Đề số 9 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 9 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán học 12 Đề bài Câu 1: Cho hai số phức \(z = \left( {2x + 1} \right) + \left( {3y - 2} \right)i\), \(z' = \left( {x + 2} \right) + \left( {y + 4} \right)i\). Tìm các số thực \(x,\,\,y\) để \(z = z'.\) A. \(x = 3,y = 1.\) B. \(x = 1,y = 3.\) C. \(x = - 1,y = 3.\) D. \(x = 3,y = - 1.\) Câu 2: Nguyên hàm của hàm số \(y = x{e^x}\) là: A. \(x{e^x} + C.\) B. \(\left( {x + 1} \right){e^x} + C.\) C. \(\left( {x - 1} \right){e^x} + C.\) D. \({x^2}{e^x} + C.\) Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) biết \(A\left( {2;1;4} \right);\) \(B\left( { - 1; - 3; - 5} \right)\) là: A. \(3x + 4y + 9z + 7 = 0.\) B. \( - 3x - 4y - 9z + 7 = 0.\) C. \(3x + 4y + 9z = 0.\) D. \( - 3x - 4y - 9z + 5 = 0.\) Câu 4: Số phức liên hợp của số phức \(z = {\left( {\sqrt 3 - 2i} \right)^2}\)là: A. \(\overline z = - 1 + 4\sqrt 3 i\). B. \(\overline z = - 1 - 4\sqrt 3 i\) C. \(\overline z = 1 - 4\sqrt 3 i.\) D. \(\overline z = 1 + 4\sqrt 3 i.\) Câu 5: Giá trị của \(\int\limits_0^\pi {\left( {2\cos x - \sin 2x} \right)dx} \) là: A. \(1\). B. \(0\) C. \( - 1.\) D. \( - 2.\). Câu 6: Hai điểm biểu diễn số phức \(z = 1 + i\) và \(z' = - 1 + i\) đối xứng nhau qua: A. Gốc \(O\) B. Điểm\(E\left( {1;1} \right)\). C. Trục hoành. D. Trục tung. Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các vecto \(\overrightarrow a = \left( {3; - 1; - 2} \right);\) \(\overrightarrow b = \left( {1;2;m} \right);\) \(\overrightarrow c = \left( {5;1;7} \right)\). Để \(\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\) khi giá trị của \(m\) là: A. \(m = 0.\) B. \(m = 1.\) C. \(m = - 1.\) D. \(m = 2.\) Câu 8: Cho \(\int\limits_0^3 {\left( {x - 3} \right)f'\left( x \right)dx} = 12\) và \(f\left( 0 \right) = 3\). Khi đó giá trị \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \) là: A. \( - 21.\) B. \( - 3.\) C.12. D. 9. Câu 9: Cho số phức \({z_1} = 2 + 6i\) và \({z_2} = 5 - 8i\). Modun của số phức \({\rm{w}} = {z_1}.{z_2}\) là: A. \(\left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt {601} .\) B. \(\left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt {610} .\) C. \(\left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt {980} .\) D. \(\left| {\rm{w}} \right| = 2\sqrt {890} .\) Câu 10: Cho \(\int\limits_0^3 {f\left( {{x^2}} \right)xdx = 3} \).Khi đó giá trị của \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} \) là: A. 6. B. 9. C. 12. D. 3. Câu 11: Trong không gian với hê tọa độ \(Oxyz\), phương trình mặt cầu có đường kính \(AB\) với \(A\left( {4; - 3;7} \right);\) \(B\left( {2;1;3} \right)\) là: A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 36.\) B. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 9.\) C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 36.\) D. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 9.\) Câu 12: Rút gọn biểu thức \(M = {i^{2018}} + {i^{2019}}\) ta được: A. \(M = 1 + i.\) B. \(M = - 1 + i.\) C. \(M = 1 - i.\) D. \(M = - 1 - i.\) Câu 13: Nguyên hàm của hàm số \(y = x\cos x\) là: A. \(x\cos x - \sin x + C.\) B. \(x\cos x + \sin x + C.\) C. \(x\sin x + c{\rm{os}}x + C.\) D. \(x\sin x - c{\rm{os}}x + C.\) Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số : \(y = x\sqrt[3]{{1 - x}};\) \(y = 0;\) \(x = 1;\) \(x = 9\) là A. \(S = \frac{{468}}{7}.\) B. \(S = \frac{{568}}{{11}}.\) C. \(S = \frac{{468}}{{11}}.\) D. \(S = \frac{{467}}{9}.\) Câu 15: Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx = a + \ln b} \). Khi đó \(a + b\) bằng. A. 3. B. 4. C. 0. D. 2 Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm \(O\left( {0;0;0} \right);\) \(A\left( {4;0;0} \right);\) \(B\left( {0;4;0} \right);\) \(C\left( {0;0;4} \right)\) là: A. \(R = 3\sqrt 3 \) B. \(R = 4\sqrt 3 \) C. \(R = \sqrt 3 \) D. \(R = 2\sqrt 3 \) Câu 17: Biết \(\int {\frac{{4x - 3}}{{2{x^2} - 3x - 2}}dx} \)\(= \ln \left| {x - a} \right| + b\ln \left| {cx + 1} \right| + C \). Khi đó \(a + b - c\) bằng: A. 5. B. 1. C. \( - 2.\) D. \( - 3.\) Câu 18: Giá trị \(\int\limits_0^1 {\left( {2x + 2} \right){e^x}dx} \) là: A. \(3e\). B. \(4e\). C. \(e\). D. \(2e\). Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {3;6; - 2} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} \)\(- 6x - 4y + 2z - 3 = 0\) Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(M\) là: A. \(4y - z - 26 = 0.\) B. \(4x - z - 14 = 0.\) C. \(4x - y - 6 = 0.\) D. \(y - 4z - 14 = 0.\) Câu 20: Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} - 2x\) và \(y = x\) là: A. \(S = \frac{9}{4}.\) B. \(S = \frac{9}{2}.\) C. \(S = \frac{{13}}{2}.\) D. \(S = \frac{{13}}{4}.\) Câu 21: Để hàm số \(F\left( x \right) = \left( {a\sin x + b\cos x} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {3\sin x - 2\cos x} \right){e^x}\) thì giá trị \(a + b\) là: A. \(a + b = - 2.\) B. \(a + b = 2.\) C. \(a + b = - 3.\) D. \(a + b = 3.\) Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right);\) \(B\left( {3;0;0} \right)\) là: A. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + 2t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\) B. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 2t\\z = 3t\end{array} \right.\) C. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + 2t\\z = 3 - 3t\end{array} \right.\) D. \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2 - 2t\\z = - 3 + 3t\end{array} \right.\) Câu 23: Biết \(\int\limits_0^1 {\ln \left( {2x + 1} \right)dx = \frac{a}{b}\ln 3 - c} \) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên dương. Mệnh đề đúng là: A. \(a + b = c.