Đề số 1 - Đề kiểm tra học kì 2 - Toán 7

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM) Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng

Câu 1. Đơn thức đồng dạng với đơn thức $\dfrac{1}{2}{x^4}{y^6}$ là:

A. $- \dfrac{1}{2}{x^6}{y^4}$            B. $\dfrac{1}{5}{x^4}{y^6}$      

C.$- \dfrac{1}{2}{x^2}{y^8}$            D. $\dfrac{4}{5}x{y^3}$ 

Câu 2. Số điểm kiểm tra môn toán của mỗi bạn trong một tổ của lớp 8 được ghi lại như sau:

Số trung bình cộng là:

A. 8,7         B. 7,7         C. 8,6       D. 7,6

Câu 3. Nếu tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$ và $G$ là trọng tâm thì

A. $AG = GM$                         B.$GM = \dfrac{1}{2}AG$          

C. $AG = \dfrac{1}{3}AM$          D. $AM = 2.AG$

Câu 4. Cho $\Delta ABC$ có $\angle A = {50^0}\,,\,\angle B = {90^0}$ thì quan hệ giữa ba cạnh $AB,AC,BC$ là:

A. $BC > AC > AB$ 

B. $AB > BC > AC$

C. $AB > AC > BC$

D. $AC > BC > AB$

II. TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

Bài 1 (VD_1,0 điểm). Cho đơn thức $A = \left( { - \dfrac{2}{3}x{y^2}} \right).\left( { - \dfrac{1}{4}{x^2}{y^3}} \right)$

a) Thu gọn đơn thức $A$.

b) Tính giá trị của đơn thức $A$ khi $x = 1;y =  - 1$.

Bài 2 (VD_1,5 điểm): Cho các đa thức:

$A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5$$+ 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3$

$B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4}$$- 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x$

$C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5$

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức $A\left( x \right),\,B\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính $A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)$.

c) Chứng minh rằng đa thức $C\left( x \right)$ không có nghiệm.

Bài 3 (VD_1,5 điểm): Tìm nghiệm của các đa thức sau:

$a)\,2\,x + 5$       $b)\,2\,{x^2} + \dfrac{2}{3}$

$c)\,\left( {x - 7} \right).\left( {{x^2} - \dfrac{9}{{16}}} \right)$

Bài 4 (VD_3,5 điểm): Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\angle C = {30^0},$ đường cao $AH.$ Trên đoạn $HC$ lấy điểm $D$ sao cho $HD = HB.$

a) Chứng minh $\Delta AHB = \Delta AHD$.

b) Chứng minh $\Delta ABD$ là tam giác đều.

c) Từ $C$ kẻ $CE$ vuông góc với đường thẳng $AD$$\left( {E \in \,AD} \right)$. Chứng minh $DE = HB$.

d) Từ $D$ kẻ $DF$ vuông góc với $AC$ ($F\,$thuộc $AC$), $I$ là giao điểm của $CE$ và $AH.$ Chứng minh ba điểm $I,\,D,\,F$ thẳng hàng.

Bài 5 (VDC_0,5 điểm): Chứng minh rằng đa thức $P\left( x \right) = {x^3} - x + 5$  không có nghiệm nguyên.

Đ/a TN

Lời giải chi tiết:

Câu 1:

Phương pháp: Đơn thức đồng dạng là những đơn thức có cùng phần biến nhưng khác hệ số.

Cách giải: Đơn thức đồng dạng với đơn thức $\dfrac{1}{2}{x^4}{y^6}$ là: $\dfrac{1}{5}{x^4}{y^6}$.

Chọn B.

Câu 2:

Phương pháp: Muốn tìm trung bình cộng của n số ta tìm tổng của n số đó rồi chia cho n.

Cách giải:

Số trung bình cộng là:

$\dfrac{{9 + 9 + 10 + 7 + 9 + 9 + 7 + 9 + 8 + 10}}{{10}} = 8,7$.

Chọn A.

Câu 3:

Phương pháp: Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

Cách giải:

Nếu $\Delta ABC$ có trung tuyến $AM$ và trọng tâm $G$ thì $AG = \dfrac{2}{3}AM$.

Suy ra $GM = \dfrac{1}{2}AG$.

Chọn B.

Câu 4:

Phương pháp: Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác để so sánh các cạnh với nhau.

Cách giải:

Ta có: $\angle C = {180^0} - \left( {{{50}^0} + {{90}^0}} \right) = {40^0}$.

