Đề số 1 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 8

Đề bài

Bài 3 (2,0 điểm)Cho biểu thức:  $A = \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + \dfrac{x}{{x + 1}} - \dfrac{x}{{x - 1}}$

a) Với giá trị nào của $x$ thì giá trị của biểu thức$A$được xác định?

b)Rút gọn biểu thức $A$.

c)Tìm các giá trị nguyên của$x$để biểu thức$A$có giá trị nguyên.

Bài 4 (3,5 điểm) Cho $\Delta ABC$vuông tại$A$, đường cao $AM$. Gọi $D,\,E$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $M$ đến các cạnh$AB,\,AC$.

a)Tứ giác$A{\rm{D}}ME$ là hình gì? Vì sao?

b)Chứng minh: $AM.BC = AB.AC$

c)Gọi$I$là trung điểm của$MC$. Chứng minh rằng $\Delta DEI$ vuông.

d) $\Delta ABC$ phải có thêm điều kiện gì để $DE = 2{\rm{E}}I$.

Bài 5 (0,5 điểm) Cho $x,y$thỏa mãn đẳng thức $2{x^2} + 2{y^2} + 3xy - x + y + 1 = 0$. Tính giá trị của biểu thức $P = {\left( {x + 2y} \right)^5} + {\left( {y + 1} \right)^4} + {\left( {x - 2} \right)^3}$.

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

1.      Thực hiện phép tính:

a)$2x\left( {{x^2} - 3y} \right) = 2x.{x^2} - 2x.3y = 2{x^3} - 6xy$

b)$- 18{x^3}{y^4}:3x{y^4} =  - \dfrac{{18{x^3}{y^4}}}{{3x{y^4}}} =  - 6{x^2}.$

2.

Cho $\Delta ABC$có cạnh$BC = 12cm$. Gọi$M$và$N$lần lượt là trung điểm của các cạnh$AB,\,AC$ . Tính$MN$ .

Vì$M,\,N$là trung điểm của$AB,\,AC$ (gt)

$\Rightarrow MN$là đường trung bình của$\Delta ABC$ (dấu hiệu nhận biết đường

trung bình của tam giác)

$\Rightarrow MN = \dfrac{{BC}}{2} = 12:2 = 6cm$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

1.      Tìm x biết:

$\begin{array}{l}a)\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 2 - x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 2\end{array}$

$\begin{array}{l}b)\,\,\,\left( {{x^2} - 2x + 1} \right):\left( {x - 1} \right) + 5x = 8\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}:\left( {x - 1} \right) + 5x = 8\\ \Leftrightarrow x - 1 + 5x = 8\\ \Leftrightarrow 6x = 9\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\end{array}$

 2.      Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

$a)\,\,2{x^2} - 14x\,{\rm{ = }}\,{\rm{2}}x\left( {x - 7} \right)$

$\begin{array}{l}b)\,\,{x^2} - {y^2} + 5x + 5y = \left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 5\left( {x + y} \right)\\ = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + 5\left( {x + y} \right)\\ = \left( {x + y} \right)\left( {x - y + 5} \right).\end{array}$

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

Cho biểu thức$A = \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + \dfrac{x}{{x + 1}} - \dfrac{x}{{x - 1}}$

a) Để A xác định$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne  \pm 1$

b) Điều kiện: $x \ne  \pm 1.$

$\begin{array}{l}A = \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + \dfrac{x}{{x + 1}} - \dfrac{x}{{x - 1}} \\\;\;\;= \dfrac{{2{x^2} + x\left( {x - 1} \right) - x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{2{x^2} + {x^2} - x - {x^2} - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \\\;\;\;= \dfrac{{2{x^2} - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x}}{{x + 1}}.\end{array}$

c) Điều kiện: $x \ne  \pm 1.$

Ta có: $A = \dfrac{{2x}}{{x + 1}} = 2 - \dfrac{2}{{x + 1}}$

Để$A$đạt giá trị nguyên thì $2 \vdots \left( {x + 1} \right) \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \in$ Ư(2) $= \left\{ { \pm 1; \pm 2} \right\}$

Vậy với $x \in \left\{ {0; - 2; - 3} \right\}$ thì $A$ nguyên.

