$.

Cách giải:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + 4i\\{z_2} = 5 - 2i\end{array} \right.$

$\Rightarrow z = 2{z_1} + 3{z_2}$ $= 2\left( {3 + 4i} \right) + 3\left( {5 - 2i} \right)$ $= 21 + 2i$

$\Rightarrow \overline z  = 21 - 2i.$

Chọn B.

Câu 15 (NB)

Phương pháp:

Điểm $M\left( {x;y;z} \right)$ thì $\overrightarrow {OM}  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k$.

Cách giải:

Ta có $M\left( {3; - 4;12} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  + 12\overrightarrow k$

Chọn D.

Câu 16 (TH)

Phương pháp:

- Đường thẳng d vuông có với mp(P) nên có 1 VTCP $\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}$ với $\overrightarrow {{n_P}}$ là 1 VTPT của (P).

- Đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình là: $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$.

Cách giải:

Mặt phẳng $\left( P \right):x + y + 3z + 5 = 0$ có 1 VTPT $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;3} \right).$

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên có 1 VTCP $\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;3} \right).$

Mà đường thẳng d đi qua $A\left( {3;1;2} \right)$ nên phương trình đường thẳng d là $\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}.$

Chọn B.

Câu 17 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: $\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C} .$

Cách giải:

Ta có $\int {{e^{ - 2x + 1}}dx =  - \frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C}$

Chọn B.

Câu 18 (TH) Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT.

- Số phức $z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

Cách giải:

Ta có $z = \left( {2 + i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} + 1 =  - 1 + 4i.$

Vậy $\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {17} .$

Chọn D.

Câu 19 (TH)

Phương pháp:

- Tìm nghiệm của phương trình đã cho.

- Sử dụng dữ kiện để tìm ${z_1};\,\,{z_2}$ rồi tính số phức w.

Cách giải:

Ta có ${z^2} - 2z + 5 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.$

Mà ${z_1} - {z_2}$ có phần ảo là số thực âm nên $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 - 2i\\{z_2} = 1 + 2i\end{array} \right..$

$\Rightarrow {\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2 =  - 3 - 12i$.

Vậy phần ảo của số phức w là $- 12.$

Chọn B.

Câu 20 (TH)

Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ $t = \ln x$, biểu diễn tất cả theo $t$ và $dt$.

- Đổi cận.

- Từ đó suy ra I biểu diễn theo t.

Cách giải:

Đặt $t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = e \Rightarrow t = 1\end{array} \right.$.

Khi đó ta có: $I = \int\limits_0^1 {\left( {2t + 3} \right)dt}$

Chọn C.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

- Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục $\left[ {a;b} \right]$, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, các đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .$

- Dựa vào đồ thị hàm số để phá trị tuyệt đối.

Cách giải:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;c} \right]$ có diện tích$S = \int\limits_a^c {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$$= \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$ $+ \int\limits_b^c {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+ Trên đoạn $\left[ {a;b} \right]:$ $f\left( x \right) > g\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) > 0$, do đó $\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right| = f\left( x \right) - g\left( x \right),$$\forall x \in \left[ {a;b} \right]$

+ Trên đoạn $\left[ {b;c} \right]:$ $f\left( x \right) < g\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) < 0$, do đó $\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right| =  - \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right],$$\forall x \in \left[ {b;c} \right]$

Vậy $S = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}$$- \int\limits_b^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} .$

Chọn C.

Câu 22 (TH)

Phương pháp:

- Chia tử cho mẫu.

- Áp dụng các công thức tính nguyên hàm: $\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$ $\left( {n \ne  - 1} \right)$, $\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|}  + C.$

Cách giải:

Ta có

$\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx}  = \int\limits_1^3 {\frac{{2x + 2 - 5}}{{x + 1}}dx} \\I = \int\limits_1^3 {\left( {2 - \frac{5}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2x - 5\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^3\\I = 6 - 5\ln 4 - 2 + 5\ln 2\\ = 4 - 5\ln {2^2} + 5\ln 2\\I = 4 - 10\ln 2 + 5\ln 2\\ = 4 - 5\ln 2\end{array}$

Khi đó $a = 4;\,\,b =  - 5\,\,\left( {tm} \right).$

Vậy ${b^2} - 2a = {\left( { - 5} \right)^2} - 2.4 = 17.$

Chọn C.

