Đề số 4 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 12Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 4 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán học 12 Đề bài Câu 1: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là: A. \(S = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|\) B. \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \) C. \(S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \) D. \(S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) Câu 2: Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\) là: A. \( - 1 + 2i.\) B. \(1 - 2i.\) C. \( - 1 - 2i.\) D. \(1 + 2i.\) Câu 3: Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = 0,\) \(x = \pi ,\) \(y = 0\) và \(y = - \cos x\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: A. \(V = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}xdx} \) B. \(V = \pi \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \) C. \(V = \pi \left| {\int\limits_0^\pi {\left( { - \cos x} \right)dx} } \right|\) D. \(V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}xdx} \) Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1; - 4; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow n = \left( { - 2;5;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm A và nhận \(\overrightarrow n \) làm vecto pháp tuyến là A. \( - 2x + 5y + 2z - 28 = 0\) B. \(x - 4y - 3z + 28 = 0\) C. \(x - 4y - 3z - 28 = 0\) D. \( - 2x + 5y + 2z + 28 = 0\) Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 3\) là: A. \(3{x^3} - 2{x^2} + 3x + C.\) B. \({x^3} - {x^2} + C.\) C. \({x^3} - {x^2} + 3x + C.\) D. \(6x - 2 + C.\) Câu 6: Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right),\) \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên và các đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là: A. \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} .\) B. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\) C. \(\left| {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} .} \right|\) D. \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx - \int\limits_a^b {\left| {g\left( x \right)} \right|dx} .} .\) Câu 7: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;9} \right]\), thỏa mãn \(\int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx = 7} \) và \(\int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx = 3} \). Tính giá trị biểu thức \(P = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_5^9 {f\left( x \right)dx.} \) A. \(P = 4\). B. \(P = 3\). C. \(P = 10\). D. \(P = 2\). Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {2;3;5} \right)\). Tìm tọa độ điểm A’ là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy. A. \(A'\left( {2;0;5} \right)\) B. \(A'\left( {0;3;5} \right)\) C. \(A'\left( {0;3;0} \right)\) D. \(A'\left( {2;0;0} \right)\) Câu 9: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1; - 2} \right).\) A. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\) B. \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}.\) C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}.\) D. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{{ - 2}}\) Câu 10: Gọi \({z_1};\,\,{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{z^2} + 10z + 13 = 0\), trong đó \({z_1}\) có phần ảo dương. Số phức \(2{z_1} + 4{z_2}\) bằng A. \(1 - 15i.\) B. \( - 15 + i\) C. \( - 15 - i\) D. \( - 1 - 15i\) Câu 11: Số phức \(z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}}\) có phần thực là A. 3. B. 1. C. \( - 3\). D. \( - 1.\) Câu 12: Trong không gian Oxyz, một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\) là: A. \(\overrightarrow n = \left( { - 5;1; - 2} \right)\) B. \(\overrightarrow n = \left( { - \frac{1}{5}; - 1; - \frac{1}{2}} \right)\) C. \(\overrightarrow n = \left( {2; - 10;5} \right)\) D. \(\overrightarrow n = \left( { - 2; - 10;20} \right)\) Câu 13: Phần thực của số phức \(\left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)\) là: A. 4. B. 5. C. 3. D. 0. Câu 14: Cho các số phức \({z_1} = 3 + 4i,\) \({z_2} = 5 - 2i\). Tìm số phức liên hơp \(\overline z \) của số phức \(z = 2{z_1} + 3{z_2}\). A. \(\overline z = 8 - 2i.\) B. \(\overline z = 21 - 2i.\) C. \(\overline z = 21 + 2i.\) D. \(\overline z = 8 + 2i.\) Câu 15: Trong không gian Oxyz, các vecto đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là \(\overrightarrow i ,\,\,\overrightarrow j ,\,\,\overrightarrow k \) cho điểm \(M\left( {3; - 4;12} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(\overrightarrow {OM} = - 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j + 12\overrightarrow k \) B. \(\overrightarrow {OM} = - 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j - 12\overrightarrow k \) C. \(\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j + 12\overrightarrow k \) D. \(\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j + 12\overrightarrow k \) Câu 16: Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3;1;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(x + y + 3z + 5 = 0\) có phương trình là A. \(\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{2}\) B. \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\) C. \(\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\) D. \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}\) Câu 17: \(\int {{e^{ - 2x + 1}}dx} \) bằng A. \(\frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C.\) B. \( - \frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C.\) C. \({e^{ - 2x + 1}} + C.\) D. \( - 2{e^{ - 2x + 1}} + C.\) Câu 18: Tính môđun \(\left| z \right|\) của số phức \(z = \left( {2 + i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} + 1\). A. \(\left| z \right| = 17.\) B. \(\left| z \right| = \sqrt {15} .\) C. \(\left| z \right| = 3.\) D. \(\left| z \right| = \sqrt {17} .\) Câu 19: Cho \({z_1};\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\), biết \({z_1} - {z_2}\) có phần ảo là số thực âm. Tìm phần ảo của số phức \({\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2\). A. 3. B. \( - 12.\) C. \( - 3.\) D. \(12.\) Câu 20: Cho tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{2\ln x + 3}}{x}dx} \). Nếu đặt \(t = \ln x\) thì: A. \(I = \int\limits_1^e {\left( {2t + 3} \right)dt} .\) B. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2t} \right)dt} .\) C. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2t + 3} \right)dt} .\) D. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2\ln t + 3} \right)dt} .\) Câu 21: Cho hai hàm số \(y = g\left( x \right)\) và \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;c} \right]\) có đồ thị như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số trên được tính theo công thức:
A. \(S = \int\limits_a^b {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} \)\( + \int\limits_b^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx.} \) B. \(S = \int\limits_a^c {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) C. \(S = \int\limits_a^b {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} \)\( - \int\limits_b^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx.} \) D. \(S = \left| {\int\limits_a^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\) Câu 22: Biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx} = a\ln 2 + b\) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỉ. Khi đó \({b^2} - 2a\) bằng A. 33. B. 26. C. 17. D. 6. Câu 23: Cho hai số phức \({z_1} = - 1 + 2i;\) \({z_2} = 1 + 2i\). Tinh \(T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\) A. \(T = 2\sqrt 5 \) B. \(T = 4\) C. \(T = 10\) D. \(T = 7\) Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y - 12z + 5 = 0\) và điểm \(A\left( {2;4; - 1} \right)\). Trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) lấy điểm M. Gọi B là điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AM} \). Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng \(\left( P \right)\). A. \(d = 9.\) B. \(d = \frac{{30}}{{13}}.\) C. \(d = 6.\) D. \(d = \frac{{66}}{{13}}.\) Câu 25: Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx = - \frac{a}{b} + \frac{\pi }{c}} \) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}\), phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(T = a + b + c.\) A. \(T = 156.\) B. \(T = 62.\) C. \(T = 159.\) D. \(T = 167.\) Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;2;1} \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 7 = 0\) theo một đường tròn có đường kính bằng 8. Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là: A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 81\) B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\) C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\) D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\) Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(I\left( {3;4; - 5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x + 6y - 3z + 4 = 0\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) là: A. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = \frac{{361}}{{49}}\) B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49\) C. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 49\) D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = \frac{{361}}{{49}}\) Câu 28: Trong không gian Oxyz, biết \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua \(A\left( {2;1;5} \right)\) và chứa trục Ox. Tính \(k = \frac{b}{c}.\) A. \(k = - 5.\) B. \(k = \frac{1}{5}\) C. \(k = 5.\) D. \(k = - \frac{1}{5}\) Câu 29: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - {x^2}\). A. \(S = \frac{{81}}{{12}}\) B. \(S = 13\) C. \(S = \frac{9}{4}\) D. \(S = \frac{{37}}{{12}}\) Câu 30: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\) và các đường thẳng \(y = 0,\) \(x = - 1,\) \(x = 5\) bằng: A. \(\frac{{49}}{3}\) B. 18 C. \(\frac{{65}}{3}\) D. 36 Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {0;1; - 1} \right),\) \(B\left( {1;1;2} \right),\) \(C\left( {1; - 1;0} \right)\) và \(D\left( {0;0;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện sao cho tỉ số thể tích của khối đa diện có chứa điểm A và khối tứ diện ABCD bằng \(\frac{1}{{27}}\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). A. \( - y + z - 4 = 0\) B. \(y - z - 1 = 0\) C. \(y + z - 4 = 0\) D. \(3x - 3z - 4 = 0\) Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;0;1} \right),\) \(B\left( {0;2;0} \right),\) \(C\left( {3;0;0} \right)\). Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính \(k = x + 2y + z.\) A. \(k = \frac{{66}}{{49}}\) B. \(k = \frac{{36}}{{29}}\) C. \(k = \frac{{74}}{{49}}\) D. \(k = \frac{{12}}{7}\) Câu 33: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^{2x}},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 2\) được biểu diễn bởi \(\frac{{{e^a} - b}}{c}\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\). Tính \(P = a + 3b - c.\) A. \(P = 5.\) B. \(P = - 1\) C. \(P = 6\) D. \(P = 3\) Câu 34: Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) biết phương trình \(F\left( x \right) = 0\) có một nghiệm bằng \(\frac{\pi }{4}.\) A. \(F\left( x \right) = \tan x - 1\) B. \(F\left( x \right) = \tan x - x + \frac{\pi }{4} - 1\) C. \(F\left( x \right) = \tan x + x + \frac{\pi }{4} - 1\) D. \(F\left( x \right) = 2\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} - 4\) Câu 35: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\left( {1;4;4} \right)\) và \(B\left( { - 1;0;2} \right).\) A. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\) B. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\) C. \(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\) D. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 4}}{2}\) Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2;1; - 1} \right)\) và song song với đường thẳng d có phương trình là: A. \(\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) B. \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\) C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\) D. \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) Câu 37: Trong không gian Oxyz, tính diện tích S của tam giác ABC, biết \(A\left( {2;0;0} \right),\) \(B\left( {0;3;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;4} \right)\) A. \(S = 2\sqrt {61} \) B. \(S = \frac{{\sqrt {61} }}{2}\) C. \(S = \frac{{\sqrt {61} }}{3}\) D. \(S = \sqrt {61} \) Câu 38: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \sqrt x \cos \frac{x}{2},\,\,y = 0,\,\,x = \frac{\pi }{2},\,\,x = \pi \). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng \(\left( H \right)\) quay xung quanh trục Ox. A. \(V = \frac{\pi }{6}\left( {3{\pi ^2} + 4\pi - 8} \right)\) B. \(V = \frac{\pi }{{16}}\left( {3{\pi ^2} - 4\pi - 8} \right)\) C. \(V = \frac{\pi }{8}\left( {3{\pi ^2} + 4\pi - 8} \right)\) D. \(V = \frac{1}{{16}}\left( {3{\pi ^2} - 4\pi - 8} \right)\) Câu 39: Số phức liên hợp \(\overline z \) của số phức \(z = \frac{{4 + 6i}}{{1 - i}}\) là: A. \(\overline z = - 2 - 10i\) B. \(\overline z = - 1 + 5i\) C. \(\overline z = - 2 + 10i\) D. \(\overline z = - 1 - 5i\) Câu 40: Tính tích phân \(I = \int\limits_2^7 {\sqrt {x + 2} dx} .\) A. \(I = 19\) B. \(I = 38\) C. \(I = \frac{{670}}{3}\) D. \(I = \frac{{38}}{3}\) Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\) và \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\). Gọi M là trung điểm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng trên. Tính độ dài đoạn thẳng OM. A. \(OM = \sqrt {35} \) B. \(OM = 2\sqrt {35} \) C. \(OM = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\) D. \(OM = \sqrt 5 \) Câu 42: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = - {3^x},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 4\). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. \(S = \pi \int\limits_0^4 {{3^{2x}}dx} \) B. \(S = \int\limits_0^4 {\left( { - {3^x}} \right)dx} \) C. \(S = \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \) D. \(S = \pi \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \) Câu 43: Gọi z là số phức có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2 - 8i} \right| = \sqrt {17} \). Biết \(z = a + bi\) với\(a,\,\,b \in \mathbb{R}\), tính \(m = 2{a^2} - 3b.\) A. \(m = 14.\) B. \(m = - 18.\) C. \(m = - 10.\) D. \(m = 54.\) Câu 44: Cho phương trình \({x^2} - 4x + \frac{c}{d} = 0\) (với phân số \(\frac{c}{d}\) tối giản) có hai nghiệm phức. Gọi A; B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy. Biết tam giác OAB đều (O là gốc tọa độ). Tính \(P = c + 2d.\) A. \(P = - 14\) B. \(P = 22\) C. \(P = 18\) D. \(P = - 10\) Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x - 6y - 4z + 7 = 0\) và ba điểm \(A\left( {2;4; - 1} \right);\) \(B\left( {1;4; - 1} \right);\) \(C\left( {2;4;3} \right)\). Gọi S là điểm nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(SA = SB = SC\). Tính \(l = SA + SB\). A. \(l = \sqrt {53} \) B. \(l = \sqrt {37} \) C. \(l = \sqrt {117} \) D. \(l = \sqrt {101} \) Câu 46: Biết \(\int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \frac{a}{b}\ln a - c\), trong đó \(a,b\) là các số nguyên tố, c là số nguyên dương. Tính \(T = a + b + c.\) A. \(T = 27.\) B. \(T = 35.\) C. \(T = 23.\) D. \(T = 11.\) Câu 47: Trên tập số phức, phương trình \({z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0\) có một nghiệm là A. \(z = 3 - {2019^{2020}}i\) B. \(z = 3 - {2019^{1010}}i\) C. \(z = 3 + {2019^{1010}}i\) D. \(z = 3 + {2019^{2020}}i\) Câu 48: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\) A. \(I\left( {2; - 1; - 1} \right);R = 9\) B. \(I\left( { - 2;1;1} \right);R = 9\) C. \(I\left( { - 2;1;1} \right);R = 3\) D. \(I\left( {2; - 1; - 1} \right);R = 3\) Câu 49: Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\ln x\), trục hoành và đường thẳng \(x = e\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay D quanh trục hoành được viết dưới dạng \(\frac{\pi }{a}\left( {b.{e^3} - 2} \right)\) với a và b là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức \(T = a - {b^2}.\) A. \(T = 2.\) B. \(T = - 12.\) C. \(T = - 1.\) D. \(T = - 9.\) Câu 50: Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}{e^x}dx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{a - be}}{a}} \) với a là số nguyên tố. Tính \(S = 2{a^2} + b.\) A. \(S = 19.\) B. \(S = 241.\) C. \(S = 99.\) D. \(S = 9.\) Lời giải chi tiết
Câu 1 (NB) Phương pháp: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \). Cách giải: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Công thức diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,\) \(x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \). Chon B. Câu 2 (NB) Phương pháp: Tìm hai nghiệm phức của phương trình, sử dụng MTCT. Cách giải: Phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\) Vậy nghiệm phức có phần ảo dương là \(z = 1 + 2i.\) Chọn D. Câu 3 (NB) Phương pháp: Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = a,\) \(x = b,\) \(y = 0\) và \(y = f\left( x \right)\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \). Cách giải: Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi các đường \(x = a,\) \(x = b,\) \(y = 0\) và \(y = f\left( x \right)\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức: \(V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\left( { - \cos x} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}xdx} .\) Chọn D. Câu 4 (NB) Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) là: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\). Cách giải: Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {1; - 4; - 3} \right)\) và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( { - 2;5;2} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \( - 2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y + 4} \right) + 2\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + 5y + 2z + 28 = 0.