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

a) Vì $\left\{ \begin{array}{l}M{\rm{D}} \bot AB\\ME \bot AC\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle M{\rm{D}}A = \angle ME{\rm{A}} = {90^0}$

Xét tứ giác $A{\rm{D}}ME$có: $\left\{ \begin{array}{l}\angle MDA = \angle ME{\rm{A}} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\\angle DAE = {90^0}\left( {gt} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ Tứ giác $A{\rm{D}}ME$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b)Xét $\Delta AMC$ và $\Delta BAC$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}\angle AMC = \angle BAC = {90^0}\left( {gt} \right)\\\angle C\,\,chung\end{array} \right. \Rightarrow \Delta AMC \sim \Delta BAC\left( {g - g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AM.BC = AB.AC$ (tính chất hai tam giác đồngdạng)

c)Gọi $O$ là giao điểm của $DE$ và $AM$. Ta có $DME{\rm{A}}$ là hình chữ nhật (cmt)

$\Rightarrow OM = OE$ (tính chất hình chữ nhật)

$\Rightarrow \Delta OM{\rm{E}}$cân tại$O$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \angle OME = \angle OEM$ (tính chất tam giác cân)

Xét $\Delta MEC$ vuông tại $E$ và có $I$ là trung điểm của $MC$ (gt)

$\Rightarrow EI = \dfrac{{MC}}{2}\left( 1 \right)$ (tính chất trong tam giác vuông, đường trung tuyến  ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

Mà$I$là trung điểm của$MC$ (gt) $\Rightarrow MI = IC\left( 2 \right)$ (tính chất trung điểm)

Từ (1) và (2) suy ra$EI = MI \Rightarrow \Delta MIE$cân tại$I$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow \angle IME = \angle IEM$ (tính chất tam giác cân)

Mặtkhác, $\angle AME + \angle EMC = {90^0} \Rightarrow \angle DEM + \angle MEI = {90^0}$

$\Rightarrow \Delta DEI$ vuông tại $E$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

d)Vì$EI = \dfrac{{MC}}{2}\left( {cmt} \right) \Rightarrow MC = 2{\rm{E}}I$. Mà$DE = 2{\rm{E}}I \Rightarrow DE = MC$

Suyra $D,\,E$ là trung điểm của $AB$và$AC$. Thật vậy, ta có:

$D,\,E$là trung điểm của $AB$ và $AC$ $\Rightarrow DE$là đường trung bình của$\Delta ABC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow DE//BC$ (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)

Mà DMEA là hình chữ nhật (cmt) $\Rightarrow DM//A{\rm{E}}$ (tính chất hình chữ nhật)

Hay $DM//EC\left( 4 \right)$ .

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác$DMCE$là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

$\Rightarrow DE = MC$ (tính chất hình bình hành)

Mà$MC = 2{\rm{E}}I\left( {cmt} \right) \Rightarrow DE = 2{\rm{E}}I$.

Vậy để$DE = 2{\rm{E}}I$thì$D,\,E$là trung điểm của$AB$và$AC$.

LG bài 5

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\;2{x^2} + 2{y^2} + 3xy - x + y + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} + 6xy - 2x + 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + 3{\left( {x + y} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y + 1 = 0\\x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\\x =  - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array}$

Thay$\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\end{array} \right.$vào$P = {\left( {x + 2y} \right)^5} + {\left( {y + 1} \right)^4} + {\left( {x - 2} \right)^3}$ta được:

$P = {\left( {1 - 2} \right)^5} + {\left( { - 1 + 1} \right)^4} + {\left( {1 - 2} \right)^3} =  - 2$.

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 8 tại HocTot.Nam.Name.Vn

 HocTot.Nam.Name.Vn