\) B. \(a - b = c.\) C. \(a + b = 2c.\) D. \(a - b = 2c.\) Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), các phương trình dưới đây, phương trình nào là phương trình của một mặt cầu : A. \({x^2} + {y^2} + {z^2} \)\(+ 4x - 2xy + 6z + 5 = 0.\) B. \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} \)\(+ 2x + 5y + 6z + 2019 = 0.\) C. \({x^2} + {y^2} + {z^2} \)\(+ 4x - 2yz - 1 = 0.\) D. \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} \)\(- 2x + 5y + 6z - 2019 = 0.\) Câu 25: Cho số phức \(z = 2 - 2\sqrt 3 i\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. \(\left| z \right| = 4.\) B. \(\overline z = 2 + 2\sqrt 3 i\) C. \(z = {\left( {\sqrt 3 - i} \right)^2}\) D. \({z^3} = 64\) Câu 26: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = {x^2} - 4x + 4,\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 3\) xung quanh trục \(Ox\) là: A. \(V = \frac{{33\pi }}{5}\) B. \(V = \frac{{33}}{5}\) C. \(V = \frac{{29\pi }}{4}\) D. \(V = \frac{{29}}{4}\) Câu 27: Số phức \(z = \left( {7 - 2i} \right){\left( {1 + 5i} \right)^2}\) có phần ảo là A. 118i. B. 118. C. \( - 148\) D. \( - 148i\) Câu 28: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2};\) \(x = {y^2}\) xung quanh trục \(Ox\) là: A. \(V = \frac{3}{{10}}\) B. \(V = \frac{{3\pi }}{{10}}\) C. \(V = \frac{{10\pi }}{3}\) D. \(V = \frac{{10}}{3}\) Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình của mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A\left( {1;1;1} \right);\) \(B\left( {2;4;5} \right);\) \(C\left( {4;1;2} \right)\) là: A. \(3x - 11y + 9z - 1 = 0.\) B. \(3x + 3y - z - 5 = 0\) C. \(3x + 11y - 9z - 5 = 0\) D. \(9x + y - 10z = 0\) Câu 30: Cho \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = - 3} ,\) \(\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx = 7} \). Khi đó \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} \) bằng: A. 3. B. 4. C. 7. D. 10. Câu 31: Giải phương trình \({z^2} - 2z + 3 = 0\) trên tậ số phức ta được các nghiệm: A. \({z_1} = 2 + \sqrt 2 i;\,\,{z_2} = 2 - \sqrt 2 i\) B. \({z_1} = - 1 + \sqrt 2 i;\,\,{z_2} = - 1 - \sqrt 2 i\) C. \({z_1} = - 2 + \sqrt 2 i;\,\,{z_2} = - 2 - \sqrt 2 i\) D. \({z_1} = 1 + \sqrt 2 i;\,\,{z_2} = 1 - \sqrt 2 i\) Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho mặt cầu có phương trình : \(\left( {{S_m}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} \)\(- 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0.\) \(\left( {{S_m}} \right)\) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất khi \(m\) là: A. \(m = 0.\) B. \(m = \frac{1}{2}.\) C. \(m = - 1.\) D. \(m = - \frac{3}{2}.\) Câu 33: Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 4 - {x^2}\) và trục hoành là: A. \(S = \frac{{32}}{3}.\) B. \(S = \frac{{33}}{2}.\) C. \(S = \frac{{23}}{2}.\) D. \(S = \frac{{22}}{3}.\) Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {5;3;2} \right)\) và đường thẳng\(\left( d \right):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}\). Tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(\left( d \right)\) là: A. \(H\left( {1; - 3; - 2} \right)\) B. \(H\left( {3;1;4} \right)\) C. \(H\left( {2; - 1;1} \right)\) D. \(H\left( {4;3;7} \right)\) Câu 35: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\) là: A.Một đường thẳng. B.Một đường tròn. C.Một Parabol. D. Một Elip. Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {3; - 3;5} \right)\) và đường thẳng:\(\left( d \right):\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 3}}{4}\). Phương trình của đường thẳng qua \(A\) và song song với \(\left( d \right)\) là A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 3 + 3t\\z = 4 - 5t\end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = 3 + 3t\\z = - 5 + 4t\end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 3 - 3t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 3 + 3t\\z = 5 + 4t\end{array} \right.\) Câu 37: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ;\) \(y = x - 2;\) \(y = - x\) là A. \(S = \frac{{11}}{2}.\) B. \(S = \frac{{11}}{3}.\) C. \(S = \frac{{13}}{2}.\) D. \(S = \frac{{13}}{3}.\) Câu 38: Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất \(\left| z \right|\) là: A. \(\sqrt 2 \) B. \(2\sqrt 2 \) C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) Câu 39: Cho hình phẳng giới hạn bởi các dường \(y = \frac{4}{{x - 4}},\) \(y = 0,\) \(x = 0\) và \(x = 2\) quay quanh trục \(Ox\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành là: A. \(V = 4.\) B. \(V = 9.\) C. \(V = 4\pi .\) D. \(V = 9\pi .\) Câu 40: Số phức \(z\) thỏa mãn \(z + 2\overline z = {\left( {1 + 5i} \right)^2}\) có phần ảo là: A. \( - 8\) B. \( - 8i\) C. \( - 10\) D. \( - 10i\) Câu 41: Giá trị của \(\int\limits_0^{16} {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 9} - \sqrt x }}} \) là: A. 4. B. 9. C. 12. D. 15. Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - z - 8 = 0\),\(\left( Q \right):3x + 4y - z - 11 = 0\). Gọi \(\left( d \right)\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\), phương trình của đường thẳng \(\left( d \right)\) là: A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 - t\\z = - 5 + 5t\end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 3t\\y = t\\z = - 2 - 5t\end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = t\\z = - 2 + 5t\end{array} \right.\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 + t\\z = - 7 + 5t\end{array} \right.\) Câu 43: Nguyên hàm của hàm số \(y = \cot x\) là: A. \(\ln \left| {\cos x} \right| + C\) B. \(\ln \left| {\sin x} \right| + C\) C. \(\sin x + C\) D. \(\tan x + C\) Câu 44: Nguyên hàm của hàm số \(y = {\tan ^2}x\) A. \(\tan x + x + C.