$\Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B$

$\Rightarrow AB < BC < AC$ hay $AC > BC > AB$.

Chọn D.

LG bài 1

Phương pháp giải:

a) Để thu gọn đơn thức ta nhân phần hệ số với nhau, phần biến với nhau.

b) Thay $x = 1;y =  - 1$ vào đơn thức thu gọn của $A$. 

Lời giải chi tiết:

a) Thu gọn đơn thức:

$\begin{array}{l}A = \left( { - \dfrac{2}{3}x{y^2}} \right).\left( { - \dfrac{1}{4}{x^2}{y^3}} \right)\\\,\,\,\,\, =  - \dfrac{2}{3}.\left( {\dfrac{{ - 1}}{4}} \right).{x^3}.{y^5}\\\,\,\,\,\, = \,\dfrac{1}{6}.{x^3}.{y^5}\end{array}$

b) Thay $x = 1;y =  - 1$ vào đơn thức $A$ thu gọn ta được:

$A = \dfrac{1}{6}{.1^3}.{\left( { - 1} \right)^5} =  - \dfrac{1}{6}$.

Vậy giá tri của đơn thức $A$ tại $x = 1;y =  - 1$ là $A =  - \dfrac{1}{6}.$

LG bài 2

Phương pháp giải:

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức $A\left( x \right),\,B\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính $A\left( x \right) + B\left( x \right);$$\,A\left( x \right) - B\left( x \right)$.

c) Chứng minh rằng đa thức $C\left( x \right)$ không có nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) Thu gọn:

$A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5$$+ 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3$

$= 2\,{x^4} + \left( { - 5\,{x^3} + 4\,{x^3}} \right) + 3{x^2}$$+ \left( {7\,x + 2\,x} \right) - 5 + 3$

$= 2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x\, - 2$

$B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4}$$- 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x$

$= \left( {5\,{x^4} - 3\,{x^4}} \right) + \left( { - 3\,{x^3} - 2\,{x^3}} \right)$$+ \left( {5\,x - 6\,x} \right) + 9$

$= \,\,2\,{x^4}\, - \,5{x^3} - x + 9$

b) Tính $A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)$.

$+ )\,A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right)$$+ \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)$

$= \left( {2\,{x^4} + 2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5\,{x^3}} \right)$$+ 3\,{x^2} + \left( {9\,x - x} \right) + \left( { - 2 + 9} \right)$

$= \,\,\,4\,{x^4} - 6\,{x^3} + 3\,{x^2} + 8\,x + 7$

$+ )\,A\left( x \right) - B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right)$$- \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)$

$= \left( {2\,{x^4} - \,{x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right)$$- 2\,{x^4} + 5\,{x^3} + x - 9$

$= \left( {2\,{x^4} - \,2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 5\,{x^3}} \right)$$+ 3\,{x^2} + \left( {9\,x + x} \right) + \left( { - 2 - 9} \right)$ 

$= \,\,4\,{x^3} + \,3\,{x^2} + 10\,x - 11$

c) Chứng minh rằng đa thức $C\left( x \right)$ không có nghiệm.

Ta có: $C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5$.

Vì ${x^4}\, \ge 0$ và ${x^2} \ge 0$ với mọi $x$  nên ${x^4} + 4{x^2} + 5 > 0$ với mọi $x$

Hay $C\left( x \right) > 0$ với mọi $x.$

$\Rightarrow$ Không có giá trị nào của $x$ làm cho $C\left( x \right) = 0$.

$\Rightarrow \,C\left( x \right)$ là đa thức không có nghiệm.

LG bài 3

Phương pháp giải:

Nếu tại $x = a$ đa thức $P\left( x \right)$ có giá trị bằng $0$ thì ta nói $a$ là một nghiệm của đa thức $P\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}a)\,2\,x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 2\,x =  - 5\\ \Leftrightarrow \,\,\,\,x\,\, = \dfrac{{ - 5}}{2}\end{array}$

$\Rightarrow$ Nghiệm của đa thức $2\,x + 5 = 0$ là $x = \dfrac{{ - 5}}{2}.$  

$b)\,2\,{x^2} + \dfrac{2}{3} = 0$ $\Leftrightarrow 2\,{x^2} = \dfrac{{ - 2}}{3}$                (Vô lý vì $2{x^2} \ge 0$ với mọi $x$ ). 

$\Rightarrow$ Đa thức $2\,{x^2} + \dfrac{2}{3}$ không có nghiệm.