\) Chọn D. Câu 5 (NB) Phương pháp: Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne - 1} \right)\). Cách giải: Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} - 2x + 3} \right)dx} \). \( \Rightarrow \int {f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 3x + C} .\) Chọn C. Câu 6 (NB) Phương pháp: Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\) Cách giải: Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\) Chọn B. Câu 7 (TH) Phương pháp: Áp dụng tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} ,\) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} .\) Cách giải: Ta có: \(\begin{array}{l}P = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_5^9 {f\left( x \right)dx.} \\P = \int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx + } \int\limits_9^4 {f\left( x \right)dx} \\ + \int\limits_5^4 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_4^9 {f\left( x \right)dx} \\P = \int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx} \\P = 7 - 3 = 4.\end{array}\) Chọn A. Câu 8 (NB) Phương pháp: Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {x;y;z} \right)\) lên trục \(Oy\) có tọa độ là \(\left( {0;y;0} \right)\). Cách giải: Hình chiếu của điểm \(A\left( {2;3;5} \right)\) lên trục Oy là điểm \(A'\left( {0;3;0} \right).\) Chọn C. Câu 9 (NB) Phương pháp: - Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\). Cách giải: Đường thẳng đi qua \(A\left( {1;2;3} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) có dạng: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\) Chọn A. Câu 10 (TH) Phương pháp: - Tìm nghiệm của phương trình đã cho rồi suy ra \({z_1};\,\,{z_2}\). - Xác định đúng \({z_1},\,\,{z_2}\) dựa vào giả thiết, sau đó tính \(2{z_1} + 4{z_2}\). Cách giải: Ta có \(2{z^2} + 10z + 13 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i\\z = - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i\end{array} \right.\) Mà \({z_1}\) có phần ảo dương nên \({z_1} = - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i;\,\,{z_2} = - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i.\) Vậy \(2{z_1} + 4{z_2} = - 15 - i.\) Chọn C.\(\) Câu 11 (NB) Phương pháp: Tính số phức z bằng MTCT sau đó suy ra phần thực. Cách giải: \(z = \frac{{5 + 15i}}{{3 + 4i}} = 3 + i\)
Vậy phần thực của z bằng 3. Chọn A. Câu 12 (TH) Phương pháp: - Mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\). - Mọi vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow n \) đều là 1 VTPT của \(\left( P \right)\). Cách giải: Ta có \(\frac{x}{{ - 5}} + \frac{y}{1} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\)\( \Leftrightarrow 2x - 10y + 5z + 10 = 0\) Suy ra mặt phẳng có 1 vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 10;5} \right).\) Chọn C. Câu 13 (NB) Phương pháp: Tính số phức z bằng MTCT và suy ra phần thực của nó. Cách giải: Ta có \(z = \left( {2 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right) = 4 + 3i.\) Vậy phần thực của số phức z là 4. Chọn A. Câu 14 (TH) Phương pháp: - Tìm số phức z bằng MTCT. - Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(\overline z = a - bi\). Cách giải: Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + 4i\\{z_2} = 5 - 2i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow z = 2{z_1} + 3{z_2}\) \( = 2\left( {3 + 4i} \right) + 3\left( {5 - 2i} \right)\) \( = 21 + 2i\) \( \Rightarrow \overline z = 21 - 2i.\) Chọn B. Câu 15 (NB) Phương pháp: Điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thì \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \). Cách giải: Ta có \(M\left( {3; - 4;12} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j + 12\overrightarrow k \) Chọn D. Câu 16 (TH) Phương pháp: - Đường thẳng d vuông có với mp(P) nên có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} \) với \(\overrightarrow {{n_P}} \) là 1 VTPT của (P). - Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\). Cách giải: Mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 3z + 5 = 0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;3} \right).\) Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;3} \right).\) Mà đường thẳng d đi qua \(A\left( {3;1;2} \right)\) nên phương trình đường thẳng d là \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}.\) Chọn B. Câu 17 (TH) Phương pháp: Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C} .\) Cách giải: Ta có \(\int {{e^{ - 2x + 1}}dx = - \frac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C} \) Chọn B. Câu 18 (TH) Phương pháp: - Tìm số phức z bằng MTCT. - Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \). Cách giải: Ta có \(z = \left( {2 + i} \right){\left( {1 + i} \right)^2} + 1 = - 1 + 4i.\) Vậy \(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {17} .\) Chọn D. Câu 19 (TH) Phương pháp: - Tìm nghiệm của phương trình đã cho. - Sử dụng dữ kiện để tìm \({z_1};\,\,{z_2}\) rồi tính số phức w. Cách giải: Ta có \({z^2} - 2z + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + 2i\\z = 1 - 2i\end{array} \right.\) Mà \({z_1} - {z_2}\) có phần ảo là số thực âm nên \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 - 2i\\{z_2} = 1 + 2i\end{array} \right..\) \( \Rightarrow {\rm{w}} = 2z_1^2 - z_2^2 = - 3 - 12i\). Vậy phần ảo của số phức w là \( - 12.\) Chọn B. Câu 20 (TH) Phương pháp: - Đặt ẩn phụ \(t = \ln x\), biểu diễn tất cả theo \(t\) và \(dt\). - Đổi cận. - Từ đó suy ra I biểu diễn theo t. Cách giải: Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = e \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\). Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2t + 3} \right)dt} \) Chọn C. Câu 21 (TH) Phương pháp: - Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\) - Dựa vào đồ thị hàm số để phá trị tuyệt đối. Cách giải: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;c} \right]\) có diện tích\(S = \int\limits_a^c {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \( + \int\limits_b^c {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: + Trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]:\) \(f\left( x \right) > g\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) > 0\), do đó \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right| = f\left( x \right) - g\left( x \right),\)\(\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) + Trên đoạn \(\left[ {b;c} \right]:\) \(f\left( x \right) < g\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) < 0\), do đó \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right| = - \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right],\)\(\forall x \in \left[ {b;c} \right]\) Vậy \(S = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} \)\( - \int\limits_b^c {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} .\) Chọn C. Câu 22 (TH) Phương pháp: - Chia tử cho mẫu. - Áp dụng các công thức tính nguyên hàm: \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne - 1} \right)\), \(\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right|} + C.\) Cách giải: Ta có \(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {\frac{{2x - 3}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_1^3 {\frac{{2x + 2 - 5}}{{x + 1}}dx} \\I = \int\limits_1^3 {\left( {2 - \frac{5}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2x - 5\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^3\\I = 6 - 5\ln 4 - 2 + 5\ln 2\\ = 4 - 5\ln {2^2} + 5\ln 2\\I = 4 - 10\ln 2 + 5\ln 2\\ = 4 - 5\ln 2\end{array}\) Khi đó \(a = 4;\,\,b = - 5\,\,\left( {tm} \right).\) Vậy \({b^2} - 2a = {\left( { - 5} \right)^2} - 2.4 = 17.\) Chọn C. Câu 23 (NB) Phương pháp: Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \). Cách giải: Ta có \(\begin{array}{l}{z_1} = - 1 + 2i\\ \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \\{z_2} = 1 + 2i\\ \Rightarrow \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \end{array}\) Vậy \(T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 5 + 5 = 10.\) Chọn C. Câu 24 (TH) Phương pháp: - Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P). - Sử dụng định lí Ta-lét chứng minh \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}}\). - Tính khoảng cách từ A đến (P): Khoảng cách từ \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\). Cách giải:
Vì \(\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AM} \Rightarrow A;\,\,B\) nằm hai phía của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{1}{2}\). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P). Khi đó ta có AH // BK. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AH}}{{BK}} = \frac{{d\left( {A;\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B;\left( P \right)} \right)}} = \frac{1}{2}\). Mà \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.4 - 12\left( { - 1} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 3\). Vậy \(d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A;\left( P \right)} \right) = 6.\) Chọn C. Câu 25 (VD) Phương pháp: - Đặt ẩn phụ t = tanx. - Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. - Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính tổng T = a + b + c. Cách giải: Ta có \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {{{\tan }^2}x + 2{{\tan }^8}x} \right)dx} \) Đặt \(t = \tan x\)\( \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\) \( = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx\) \( = \left( {1 + {t^2}} \right)dx\) \( \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\). Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\left( {{t^2} + 2{t^8}} \right)\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \) \(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left( {2{t^6} - 2{t^4} + 2{t^2} - 1 + \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)dt} \\ \Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{{2{t^7}}}{7} - \frac{{2{t^5}}}{5} + \frac{{2{t^3}}}{3} - t} \right)} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \\ \Rightarrow I = - \frac{{47}}{{105}} + {I_1}\end{array}\) Đặt \(t = \tan u\)\( \Rightarrow dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}u}}du = \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow u = 0\\t = 1 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\). Khi đó ta có: \({I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du}}{{1 + {{\tan }^2}u}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {du} = \frac{\pi }{4}\). \( \Rightarrow I = - \frac{{47}}{{105}} + \frac{\pi }{4}\)\( \Rightarrow a = 47,\,\,b = 105,\,\,c = 4\) Vậy \(T = a + b + c\)\( = 47 + 105 + 4 = 156\) Chọn A. Câu 26 (TH) Phương pháp: - Tính \(d = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\). Khoảng cách từ \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng là \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\). - Sử dụng định lí Pytago: \({R^2} = {r^2} + {d^2}\) với R là bán kính mặt cầu, r là bán kính đường tròn giao tuyến. - Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\). Cách giải:
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo 1 đường tròn có đường kính bằng 8 nên có bán kính r = 4. Ta có: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2 + 2.1 + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3\) Gọi R là bán kính mặt cầu (S), áp dụng định lí Pytago ta có: \({R^2} = {r^2} + {d^2} = {4^2} + {3^2} = 25\) Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\). Chọn B. Câu 27 (VD) Phương pháp: +) \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\). +) Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\). Cách giải: +) \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) \( \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\) \( = \frac{{\left| {2.3 + 6.4 - 3\left( { - 5} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }}\) \( = \frac{{49}}{7} = 7\) +) Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 49\) Chọn B. Câu 28 (TH) Phương pháp: - \(\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Ox \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]\) là 1 