\) B. \( - \tan x - x + C.\) C. \(\tan x - x + C.\) D. \( - \tan x + x + C.\) Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), tâm và bán kính của mặt cầu \(\left( S \right):\)\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 5 = 0\) là: A. \(I\left( { - 2;1; - 3} \right),R = 3\) B. \(I\left( {2; - 1;3} \right),R = 3\) C. \(I\left( {4; - 2;6} \right),R = 5\) D. \(I\left( { - 4;2; - 6} \right),R = 5\) Câu 46: Giá trị của \(\int\limits_0^\pi {\sqrt {1 + \cos 2x} dx} \) là: A. 0. B. \(3\sqrt 2 \) C. \(2\sqrt 2 \) D. 1. Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {0;0;3} \right),\) \(B\left( {1;1;3} \right),\) \(C\left( {0;1;1} \right)\). Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2; - 1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z + 2 = 0\). Gọi \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Phương trình của mặt cầu tâm \(I\) và đi qua \(A\) là: A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\) B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\) C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\) D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6.\) Câu 49: Với số phức \(z\) tùy ý, cho mệnh đề \(\left| { - z} \right| = \left| z \right|;\) \(\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|;\) \(\left| {z + \overline z } \right| = 0;\) \(\left| z \right| > 0.\) Số mệnh đề đúng là: A. 2. B. 4. C. 1. D. 3. Câu 50: Cho số phức \(z = \frac{{m + 3i}}{{1 - i}},\,\,m \in \mathbb{R}\). Số phức \({\rm{w}} = {z^2}\) có \(\left| {\rm{w}} \right| = 9\) khi các giá trị của \(m\) là: A. \(m = \pm 1.\) B. \(m = \pm 2.\) C. \(m = \pm 3.\) D. \(m = \pm 4.\) Lời giải chi tiết
Câu 1 (TH) Phương pháp: Áp dụng tính chất: \({z_1} = {a_1} + {b_1}i;{z_2} = {a_2} + {b_2}i\) \({z_1} = {z_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right.\) Cách giải: Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}z = \left( {2x + 1} \right) + \left( {3y - 2} \right)i\\z' = \left( {x + 2} \right) + \left( {y + 4} \right)i\end{array} \right.\) Để \(z = z'\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = x + 2\\3y - 2 = y + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right..\) Chọn B. Câu 2 (TH) Phương pháp: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \). Cách giải: Ta có \(\int {ydx} = \int {x{e^x}dx} \) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {ydx} = x{e^x} - \int {{e^x}dx} \\ = x{e^x} - {e^x} + C = \left( {x - 1} \right){e^x} + C.\end{array}\) Chọn C. Câu 3 (TH) Phương pháp: - Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) đi qua trung điểm của \(AB\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) là 1 VTPT. - Điểm \(I\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\). - Mặt phẳng đi qua \(I\left( {a;b;c} \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) có phương trình: \(A\left( {x - a} \right) + B\left( {y - b} \right) + C\left( {z - c} \right) = 0\). Cách giải: Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(I\left( {\frac{1}{2}; - 1; - \frac{1}{2}} \right).\) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(AB\). Khi đó \(\left( P \right)\) đi qua trung điểm \(I\left( {\frac{1}{2}; - 1; - \frac{1}{2}} \right)\) của \(AB\) và có 1 vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow {BA} = \left( {3;4;9} \right).\) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(3\left( {x - \frac{1}{2}} \right) + 4\left( {y + 1} \right) + 9\left( {z + \frac{1}{2}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + 4y + 9z + 7 = 0\) Chọn A. Câu 4 (TH) Phương pháp: - Khai triển số phức \(z\), đưa số phức \(z\) về dạng \(z = a + bi\). - Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) là \(\overline z = a - bi\). Cách giải: Ta có \(z = {\left( {\sqrt 3 - 2i} \right)^2} = - 1 - 4\sqrt 3 i\). Vậy số phức liên hợp của số phức \(z\) là: \(\overline z = - 1 + 4\sqrt 3 i.\) Chọn A. Câu 5 (NB) Phương pháp: Sử dụng các công thức nguyên hàm hàm số lượng giác: \(\int {\sin kxdx} = - \frac{1}{k}\cos kx + C\), \(\int {\cos kxdx} = \frac{1}{k}\sin kx + C\). Cách giải: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\int\limits_0^\pi {\left( {2\cos x - \sin 2x} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2\sin x + \frac{1}{2}\cos 2x} \right)} \right|_0^\pi \\ = 2\sin \pi + \frac{1}{2}\cos 2\pi - 2\sin 0 - \frac{1}{2}\cos 0\\ = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\end{array}\) Chọn B. Câu 6 (TH) Phương pháp: - Tìm điểm biểu diễn của hai số phức rồi kết luận. - Điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\) là \(M\left( {a;b} \right)\). Cách giải: Ta có \(z = 1 + i\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {1;1} \right)\) \(z' = - 1 + i\) có điểm biểu diễn là \(M'\left( { - 1;1} \right)\) Hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng nhau qua trục \(Oy\). Chọn D. Câu 7 (TH) Phương pháp: - Tìm tích có hướng của \(\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b \). - Tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau. - Giải hệ phương trình tìm \(m\). Cách giải: Ta có \(\overrightarrow a = \left( {3; - 1; - 2} \right);\overrightarrow b = \left( {1;2;m} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \left( { - m + 4; - 2 - 3m;7} \right)\). \(\begin{array}{l}\overrightarrow c = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right]\\ \Rightarrow \left( { - m + 4; - 2 - 3m;7} \right) = \left( {5;1;7} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 4 = 5\\ - 2 - 3m = 1\\7 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\end{array}\) Chọn C. Câu 8 (TH) Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \). Cách giải: Ta có \(\int\limits_0^3 {\left( {x - 3} \right)f'\left( x \right)dx = 12} \) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 3\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\) Khi đó \(\begin{array}{l}12 = \left. {\left( {x - 3} \right)f\left( x \right)} \right|_0^3 - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow 12 = - 3f\left( 0 \right) - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow 12 = - 3.3 - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = - 21.