Câu 23 (NB)

Phương pháp:

Số phức $z = a + bi$ có môđun $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

Cách giải:

Ta có

$\begin{array}{l}{z_1} =  - 1 + 2i\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \\{z_2} = 1 + 2i\\ \Rightarrow \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \end{array}$

Vậy $T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 5 + 5 = 10.$

Chọn C.

Câu 24 (TH)

Phương pháp:

- Gọi $H,\,\,K$ lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P).

- Sử dụng định lí Ta-lét chứng minh $\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}}$.

- Tính khoảng cách từ A đến (P): Khoảng cách từ $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0$ là $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

Cách giải:

Vì $\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow {AM}  \Rightarrow A;\,\,B$ nằm hai phía của mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{1}{2}$.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P). Khi đó ta có AH // BK. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \frac{1}{2}$.

Mà $d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.4 - 12\left( { - 1} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 3$.

Vậy $d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A;\left( P \right)} \right) = 6.$

Chọn C.

Câu 25 (VD) 

Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ t = tanx.

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính tổng T = a + b + c.

Cách giải:

Ta có $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx}$

Đặt $t = \tan x$$\Rightarrow dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}$ $= \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx$ $= \left( {1 + {t^2}} \right)dx$

$\Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.$.

Khi đó ta có: $I = \int\limits_0^1 {\left( {{t^2} + 2{t^8}} \right)\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left( {2{t^6} - 2{t^4} + 2{t^2} - 1 + \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)dt} \\ \Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{{2{t^7}}}{7} - \frac{{2{t^5}}}{5} + \frac{{2{t^3}}}{3} - t} \right)} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \\ \Rightarrow I =  - \frac{{47}}{{105}} + {I_1}\end{array}$

Đặt $t = \tan u$$\Rightarrow dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}u}}du = \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow u = 0\\t = 1 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.$.

Khi đó ta có: ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du}}{{1 + {{\tan }^2}u}}}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {du}  = \frac{\pi }{4}$.

$\Rightarrow I =  - \frac{{47}}{{105}} + \frac{\pi }{4}$$\Rightarrow a = 47,\,\,b = 105,\,\,c = 4$

Vậy $T = a + b + c$$= 47 + 105 + 4 = 156$

Chọn A.

Câu 26 (TH)

Phương pháp:

- Tính $d = d\left( {I;\left( P \right)} \right)$. Khoảng cách từ $I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng  là $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.

- Sử dụng định lí Pytago: ${R^2} = {r^2} + {d^2}$ với R là bán kính mặt cầu, r là bán kính đường tròn giao tuyến.

- Mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính $R$ có phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Cách giải:

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo 1 đường tròn có đường kính bằng 8 nên có bán kính r = 4.

Ta có: $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2 + 2.1 + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3$

Gọi R là bán kính mặt cầu (S), áp dụng định lí Pytago ta có: ${R^2} = {r^2} + {d^2} = {4^2} + {3^2} = 25$

Vậy phương trình mặt cầu là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25$.

Chọn B.

Câu 27 (VD)

Phương pháp:

+) $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R$.

+) Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ bán kính $R$ là ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Cách giải:

+) $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$

$\Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R$ $= \frac{{\left| {2.3 + 6.4 - 3\left( { - 5} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }}$ $= \frac{{49}}{7} = 7$

+) Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với $\left( P \right)$ là: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49$

Chọn B.

Câu 28 (TH)

Phương pháp:

- $\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Ox \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]$ là 1 VTPT của (P).

- $\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)$ cũng là 1 VTPT của (P) nên $\overrightarrow n$ cùng phương với vectơ $\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]$.

Cách giải:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Ox \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]$ là 1 VTPT của (P).

$\overrightarrow {OA}  = \left( {2;1;5} \right),\,\,\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)$ $\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0;5; - 1} \right)$.