VTPT của (P). - \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) cũng là 1 VTPT của (P) nên \(\overrightarrow n \) cùng phương với vectơ \(\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]\). Cách giải: Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \subset \left( P \right)\\Ox \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]\) là 1 VTPT của (P). \(\overrightarrow {OA} = \left( {2;1;5} \right),\,\,\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0;5; - 1} \right)\). Vì \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) cũng là 1 VTPT của (P), ta chọn \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {0;5; - 1} \right)\) \( \Rightarrow a = 0,\,\,b = 5,\,\,c = - 1\). Vậy \(k = \frac{b}{c} = \frac{5}{{ - 1}} = - 5\). Chọn A. Câu 29 (VD) Phương pháp: - Giải phương trình hoành độ giao điểm. - Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\) Cách giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - x = x - {x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} - x\) và \(y = x - {x^2}\) là \(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2x} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right|\\ + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} } \right|\\ = \frac{8}{3} + \frac{5}{{12}} = \frac{{37}}{{12}}.\end{array}\) Chọn D. Câu 30 (VD) Phương pháp: - Giải phương trình hoành độ giao điểm. - Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\) Cách giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\) và các đường thẳng \(y = 0,\) \(x = - 1,\) \(x = 5\) là: \(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_2^5 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} } \right|\\ = 9 + 27 = 36.\end{array}\) Chọn D. Câu 31 (VD) Phương pháp: - Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) cắt AB,AC,AD lần lượt tại B’,C’,D’. - Áp dụng tỉ số thể tích: Cho hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Khi đó ta có: \(\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\). - Tính tỉ số, từ đó xác định tọa độ điểm B’. - Viết phương trình mặt phẳng song song với (BCD) và đi qua điểm B’. Cách giải:
Giả sử mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) cắt AB, AC, AD lần lượt tại B’, C’, D’. Đặt \(\frac{{AB'}}{{AB}} = k\). Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được \(\frac{{AC'}}{{AC}} = \frac{{AD'}}{{AD}} = k\). Khi đó ta có \(\frac{{{V_{AB'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AB'}}{{AB}}.\frac{{AC'}}{{AC}}.\frac{{AD'}}{{AD}}\)\( \Leftrightarrow {k^3} = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow k = \frac{1}{3}.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow AB' = \frac{1}{3}AB \Rightarrow \overrightarrow {AB'} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - 0 = \frac{1}{3}.1\\{y_{B'}} - 1 = \frac{1}{3}.0\\{z_{B'}} + 1 = \frac{1}{3}.3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = \frac{1}{3}\\{y_{B'}} = 1\\{z_{B'}} = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow B'\left( {\frac{1}{3};1;0} \right)\end{array}\) Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 2; - 2} \right)\\\overrightarrow {BD} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]\) \( = \left( {0;2; - 2} \right)\parallel \left( {0;1; - 1} \right)\) Vì \(\left( \alpha \right)\parallel \left( {BCD} \right)\) nên \(\overrightarrow n \left( {0;1; - 1} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(0.\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) - 1.z = 0\) \( \Leftrightarrow y - z - 1 = 0\). Chọn B. Câu 32 (VD) Phương pháp: - Áp dụng tính chất của trực tâm: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\). - Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\), giải hệ phương trình tìm \(H\). Cách giải: Phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1\)\( \Leftrightarrow 2x + 3y + 6z - 6 = 0\) Gọi \(H\left( {x;y;z} \right)\). Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\H \in \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\). Ta có \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {x;y;z - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BH} = \left( {x;y - 2;z} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 2;0} \right);\,\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {3;0; - 1} \right)\end{array}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 0\\3x - z = 0\\2x + 3y + 6z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{12}}{{49}}\\y = \frac{{18}}{{49}}\\z = \frac{{36}}{{49}}\end{array} \right.\). Vậy \(k = x + 2y + z = \frac{{12}}{7}.\) Chọn D. Câu 33 (TH) Phương pháp: - Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\) - Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng : \(\int {{e^{ax + b}}dx} = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C.\) - Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính P. Phương pháp: Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng. Sử dụng các công thức tính nguyên hàm. Cách giải: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^{2x}},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 2\) là \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{e^{2x}}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {{e^{2x}}dx} \)\( = \left. {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_0^2 = \frac{{{e^4} - 1}}{2}\) Khi dó \(a = 4;\,\,b = 1;\,\,c = 2.\) Vậy \(P = a + 3b - c\) \( = 4 + 3.1 - 2 = 5.\) Chọn A. Câu 34 (TH) Phương pháp: - Sử dụng biến đổi lượng giác: \({\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\). - Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = \tan x + C\). - Sử dụng giả thiết \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\) tìm C. Cách giải: Ta có \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) nên \(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {{{\tan }^2}x} dx\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \\ \Rightarrow F\left( x \right) = \tan x - x + C\end{array}\) Mà \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow 1 - \frac{\pi }{4} + C = 0\)\( \Leftrightarrow C = \frac{\pi }{4} - 1.