\end{array}\) Chọn A. Câu 9 (TH) Phương pháp: - Áp dụng công thức tính tích hai số phức. - Số phức \(z = a + bi\) thì \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \). Cách giải: Ta có \({\rm{w}} = {z_1}.{z_2} = \left( {2 + 6i} \right)\left( {5 - 8i} \right)\) \(= 58 + 14i\) (sử dụng MTCT)
\( \Rightarrow \left| {\rm{w}} \right| = \sqrt {{{58}^2} + {{14}^2}} = 2\sqrt {890} .\) Chọn D. Câu 10: Phương pháp: - Sử dụng phương pháp đổi biến số. - Đặt ẩn phụ \(t = {x^2}\), đổi cận. - Sử dụng tính chất không phụ thuộc vào biến của tích phân: \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {f\left( u \right)du} = \int {f\left( t \right)dt} ...\) Cách giải: Ta có \(\int\limits_0^3 {f\left( {{x^2}} \right)xdx} = 3\) Đặt \({x^2} = t\)\( \Rightarrow 2xdx = dt \Leftrightarrow xdx = \frac{1}{2}dt\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 3 \Rightarrow y = 9\end{array} \right.\). Khi đó \(3 = \frac{1}{2}\int\limits_0^9 {f\left( t \right).dt} \)\( \Rightarrow 6 = \int\limits_0^9 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} \) Chọn A. Câu 11 (TH) Phương pháp: - Tìm trung điểm I của AB chính là tâm mặt cầu. Điểm \(I\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\). - Tìm bán kính của mặt cầu: \(R = IA\)\( = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}} \) - Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) có phương trình: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\). Cách giải: Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow I\left( {3; - 1;5} \right)\) là tâm mặt cầu đường kính \(AB\). Bán kính mặt cầu đường kính \(AB\) là: \(R = IA\)\( = \sqrt {{{\left( {4 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {7 - 5} \right)}^2}} = 3.\) Vậy phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 9.\) Chọn D. Câu 12 (TH) Phương pháp: Sử dụng \({i^2} = - 1\). Cách giải: \(M = {i^{2018}} + {i^{2019}} = {i^{2018}}\left( {1 + i} \right)\)\( = {\left( {{i^2}} \right)^{1006}}\left( {1 + i} \right) = 1 + i\) Chọn A. Câu 13 (TH) Phương pháp: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần \(\int {udv} = uv - \int {vdu} \). Cách giải: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \sin x\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {x\cos xdx} \\ = x\sin x - \int {\sin xdx} \\ = x\sin x + \cos x + C\end{array}\) Chọn C. Câu 14 (VD) Phương pháp: - Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc \(\left[ {1;9} \right]\). - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \). - Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}}.\) Cách giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x\sqrt[3]{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;9} \right]\\x = 1\end{array} \right.\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = x\sqrt[3]{{1 - x}};\) \(y = 0;\) \(x = 1;\) \(x = 9\) là: \(S = \int\limits_1^9 {\left| {x\sqrt[3]{{1 - x}}} \right|dx} = \left| {\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} } \right|\) Đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}} \Leftrightarrow {t^3} = 1 - x\)\( \Leftrightarrow 3{t^2}dt = - dx.\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = 9 \Rightarrow t = - 2\end{array} \right.\). Khi đó \(\begin{array}{l}S = \left| { - 3\int\limits_0^{ - 2} {\left( {1 - {t^3}} \right).t.{t^2}dt} } \right|\\ = \left| {3\int\limits_0^{ - 2} {\left( {{t^6} - {t^3}} \right)dt} } \right|\\ = \left| {\left. {3\left( {\frac{{{t^7}}}{7} - \frac{{{t^4}}}{4}} \right)} \right|_0^{ - 2}} \right|\\ = \left| {3\left( { - \frac{{156}}{7}} \right)} \right| = \frac{{468}}{7}\end{array}\) Chọn A. Câu 15 (TH) Phương pháp: - Chia tử cho mẫu. - Áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản và mở rộng: \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne - 1} \right)\), \(\int {\frac{{dx}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\). Cách giải: \(\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^2\\ = 2 + \ln 3 - \frac{1}{2} - \ln 2\\ = \frac{3}{2} + \ln \frac{3}{2}\end{array}\) \( \Rightarrow a = b = \frac{3}{2}\)\( \Rightarrow a + b = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3.\) Chọn A. Câu 16 (TH) Phương pháp: - Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu \( \Rightarrow IO = IA = IB = IC\). - Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}IO = IA\\IO = IB\\IO = IC\end{array} \right.\) tìm \(a,\,\,b,\,\,c\). Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng: \(AB = \)\(\sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \) - Tính bán kính mặt cầu \(R = IO\). Cách giải: Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu cân tìm, khi đó ta có \(IO = IA = IB = IC\). \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}IO = IA\\IO = IB\\IO = IC\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 4} \right)^2} + {b^2} + {c^2}\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {c^2}\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = - 8a + 16\\0 = - 8b + 16\\0 = - 8c + 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\end{array}\) Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là: \(R = IO = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} \)\( = 2\sqrt 3 \) Chọn D. Câu 17 (VD) Phương pháp: - Phân tích mẫu thành nhân tử. - Đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng \(\frac{A}{{x - 2}} + \frac{B}{{2x + 1}}\). - Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng: \(\int {\frac{{dx}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\). - Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính \(a + b - c\). Cách giải: Ta có \(\begin{array}{l}I = \int {\frac{{4x - 3}}{{2{x^2} - 3x - 2}}dx} \\ = \int {\frac{{2\left( {x - 2} \right) + 2x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}dx} \\\,\,\, = \int {\left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{2}{{2x + 1}}} \right)dx} \\ = \ln \left| {x - 2} \right| + \ln \left| {2x + 1} \right| + C\end{array}\) Mà \(a = 2;\,\,b = 1;\,\,c = 2.\) Vậy \(a + b - c = 2 + 1 - 2 = 1.\) Chọn B. Câu 18 (TH) Phương pháp: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \). Cách giải: Gọi \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 2} \right){e^x}dx} .\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 2\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\) Khi đó \(\begin{array}{l}I = \left. {\left( {2x + 2} \right){e^x}} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {{e^x}dx} \\\,\,\,\, = 4e - 2 - \left. {2{e^x}} \right|_0^1\\\,\,\,\, = 4e - 2 - \left( {2e - 2} \right) = 2e.\end{array}\). Chọn D. Câu 19 (TH) Phương pháp: - Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2}\)\( - 2ax - 2by -2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { a; b; c} \right)\). - Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(M\) là mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {IM} \) và đi qua điểm \(M\). - Mặt phẳng đi qua \(M\left( {a;b;c} \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) có phương trình: \(A\left( {x - a} \right) + B\left( {y - b} \right) + C\left( {z - c} \right) = 0\). Cách giải: Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( {3;2; - 1} \right).\) Mà \(M\left( {3;6; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( {0;4; - 1} \right).\) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(M\) là mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {IM} \) và đi qua điểm \(M\) có phương trình: \(4\left( {y - 6} \right) - \left( {z + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4y - z - 26 = 0.\) Chọn A. Câu 20 (TH) Phương pháp: - Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số. - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \). Cách giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 2x = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right..\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho là: \(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 3x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^3 {\left( {3x - {x^2}} \right)dx} = \frac{9}{2}\)
Chọn B. Câu 21 (TH) Phương pháp: - \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). - Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính tổng \(a + b\). Cách giải: Vì \(F\left( x \right) = \left( {a\sin x + b\cos x} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {3\sin x - 2\cos x} \right){e^x}\) nên ta có:
Vậy \(a + b = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = - 2\). Chọn A. Câu 22 (TH) Phương pháp: - Đường thẳng đi qua \(A,\,\,B\) nhận \(\overrightarrow {AB} \) là 1 VTCP. - Phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\). Cách giải: Ta có \(A\left( {1; - 2;3} \right);B\left( {3;0;0} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 3} \right)\) Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2;3} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 3} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + 2t\\z = 3 - 3t\end{array} \right.\) Chọn C. Câu 23 (TH) Phương pháp: - Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \). - Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\). Cách giải: Gọi \(I = \int\limits_0^1 {\ln \left( {2x + 1} \right)dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2x + 1} \right)\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{2}{{2x + 1}}dx\\v = x\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {x\ln \left( {2x + 1} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{2x}}{{2x + 1}}dx} \\ \Rightarrow I = \ln 3 - \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{2x + 1}}} \right)dx} \\ \Rightarrow I = \ln 3 - \left. {\left( {x - \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ \Rightarrow I = \ln 3 - \left( {1 - \frac{1}{2}\ln 3} \right)\\ \Rightarrow I = \frac{3}{2}\ln 3 - 1\\ \Rightarrow a = 3,\,\,b = 2,\,\,c = 1\end{array}\) Vậy \(a - b = c\). Chọn B. Câu 24 (TH) Phương pháp: Phương trình mặt cầu có dạng \(a{x^2} + a{y^2} + a{z^2} - 2mx - 2ny - 2tz + d = 0\) thỏa mãn \({\left( {\frac{m}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{n}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{t}{a}} \right)^2} - d > 0.\) Cách giải: Loại A, C vì trong phương trình chứa hạng tử \(xy\) và \(yz\). Loại B vì \({\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 5}}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^2} - 2019 < 0\). Chọn D. Câu 25 (TH) Phương pháp: - Tính môđun số phức \(z = a + bi\) \( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \). - Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp \(\overline z = a - bi\). Cách giải: Ta có \(z = 2 - 2\sqrt 3 i\) \( \Rightarrow {z^3} = {\left( {2 - 2\sqrt 3 i} \right)^3} = - 64\) nên D sai.