$c)\,\left( {x - 7} \right).\left( {{x^2} - \dfrac{9}{{16}}} \right) = 0$.

$\Leftrightarrow x - 7 = 0$ hoặc ${x^2} - \dfrac{9}{{16}} = 0$.

$\Leftrightarrow x = 7$ hoặc ${x^2} = \dfrac{9}{{16}}$.

$\Leftrightarrow x = 7$ hoặc $x =  \pm \,\dfrac{3}{4}$.

Vậy nghiệm của đa thức là $x = 7$ hoặc $x = \dfrac{3}{4}$ hoặc $x =  - \dfrac{3}{4}$.

LG bài 4

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c. 

b) Chứng minh $\Delta ABD$là tam giác cân có một góc bằng ${60^0}$, rồi suy ra $\Delta ABD$ là tam giác đều.

c) Chứng minh $DE = DH$ (hai cạnh tương ứng). Mà $DH = DB$ (giả thiết) $\Rightarrow DE = DB$.

d) Chứng minh $FD//AB$ rồi sau đó chứng minh $DI//AB$, rồi suy ra $I,\,D,\,F$ là ba điểm thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

a) Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHD$ ta có: 

$HD = HB$ (gt) 

$AH\,\,chung$

$\angle AHB = \angle AHD = {90^0}$
$\Rightarrow$$\Delta AHB = \,\Delta AHD$ (c.g.c)

b) $\Delta ABC$ vuông tại $A$, có $\angle C = {30^0}$$\Rightarrow \angle B = {90^0} - {30^0} = {60^0}$ (định lý tổng ba góc của một tam giác).

Vì $\Delta AHB = \,\Delta AHD$ (cmt)

$\Rightarrow AB = AD$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \Delta ABD$ cân tại $A$ mà $\angle B = {60^0}$

Do đó: $\Delta ABD$ là tam giác đều.

c) Vì $\Delta ABD$ là tam giác đều (cmt)

$\Rightarrow \angle DAB = {60^0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle CAD = {90^0} - \angle DAB\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {90^0} - {60^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {30^0}\end{array}$

Xét $\Delta ACD$ có $\angle ACD = \angle \,CAD = {30^0}$.

$\Rightarrow \Delta ACD$ cân tại $D.$

$\Rightarrow \,CD = AD$

Xét $\Delta DEC$ và $\Delta DHA$ có:

$CD = AD\,\,\left( {cmt} \right)$

$\angle E = \angle H = {90^0}$

$\angle CDE = \angle ADH$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \,\Delta DEC = \Delta DHA$ (cạnh huyền – góc nhọn).

$\Rightarrow DE = DH$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $DH = HB$ (giả thiết)

$\Rightarrow DE = HB$.

d) Từ $D$ kẻ $DF$ vuông góc với $AC$ ($F\,$thuộc $AC$), $I$ là giao điểm của $CE$ và $AH.$ Chứng minh ba điểm $I,\,D,\,F$ thẳng hàng.

Ta có:

$\begin{array}{l}DF \bot AC\,\left( {gt} \right)\\AB \bot AC\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow DF//AB\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

Ta lại có:

$\angle FDC = \angle HDI$ (đối đỉnh)

Mà $\angle FDC = {90^0} - \angle C = {90^0} - {30^0} = {60^0}$

$\Rightarrow \angle FDC = \angle HDI = {60^0}$

Mà $\angle B = {60^0}$

$\Rightarrow \angle B = \angle HDI$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Do đó: $DI//AB$  (2)

Từ (1) và (2), suy ra: $I,D,F$ là ba điểm thẳng hàng.

LG bài 5

Phương pháp giải:

Biến đổi $P(x)=0$ về dạng $A.B=m$ với $m$ là số nguyên

Khi đó, lập luận để có $A,B\in Ư(m)$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}P\left( x \right) = {x^3} - x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - x =  - 5\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 1} \right) =  - 5\end{array}$

Gọi $k$ là nghiệm nguyên của đa thức $P\left( x \right)$

$\Rightarrow k\left( {{k^2} - 1} \right) =  - 5$.

$\Rightarrow k \in \,Ư\left( 5 \right) = \left\{ { - 1;1; - 5;5} \right\}$.

Ta có bảng sau: 

Vậy đa thức $P\left( x \right)$ không có nghiệm nguyên.

Nguồn sưu tầm

HocTot.Nam.Name.Vn