\) Vậy \(F\left( x \right) = \tan x - x + \frac{\pi }{4} - 1.\) Chọn B. Câu 35 (VD) Phương pháp: - Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận \(\overrightarrow {AB} \) là 1 VTCP. - Đường thẳng đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\). Cách giải: Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4; - 2} \right)\) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \) , suy ra \(\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)\) cũng là 1 VTCP của \(\Delta \). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;4;4} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {1;2;1} \right)\) là: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 4}}{1}\). Ta thấy \(M\left( {0;2;3} \right) \in \Delta \) , do đó phương trình \(\Delta \) cũng có dạng \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\). Chọn A. Câu 36 (VD) Phương pháp: - Hai đường thẳng song song thì VTCP của đường thẳng này cũng là VTCP của đường thẳng kia. - Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\). Cách giải: Đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u \left( { - 1;2; - 1} \right)\). Do đó đường thẳng d’ song song với d có 1 VTCP là \(\overrightarrow {u'} \left( {1; - 2;1} \right)\). Vậy phương trình đường thẳng d’ đi qua M(2;1;-1) và song song với d có phương trình là: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\). Dễ thấy điểm \(A\left( {0;5; - 3} \right) \in d'\), do đó phương trình đường thẳng d’ có dạng \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\). Chọn B. Câu 37 (TH) Phương pháp: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\). Cách giải: Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3;0} \right);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;0;4} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12;8;6} \right)\). Vậy \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)\( = \frac{1}{2}.\sqrt {{{12}^2} + {8^2} + {6^2}} = \sqrt {61} \) Chọn D. Câu 38 (VD) Phương pháp: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Gọi \(\left( H \right)\) là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\). Thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thanh khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục Ox được tính theo công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} .\) Cách giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(y = \sqrt x \cos \frac{x}{2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\) Xét \(x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right] \Rightarrow x = \pi \) \( \Rightarrow V = \pi \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {x{{\cos }^2}\frac{x}{2}dx} \approx 1,775\).
Chọn B. Câu 39 (TH) Phương pháp: - Tìm số phức z bằng MTCT. - Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(\overline z = a - bi\). Cách giải: Ta có \(z = \frac{{4 + 6i}}{{1 - i}} = - 1 + 5i\)\( \Rightarrow \overline z = - 1 - 5i\) Chọn D. Câu 40 (TH) Phương pháp: Áp dụng công thức tính nguyên hàm \(\int {\sqrt {ax + b} dx} \)\( = \frac{1}{a}.\frac{2}{3}\left( {ax + b} \right)\sqrt {ax + b} + C\) Cách giải: \(\begin{array}{l}I = \int\limits_2^7 {\sqrt {x + 2} dx} \\ = \frac{2}{3}\left. {\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} } \right|_2^7 = \frac{{38}}{3}.\end{array}\) Chọn D. Câu 41 (VD) Phương pháp: - Gọi giao điểm của đoạn vuông góc chung với hai đường thẳng đã cho. - Áp dụng tính chất vuông góc để tìm hai giao điểm đó. Cách giải: Gọi \(A \in {d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}\)\( \Rightarrow A\left( {a + 2;a + 4; - 2a} \right)\) \(B \in {d_2}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\)\( \Rightarrow B\left( {2b + 3; - b - 1; - b - 2} \right)\) Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( {2b - a + 1; - b - a - 5; - b + 2a - 2} \right)\) Mà \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b - a + 1 - b - a - 5 -\\2\left( { - b + 2a - 2} \right) = 0\\2\left( {2b - a + 1} \right) + b + a + 5 + b\\ - 2a + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a + 3b = 0\\ - 3a + 6b + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;3;2} \right)\\B\left( { - 1;1;0} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Vậy trung điểm M của AB là \(M\left( {0;2;1} \right) \Rightarrow OM = \sqrt 5 .\) Chọn D. Câu 42 (TH) Phương pháp: Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\) Cách giải: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {3^x},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 4\) có diện tích là: \(S = \int\limits_0^4 {\left| { - {3^x}} \right|dx} = \int\limits_0^4 {{3^x}dx} \) Chọn C. Câu 43 (VD) Phương pháp: - Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z. - Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức z. - Khi đó: \({\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }}\). Cách giải: Vì \(\left| {z - 2 - 8i} \right| = \sqrt {17} \) nên tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn (C) tâm \(I\left( {2;8} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {17} .\) Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó ta có \(\left| z \right| = OM\). Do đó \({\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }} \Rightarrow M\) là giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (C). Ta có đường thẳng OI có dạng \(y = 4x\) M là giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn (C) nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {4x - 8} \right)^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\17{\left( {x - 2} \right)^2} = 17\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3,\,\,y = 12\\x = 1,\,\,y = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {3;12} \right)\\M\left( {1;4} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Với M(3;12) thì \(OM = \sqrt {{3^2} + {{12}^2}} = 3\sqrt {17} \). Với M(1;4) thì \(OM = \sqrt {{1^2} + {4^2}} = \sqrt {17} \). Vậy \(O{M_{\min }} = \sqrt {17} \Leftrightarrow a = 1,\,\,b = 4\) \( \Rightarrow m = 2{a^2} - 3b = - 10.