Chọn D. Câu 26 (VD) Phương pháp: - Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc \(\left[ {0;3} \right]\). - Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) khi quanh quay trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \). Cách giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\). Thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi \(y = {x^2} - 4x + 4,\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 3\) xung quanh trục \(Ox\) là: \(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^3 {\left| {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}} \right|dx} \\ = \pi \left| {\int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}dx} } \right|\\ + \pi \left| {\int\limits_2^3 {{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}^2}dx} } \right|\\ = \frac{{32}}{5}\pi + \frac{1}{5}\pi = \frac{{33\pi }}{5}\end{array}\) Chọn A. Câu 27 (TH) Phương pháp: - Nhân khai triển số phức, đưa số phức về dạng \(z = a + bi\). - Số phức \(z = a + bi\) có phần ảo bằng \(b\). Cách giải: Ta có \(z = \left( {7 - 2i} \right){\left( {1 + 5i} \right)^2}\)\( = - 148 + 118i\)
Vậy số phức đã cho có phần ảo là 118. Chọn B. Câu 28 (TH) Phương pháp: - Xét phương trình hoành độ giao điểm. - Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) khi quanh quay trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \). Cách giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} = \pm \sqrt x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right..\) Thể tích khối tròn xoay là \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - x} \right|dx} = \frac{{3\pi }}{{10}}.\) Chọn B. Câu 29 (TH) Phương pháp: - Mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\) là 1 VTPT. - Mặt phẳng đi qua \(A\left( {a;b;c} \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) có phương trình: \(A\left( {x - a} \right) + B\left( {y - b} \right) + C\left( {z - c} \right) = 0\). Cách giải: Ta có \(A\left( {1;1;1} \right);B\left( {2;4;5} \right);C\left( {4;1;2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {1;3;4} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {3;0;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;11; - 9} \right).\) Mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;11; - 9} \right)\) là 1 VTPT có phương trình: \(3\left( {x - 1} \right) + 11\left( {y - 1} \right) - 9\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + 11y - 9z - 5 = 0.\) Chọn C. Câu 30 (TH) Phương pháp: Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)d} x + \int\limits_b^c {f\left( x \right)d} x = \int\limits_a^c {f\left( x \right)d} x\). Cách giải: Ta có \(\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow - 3 + \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = 7\\ \Leftrightarrow \int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = 7 - \left( { - 3} \right) = 10.\end{array}\) Chọn D. Câu 31 (NB) Phương pháp: Sử dụng máy tính bấm nghiệm của phương trình. Cách giải: \({z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + \sqrt 2 i\\{z_2} = 1 - \sqrt 2 i\end{array} \right..\)
Chọn D. Câu 32 (VD) Phương pháp: - Mặt cầu \(\left( S \right):\)\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \). - Tìm GTNN của biểu thức, đưa về hằng đẳng thức hoặc sử dụng phương pháp hàm số. Cách giải: Mặt cầu: \(\left( {{S_m}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2}\)\( - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0\) có bán kính \(\begin{array}{l}R =\\ \sqrt {{{\left( {2m} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - m} \right)}^2} - {m^2} - 4m} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {4{m^2} - 4m + 4} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {2m - 1} \right)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \end{array}\) Vậy mặt cầu \(\left( {{S_m}} \right)\) có bán kính nhỏ nhất \(R = \sqrt 3 \Leftrightarrow 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\). Chọn B. Câu 33 (TH) Phương pháp: - Xét phương trình hoành độ giao điểm. - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \). Cách giải: Hoành độ giao điểm của hàm số với trục hoành là \(4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\) Diện tích hình phẳng cần tìm là: \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {4 - {x^2}} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} = \frac{{32}}{3}.\) Chọn A. Câu 34 (VD) Phương pháp: - Tham số hóa tọa độ điểm \(H \in d\) theo ẩn \(t\). - \(MH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\) với \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(d\). - Đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\). - Giải phương trình tìm ẩn \(t\), từ đó suy ra tọa độ điểm \(H\). Cách giải: Gọi \(H\left( {1 + t;\,\, - 3 + 2t;\,\, - 2 + 3t} \right) \in d.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {t - 4;\,\,2t - 6;\,\,3t - 4} \right)\). Đường thẳng \(d\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;3} \right)\). Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(d\) nên \(MH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\). \(\begin{array}{l} \Rightarrow 1.\left( {t - 4} \right) + 2.\left( {2t - 6} \right) + 3.\left( {3t - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 14t - 28 = 0 \Leftrightarrow t = 2.\end{array}\) Vậy \(H\left( {3;1;4} \right).\) Chọn B. Câu 35 (VD) Phương pháp: - Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\). - Thay \(z,\,\,\overline z \) vào phương trình đề bài cho. - Sử dụng công thức \(\left| {a + bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \). - Bình phương hai vế, tìm mối quan hệ giữa \(x,\,\,y\) và kết luận. Cách giải: Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\). Theo bài ra ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi + i - 1} \right| = \left| {x - yi - 2z} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x - 1 + \left( {y + 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y + 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1\\ = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\ \Leftrightarrow 2x + 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\end{array}\) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng có phương trình \(x + y + 1 = 0\). Chọn A. Câu 36 (TH) Phương pháp: - Đường thẳng \(d'\) song song với đường thẳng \(d\) thì \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow {{u_d}} \). - Phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\). Cách giải: Gọi \(\left( {d'} \right)\) là đường thẳng chứa A và song song với \(\left( d \right)\). Vì \(d'\parallel d \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;3;4} \right)\). Vậy phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua \(A\left( {3; - 3;5} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {1;3;4} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = - 3 + 3t\\z = 5 + 4t\end{array} \right..\) Chọn D. Câu 37 (VD) Phương pháp: - Vẽ đồ thị hàm số, xác định các giao điểm. - Chia diện tích cần tính thành các diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), \(x = a,\,\,x = b\). - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \). Cách giải:
Xét các phương trình hoành độ giao điểm: \(\begin{array}{l} - x = x - 2 \Leftrightarrow x = 1\\x - 2 = \sqrt x \Leftrightarrow x = 4\end{array}\) Ta xác định được \({x_A} = 1,\,\,{x_B} = 4\). Diện tích hình phẳng cần tính bao gồm: - \({S_1}\): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,\,\,y = - x\), \(x = 0,\,\,x = 1\). \(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - \left( { - x} \right)} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1\\ = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 0 = \frac{7}{6}\end{array}\) - \({S_2}\): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,\,\,y = x - 2\), \(x = 1,\,\,x = 4\). \(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} = \int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x - \left( {x - 2} \right)} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^4\\ = \frac{2}{3}.8 - 8 + 8 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2\\ = \frac{{19}}{6}\end{array}\) Vậy diện tích cần tính là: \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{7}{6} + \frac{{19}}{6} = \frac{{13}}{3}\). Chọn D. Câu 38 (VD) Phương pháp: - Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\). - Thay vào giả thiết, tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức \(z\) là 1 đường thẳng \(d\). - Khi đó \(\left| z \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \left| z \right| = d\left( {O;d} \right)\). - Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:\,\,ax + by + c = 0\) là \(d\left( {M;d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\). Cách giải: Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\) Khi đó \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi + i - 1} \right| = \left| {x - yi - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y + 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1\\ = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\ \Leftrightarrow 2x + 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\end{array}\) Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(\left( d \right):\,\,x + y + 1 = 0\). Khi đó \(\left| z \right| = OM\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow OM = d\left( {O;d} \right)\)\( = \frac{{\left| {0 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) Chọn C. Câu 39 (TH) Phương pháp: - Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc \(\left[ {0;2} \right]\). - Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) khi quanh quay trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \). Cách giải: ĐKXĐ: \(x \ne 4\). Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{4}{{x - 4}} = 0\) (Vô nghiệm). Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{4}{{x - 4}}} \right)}^2}dx} = 4\pi .\) Chọn C. Câu 40 (VD) Phương pháp: - Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\). - Thay vào giả thiết, đưa phương trình về dạng hai số phức bằng nhau. - Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi chúng có phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau. - Giải hệ phương trình tìm \(x,\,\,y\). Cách giải: Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\). Theo bài ra ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,z + 2\overline z = {\left( {1 + 5i} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x + yi + 2\left( {x - yi} \right) = - 24 + 10i\\ \Leftrightarrow 3x - yi = - 24 + 10\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = - 24\\ - y = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 8\\y = - 10\end{array} \right.\end{array}\) Vậy \(z = - 8 - 10i\) có phần ảo bằng \( - 10\). Chọn C. Câu 41 (VD) Phương pháp: - Nhân liên hợp. - Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng: \(\int {\sqrt {ax + b} dx} = \frac{1}{a}.\frac{{2\sqrt {{{\left( {ax + b} \right)}^3}} }}{3} + C\). Cách giải: \(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{16} {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 9} - \sqrt x }}} \\\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{16} {\frac{{\left( {\sqrt {x + 9} + \sqrt x } \right)dx}}{{x + 9 - x}}} \\\,\,\,\, = \int\limits_0^{16} {\frac{{\left( {\sqrt {x + 9} + \sqrt x } \right)dx}}{9}} \\\,\,\,\, = \left. {\frac{1}{9}.\frac{2}{3}\left[ {\sqrt {{{\left( {x + 9} \right)}^3}} + \sqrt {{x^3}} } \right]} \right|_0^{16}\\\,\,\,\, = \frac{2}{{27}}\left( {125 + 64 - 27 - 0} \right) = 12.\end{array}\) Chọn C. Câu 42 (VD) Phương pháp: - Cho \(x = 0\) và \(y = 0\), tìm hai điểm \(A,\,\,B\) cùng thuộc hai mặt phẳng. - Viết phương trình đường thẳng giao tuyến là đường thẳng đi qua 2 điểm \(A,\,\,B\). Cách giải: Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - z - 8 = 0\\3x + 4y - z - 11 = 0\end{array} \right.\) là tập hợp các điểm cùng thuộc hai mặt phẳng. Cho \(x = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z - 8 = 0\\4y - z - 11 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z = - 7\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A\left( {0;1; - 7} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right).\) Cho \(y = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - z - 8 = 0\\3x - z - 11 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\z = - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( {3;0; - 2} \right) \in \left( P \right) \cap \left( Q \right).