Vì $\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)$ cũng là 1 VTPT của (P), ta chọn $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0;5; - 1} \right)$ $\Rightarrow a = 0,\,\,b = 5,\,\,c =  - 1$.

Vậy $k = \frac{b}{c} = \frac{5}{{ - 1}} =  - 5$.

Chọn A.

Câu 29 (VD)

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm.

- Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục $\left[ {a;b} \right]$, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, các đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .$

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${x^3} - x = x - {x^2}$$\Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = {x^3} - x$ và $y = x - {x^2}$ là

$\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2x} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right|\\ + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right|\\ = \frac{8}{3} + \frac{5}{{12}} = \frac{{37}}{{12}}.\end{array}$

Chọn D.

Câu 30 (VD)

Phương pháp:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm.

- Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục $\left[ {a;b} \right]$, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, các đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .$

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 2$.

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4$ và các đường thẳng $y = 0,$ $x =  - 1,$ $x = 5$ là:

$\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_2^5 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} } \right|\\ = 9 + 27 = 36.\end{array}$

Chọn D.

Câu 31 (VD)

Phương pháp:

- Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ song song với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ cắt AB,AC,AD lần lượt tại B’,C’,D’.

- Áp dụng tỉ số thể tích: Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Khi đó ta có: $\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}$.

- Tính tỉ số, từ đó xác định tọa độ điểm B’.

- Viết phương trình mặt phẳng song song với (BCD) và đi qua điểm B’.

Cách giải:

Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ song song với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ cắt AB, AC, AD lần lượt tại B’, C’, D’.

Đặt $\frac{{AB'}}{{AB}} = k$. Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được $\frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{AD'}}{{AD}} = k$.

Khi đó ta có  $\frac{{{V_{AB'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AB'}}{{AB}}.\frac{{AC'}}{{AC}}.\frac{{AD'}}{{AD}}$$\Leftrightarrow {k^3} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow k = \frac{1}{3}.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow AB' = \frac{1}{3}AB \Rightarrow \overrightarrow {AB'}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - 0 = \frac{1}{3}.1\\{y_{B'}} - 1 = \frac{1}{3}.0\\{z_{B'}} + 1 = \frac{1}{3}.3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = \frac{1}{3}\\{y_{B'}} = 1\\{z_{B'}} = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow B'\left( {\frac{1}{3};1;0} \right)\end{array}$

Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 2; - 2} \right)\\\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]$ $= \left( {0;2; - 2} \right)\parallel \left( {0;1; - 1} \right)$

Vì $\left( \alpha  \right)\parallel \left( {BCD} \right)$ nên $\overrightarrow n \left( {0;1; - 1} \right)$ cũng là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là: $0.\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) - 1.z = 0$ $\Leftrightarrow y - z - 1 = 0$.

Chọn B.

Câu 32 (VD)

Phương pháp:

- Áp dụng tính chất của trực tâm: $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.$.

- Gọi $H\left( {x;y;z} \right)$, giải hệ phương trình tìm $H$.

Cách giải:

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$$\Leftrightarrow 2x + 3y + 6z - 6 = 0$

Gọi $H\left( {x;y;z} \right)$.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.$.

Ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( {x;y;z - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BH}  = \left( {x;y - 2;z} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {3; - 2;0} \right);\,\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {3;0; - 1} \right)\end{array}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 0\\3x - z = 0\\2x + 3y + 6z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{12}}{{49}}\\y = \frac{{18}}{{49}}\\z = \frac{{36}}{{49}}\end{array} \right.$.

Vậy $k = x + 2y + z = \frac{{12}}{7}.$

Chọn D.

Câu 33 (TH)

Phương pháp:

- Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục $\left[ {a;b} \right]$, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, các đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .$

- Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng : $\int {{e^{ax + b}}dx}  = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C.$

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính P.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng.

Sử dụng các công thức tính nguyên hàm.