\) Chọn C. Câu 44 (VD) Phương pháp: - Áp dụng định lý viet. - Sử dụng tính chất tam giác đều có ba cạnh bằng nhau. Cách giải: Phương trình \({x^2} - 4x + \frac{c}{d} = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 4\\{z_1}.{z_2} = \frac{c}{d}\end{array} \right.\) Ta có \({z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi\) Nên \({z_1} + {z_2} = 2a = 4 \Rightarrow a = 2\) Đặt \(A\left( {2;b} \right);B\left( {2; - b} \right)\) Vì tam giác OAB đều nên \(OA = AB\) \( \Rightarrow 4 + {b^2} = 4{b^2} \Rightarrow {b^2} = \frac{4}{3}\) Mà \(\frac{c}{d} = {z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{{16}}{3}\) Nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 16\\d = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow P = c + 2d = 22\) Chọn B. Câu 45 (VD) Phương pháp: - Gọi \(S\left( {a;b;c} \right)\). - Lập 3 phương trình ba ẩn, giải hệ phương trình tìm a, b, c. - Tính \(SA\), sau đó tính l. Cách giải: Gọi \(S\left( {a;b;c} \right).\) Vì \(S \in \left( P \right)\)\( \Rightarrow 2a - 6b - 4c + 7 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) Theo bài ra ta có:
Thay vào (1) ta có: \(2.\frac{3}{2} - 6b - 4.1 + 7 = 0\)\( \Leftrightarrow b = 1.\) Khi đó ta có: \(S\left( {\frac{3}{2};1;1} \right)\)\( \Rightarrow SA = \sqrt {\frac{1}{4} + 9 + 4} = \frac{{\sqrt {53} }}{2}\) Vậy \(l = SA + SB = 2SA = \sqrt {53} .\) Chọn A. Câu 46 (VD) Phương pháp: - Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(t = {x^2} + 1\), sau đó sử dụng phương pháp từng phân. - Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính T. Cách giải: Ta có \(I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx} \) Đặt \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 4 \Rightarrow t = 17\end{array} \right.\). Khi đó ta có: \(I = \frac{1}{2}\int\limits_1^{17} {\ln tdt} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{t}dt\\v = t\end{array} \right.\). \(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {\left. {t.\ln t} \right|_1^{17} - \int\limits_1^{17} {t.\frac{1}{t}dt} } \right)\\ \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {17\ln 17 - \int\limits_1^{17} {dt} } \right)\\ \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {17\ln 17 - \left( {17 - 1} \right)} \right)\\ \Rightarrow I = \frac{{17}}{2}\ln 17 - 8\end{array}\) \( \Rightarrow a = 17,\,\,b = 2,\,\,c = - 8\). Vậy \(T = a + b + c\) \( = 17 + 2 + \left( { - 8} \right) = 11.\) Chọn D. Câu 47 (VD) Phương pháp: Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\). Cách giải: Ta có \({z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 6\\{z_1}.{z_2} = {2019^{2020}} + 9\end{array} \right.\) Đặt \({z_1} = a + bi \Rightarrow {z_2} = a - bi\) Nên \({z_1} + {z_2} = 2a = 6 \Rightarrow a = 3\) Mà \({z_1}.{z_2} = {a^2} + {b^2}\)\( \Rightarrow {b^2} = {2019^{2020}}\) \( \Rightarrow b = \pm {2019^{1010}}\) Vậy \(z = 3 \pm {2019^{1010}}i.\) Chọn B. Câu 48 (NB) Phương pháp: Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by \)\(+ 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Cách giải: Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\) có tâm là \(I\left( {2; - 1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {4 + 1 + 1 + 3} = 3.\) Chọn D. Câu 49 (VD) Phương pháp: Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục \(\left[ {a;b} \right]\), thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .\) Cách giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x\ln x = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\\ln x = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\) Khi đó ta có: \(V = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} \) Đặt \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\ln ^2}x = u\\{x^2}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{2}{x}\ln xdx\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow V = \pi \left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x} \right|_1^2 - \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{x^2}\ln xdx} } \right]\end{array}\) Đặt \(I = \frac{2}{3}\int\limits_1^2 {{x^2}\ln xdx} \) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln x = u\\{x^2}dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{2}{3}\left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2}}}{3}dx} } \right]\\ = \frac{2}{3}\left. {\left[ {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x - \frac{{{x^3}}}{9}} \right]} \right|_1^2\end{array}\) Khi đó \(V = \pi \left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}{{\ln }^2}x - \frac{2}{9}{x^3}\ln x + \frac{{2{x^3}}}{{27}}} \right|_1^2} \right]\) \( = \frac{\pi }{{27}}\left( {5{e^3} - 2} \right)\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 27\\b = 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow T = a - {b^2} = 2\end{array}\) Chọn A. Câu 50 (VDC) Cách giải: Ta có \(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}{e^x}dx}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left( {{x^2} - 4} \right){e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \frac{{4{e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left( {x - 2} \right){e^x}}}{{x + 2}} + \frac{{4{e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{\left( {x - 2} \right){e^x}}}{{x + 2}} + \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right)'.{e^x}} \right]dx} \\ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{{e^x}\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}} \right)} 'dx\\ = \left. {\frac{{{e^x}\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}} \right|_0^1 = \frac{{ - e}}{3} + 1 = \frac{{3 - e}}{3}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = 2{a^2} + b = 19.\end{array}\) Chọn A. Nguồn: Sưu tầm HocTot.Nam.Name.Vn  Chia sẻ Bình luận
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
|