\) Khi đó đường thẳng \(d\) là giao tuyến của \(\left( P \right);\left( Q \right)\) là đường thẳng đi qua \(A,\,\,B\), nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;5} \right)\) là 1 VTCP. Do đó chỉ có đáp án A thỏa mãn. Chọn A. Câu 43 (TH) Phương pháp: - Sử dụng công thức \(\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\). - Đặt \(t = \sin x\), sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {\frac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right| + C\). Cách giải: \(\int {\cot xdx = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} } \) Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\). Khi đó ta có: \(\begin{array}{l}\int {\cot xdx = \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} } \\ = \int {\frac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right| + C\\ = \ln \left| {\sin x} \right| + C\end{array}\) Chọn B. Câu 44 (TH) Phương pháp: - Áp dụng \({\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\). - Áp dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = \tan x + C\), \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne - 1} \right)\). Cách giải: \(\begin{array}{l}\int {{{\tan }^2}x} dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \\ = \tan x - x + C\end{array}\) Chọn C. Câu 45 (NB) Phương pháp: Mặt cầu \(\left( S \right):\)\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \) (với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)). Cách giải: Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( { - 2;1; - 3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - 5} = 3.\) Chọn A. Câu 46 (VD) Phương pháp: - Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1.\) - Nhận xét dấu của biểu thức, phá căn. - Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {\cos xdx} = \sin x + C\). Cách giải: Ta có \(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^\pi {\sqrt {1 + \cos 2x} } dx\\ = \int\limits_0^\pi {\sqrt {2{{\cos }^2}x} dx} = \int\limits_0^\pi {\sqrt 2 } \left| {\cos x} \right|dx\end{array}\) Xét trên \(\left[ {0;\pi } \right]\) ta có: \(\cos x \ge 0 \Leftrightarrow \left| {\cos x} \right| = \cos x\). Vậy \(I = \int\limits_0^\pi {\sqrt 2 } \cos xdx = \sqrt 2 \left. {\sin x} \right|_0^\pi = 0\). Chọn A. Câu 47 (VD) Phương pháp: - Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\) là 1 VTPT. - Mặt phẳng đi qua \(A\left( {a;b;c} \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) có phương trình: \(A\left( {x - a} \right) + B\left( {y - b} \right) + C\left( {z - c} \right) = 0\). - Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\) , Cách giải: Ta có \(\begin{array}{l}A\left( {0;0;3} \right);B\left( {1;1;3} \right);C\left( {0;1;1} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;0} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {0;1; - 2} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;2;1} \right)\end{array}\) Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\) và nhận \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;2;1} \right)\) là 1 VTPT.\( - 2.\left( {x - 0} \right) + 2.\left( {y - 0} \right) + 1.\left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + 2y + z - 3 = 0.\) Vậy \(d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} }} = 1\). Chọn A. Câu 48 (VD) Phương pháp: - Viết phương trình đường thẳng \(IA\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\). - Tìm tọa độ điểm \(I = IA \cap \left( P \right)\). - Mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A\) có bán kính: \(R = IA\)\( = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_I}} \right)}^2}} \) - Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\). Cách giải: Vì \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right) \Rightarrow IA \bot \left( P \right)\). \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{IA}}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;1} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(IA\). \( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(IA\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - 2t\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(I\left( {2 + t; - 1 - 2t;t} \right) \in \left( {IA} \right)\). Mà \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right) \Rightarrow I \in \left( P \right)\). \(\begin{array}{l} \Rightarrow 2 + t - 2.\left( { - 1 - 2t} \right) + t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\\ \Rightarrow I\left( {1;1; - 1} \right)\end{array}\) Khi đó bán kính mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A\) là: \(R = IA\)\( = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2}} \)\(= \sqrt 6 \) Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;1; - 1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 6 \) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6.\) Chọn C. Câu 49 (VD) Phương pháp: Đặt \(z = a + bi\), xét từng mệnh đề. Cách giải: +) Đặt \(z = a + bi \Rightarrow - z = - a - bi.\) Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\)\(\left| { - z} \right| = \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow \left| z \right| = \left| { - z} \right|\) là mệnh đề đúng. +) Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi.\) Ta có: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\)\(\left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow \left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\) là mệnh đề đúng. +) Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\)\( \Rightarrow z + \overline z = 2a\) \( \Rightarrow \left| {z + \overline z } \right| = \left| {2a} \right|\) \( \Rightarrow \left| {z + \overline z } \right| = 0\) là mệnh đề sai. +) Đặt \(z = a + bi\)\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 0\) \( \Rightarrow \left| z \right| > 0\) là mệnh đề sai. Vậy có 2 mệnh đề đúng. Chọn A. Câu 50 (VD) Phương pháp: - Tính \(w = {z^2}\) rồi suy ra \(\left| {\rm{w}} \right|\). - Giải phương trình tìm \(m\). Cách giải: Ta có \(z = \frac{{m + 3i}}{{1 - i}}\). \(\begin{array}{l} \Rightarrow w = {z^2} = {\left( {\frac{{m + 3i}}{{1 - i}}} \right)^2}\\ \Rightarrow w = \frac{{{m^2} + 6mi - 9}}{{ - 2i}}\\ = \frac{{\left( {{m^2} - 9} \right) + 6mi}}{{ - 2i}}\\ = \frac{{\left( {{m^2} - 9} \right)i + 6m{i^2}}}{{ - 2{i^2}}}\\ = \frac{{\left( {{m^2} - 9} \right)i - 6m}}{2}\\ \Rightarrow \left| w \right| = \frac{{\sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}} }}{2}\end{array}\) Theo bài ra ta có: \(\begin{array}{l}\left| w \right| = 9 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}} }}{2} = 9\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{m^2} - 9} \right)}^2} + 36{m^2}} = 18\\ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 9} \right)^2} + 36{m^2} = 324\\ \Leftrightarrow {m^4} + 18{m^2} - 243 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 9\\{m^2} = - 27\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \pm 3\end{array}\) Vậy \(m = \pm 3\). Chọn C. Nguồn: Sưu tầm HocTot.Nam.Name.Vn  Chia sẻ Bình luận
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
|