Cách giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {e^{2x}},$ $y = 0,$ $x = 0,$ $x = 2$ là

$S = \int\limits_0^2 {\left| {{e^{2x}}} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {{e^{2x}}dx}$$= \left. {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_0^2 = \frac{{{e^4} - 1}}{2}$

Khi dó $a = 4;\,\,b = 1;\,\,c = 2.$

Vậy $P = a + 3b - c$ $= 4 + 3.1 - 2 = 5.$

Chọn A.

Câu 34 (TH)

Phương pháp:

- Sử dụng biến đổi lượng giác: ${\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1$.

- Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}}  = \tan x + C$.

- Sử dụng giả thiết $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0$ tìm C.

Cách giải:

Ta có $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\tan ^2}x$ nên

$\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {{{\tan }^2}x} dx\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \\ \Rightarrow F\left( x \right) = \tan x - x + C\end{array}$

Mà $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow 1 - \frac{\pi }{4} + C = 0$$\Leftrightarrow C = \frac{\pi }{4} - 1.$

Vậy $F\left( x \right) = \tan x - x + \frac{\pi }{4} - 1.$

Chọn B.

Câu 35 (VD)

Phương pháp:

- Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận $\overrightarrow {AB}$ là 1 VTCP.

- Đường thẳng đi qua $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình là: $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$.

Cách giải:

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 4; - 2} \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng $\Delta$ , suy ra $\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)$ cũng là 1 VTCP của $\Delta$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {1;4;4} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)$ là: $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 4}}{1}$.

Ta thấy $M\left( {0;2;3} \right) \in \Delta$ , do đó phương trình $\Delta$ cũng có dạng $\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}$.

Chọn A.

Câu 36 (VD)

Phương pháp:

- Hai đường thẳng song song thì VTCP của đường thẳng này cũng là VTCP của đường thẳng kia.

- Đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình là: $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$.

Cách giải:

Đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u \left( { - 1;2; - 1} \right)$.

Do đó đường thẳng d’ song song với d có 1 VTCP là $\overrightarrow {u'} \left( {1; - 2;1} \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng d’ đi qua M(2;1;-1) và song song với d có phương trình là: $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}$.

Dễ thấy điểm $A\left( {0;5; - 3} \right) \in d'$, do đó phương trình đường thẳng d’ có dạng $\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}$.

Chọn B.

Câu 37 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$.

Cách giải:

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;0} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;0;4} \right)$ $\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12;8;6} \right)$.

Vậy ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|$$= \frac{1}{2}.\sqrt {{{12}^2} + {8^2} + {6^2}}  = \sqrt {61}$

Chọn D.

Câu 38 (VD)

Phương pháp:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Gọi $\left( H \right)$ là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục Ox và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thanh khi quay $\left( H \right)$ quanh trục Ox được tính theo công thức $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} .$

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $y = \sqrt x \cos \frac{x}{2} = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.$

Xét $x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right] \Rightarrow x = \pi$

$\Rightarrow V = \pi \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi  {x{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx}  \approx 1,775$.

Chọn B.

Câu 39 (TH)

Phương pháp:

- Tìm số phức z bằng MTCT.

- Số phức liên hợp của số phức $z = a + bi$ là $\overline z  = a - bi$.

Cách giải:

Ta có $z = \frac{{4 + 6i}}{{1 - i}} =  - 1 + 5i$$\Rightarrow \overline z  =  - 1 - 5i$

Chọn D.

Câu 40 (TH)

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm $\int {\sqrt {ax + b} dx}$$= \frac{1}{a}.\frac{2}{3}\left( {ax + b} \right)\sqrt {ax + b}  + C$

Cách giải:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_2^7 {\sqrt {x + 2} dx} \\ = \frac{2}{3}\left. {\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} } \right|_2^7 = \frac{{38}}{3}.\end{array}$

Chọn D.

Câu 41 (VD)

Phương pháp:

- Gọi giao điểm của đoạn vuông góc chung với hai đường thẳng đã cho.

- Áp dụng tính chất vuông góc để tìm hai giao điểm đó.

Cách giải:

Gọi $A \in {d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}$$\Rightarrow A\left( {a + 2;a + 4; - 2a} \right)$

$B \in {d_2}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}$$\Rightarrow B\left( {2b + 3; - b - 1; - b - 2} \right)$

Khi đó $\overrightarrow {AB}  = \left( {2b - a + 1; - b - a - 5; - b + 2a - 2} \right)$

Mà $\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1; - 2} \right)$ và $\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b - a + 1 - b - a - 5 -\\2\left( { - b + 2a - 2} \right) = 0\\2\left( {2b - a + 1} \right) + b + a + 5 + b\\ - 2a + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a + 3b = 0\\ - 3a + 6b + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;3;2} \right)\\B\left( { - 1;1;0} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy trung điểm M của AB là $M\left( {0;2;1} \right) \Rightarrow OM = \sqrt 5 .$

Chọn D.

Câu 42 (TH)

Phương pháp:

Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục $\left[ {a;b} \right]$, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, các đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .$

Cách giải:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y =  - {3^x},$ $y = 0,$ $x = 0,$ $x = 4$ có diện tích là:

$S = \int\limits_0^4 {\left| { - {3^x}} \right|dx}  = \int\limits_0^4 {{3^x}dx}$

Chọn C.

Câu 43 (VD)

Phương pháp:

- Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.

- Gọi $M\left( {a;b} \right)$ là điểm biểu diễn số phức z.

- Khi đó: ${\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }}$.

Cách giải:

Vì  $\left| {z - 2 - 8i} \right| = \sqrt {17}$ nên tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn (C) tâm $I\left( {2;8} \right)$, bán kính $R = \sqrt {17} .$

Gọi $M\left( {a;b} \right)$ là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó ta có $\left| z \right| = OM$.

Do đó ${\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }} \Rightarrow M$ là giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (C).

Ta có đường thẳng OI có dạng $y = 4x$

M là giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (C) nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {4x - 8} \right)^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\17{\left( {x - 2} \right)^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3,\,\,y = 12\\x = 1,\,\,y = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {3;12} \right)\\M\left( {1;4} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Với M(3;12) thì $OM = \sqrt {{3^2} + {{12}^2}}  = 3\sqrt {17}$.

Với M(1;4) thì $OM = \sqrt {{1^2} + {4^2}}  = \sqrt {17}$.

Vậy $O{M_{\min }} = \sqrt {17}  \Leftrightarrow a = 1,\,\,b = 4$ $\Rightarrow m = 2{a^2} - 3b =  - 10.$

Chọn C.

Câu 44 (VD)

Phương pháp:

- Áp dụng định lý viet.

- Sử dụng tính chất tam giác đều có ba cạnh bằng nhau.

Cách giải:

Phương trình ${x^2} - 4x + \frac{c}{d} = 0$ có hai nghiệm phức ${z_1};{z_2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 4\\{z_1}.{z_2} = \frac{c}{d}\end{array} \right.$

Ta có ${z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi$

Nên ${z_1} + {z_2} = 2a = 4 \Rightarrow a = 2$

Đặt $A\left( {2;b} \right);B\left( {2; - b} \right)$

Vì tam giác OAB đều nên $OA = AB$

$\Rightarrow 4 + {b^2} = 4{b^2} \Rightarrow {b^2} = \frac{4}{3}$

Mà $\frac{c}{d} = {z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{{16}}{3}$

Nên $\left\{ \begin{array}{l}c = 16\\d = 3\end{array} \right.$$\Rightarrow P = c + 2d = 22$

Chọn B.

Câu 45 (VD)

Phương pháp:

- Gọi $S\left( {a;b;c} \right)$.

- Lập 3 phương trình ba ẩn, giải hệ phương trình tìm a, b, c.

- Tính $SA$, sau đó tính l.

Cách giải:

Gọi $S\left( {a;b;c} \right).$

Vì $S \in \left( P \right)$$\Rightarrow 2a - 6b - 4c + 7 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$

Theo bài ra ta có:

Thay vào (1) ta có: $2.\frac{3}{2} - 6b - 4.1 + 7 = 0$$\Leftrightarrow b = 1.$

Khi đó ta có: $S\left( {\frac{3}{2};1;1} \right)$$\Rightarrow SA = \sqrt {\frac{1}{4} + 9 + 4}  = \frac{{\sqrt {53} }}{2}$

Vậy $l = SA + SB = 2SA = \sqrt {53} .$

Chọn A.

Câu 46 (VD)

Phương pháp:

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến $t = {x^2} + 1$, sau đó sử dụng phương pháp từng phân.

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính T.

Cách giải:

Ta có $I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx}$

Đặt $t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 4 \Rightarrow t = 17\end{array} \right.$.

Khi đó ta có: $I = \frac{1}{2}\int\limits_1^{17} {\ln tdt}$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{t}dt\\v = t\end{array} \right.$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {\left. {t.\ln t} \right|_1^{17} - \int\limits_1^{17} {t.\frac{1}{t}dt} } \right)\\ \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {17\ln 17 - \int\limits_1^{17} {dt} } \right)\\ \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {17\ln 17 - \left( {17 - 1} \right)} \right)\\ \Rightarrow I = \frac{{17}}{2}\ln 17 - 8\end{array}$

$\Rightarrow a = 17,\,\,b = 2,\,\,c =  - 8$.

Vậy $T = a + b + c$ $= 17 + 2 + \left( { - 8} \right) = 11.$

Chọn D.

Câu 47 (VD)

Phương pháp:

Áp dụng định lý Vi-et: $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} =  - \frac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$.

Cách giải:

Ta có ${z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 6\\{z_1}.{z_2} = {2019^{2020}} + 9\end{array} \right.$

Đặt ${z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi$

Nên ${z_1} + {z_2} = 2a = 6 \Rightarrow a = 3$

Mà ${z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2}$$\Rightarrow {b^2} = {2019^{2020}}$ $\Rightarrow b =  \pm {2019^{1010}}$

Vậy $z = 3 \pm {2019^{1010}}i.$

Chọn B.    

Câu 48 (NB)

Phương pháp:

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by$$+ 2cz + d = 0$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$ với ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$.

Cách giải:

Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0$ có tâm là $I\left( {2; - 1; - 1} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {4 + 1 + 1 + 3}  = 3.$

Chọn D.

Câu 49 (VD)

Phương pháp:

Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục $\left[ {a;b} \right]$, thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, các đường thẳng $x = a,\,\,x = b$ là $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .$

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x\ln x = 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\\ln x = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.$

Khi đó ta có: $V = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx}$

Đặt

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\ln ^2}x = u\\{x^2}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{2}{x}\ln xdx\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow V = \pi \left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x} \right|_1^2 - \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{x^2}\ln xdx} } \right]\end{array}$

Đặt $I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{x^2}\ln xdx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u\\{x^2}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{2}{3}\left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2}}}{3}dx} } \right]\\ = \frac{2}{3}\left. {\left[ {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x - \frac{{{x^3}}}{9}} \right]} \right|_1^2\end{array}$

Khi đó

$V = \pi \left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x - \frac{2}{9}{x^3}\ln x + \frac{{2{x^3}}}{{27}}} \right|_1^2} \right]$

$= \frac{\pi }{{27}}\left( {5{e^3} - 2} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 27\\b = 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow T = a - {b^2} = 2\end{array}$

Chọn A.

Câu 50 (VDC)

Cách giải:

Ta có

$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}{e^x}dx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left( {{x^2} - 4} \right){e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \frac{{4{e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left( {x - 2} \right){e^x}}}{{x + 2}} + \frac{{4{e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left( {x - 2} \right){e^x}}}{{x + 2}} + \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right)'.{e^x}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{{e^x}\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}} \right)} 'dx\\ = \left. {\frac{{{e^x}\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}} \right|_0^1 = \frac{{ - e}}{3} + 1 = \frac{{3 - e}}{3}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = 2{a^2} + b = 19.\end{array}$

Chọn A.

Nguồn: Sưu tầm

HocTot.Nam.Name.Vn