Phương pháp giải:

Xác định mối quan hệ giữa A và B để tam giác OAB cân tại O.

Gọi điểm \(A({x_0};{y_0}) \in \left( E \right)\,\,\left( {{x_0} > 0} \right)\)

Gọi H là trung điểm của AB \( \Rightarrow \) tọa độ điểm H.

\({S_{\Delta OAB}} = {1 \over 2}OH.AB\), sử dụng BĐT Cô si cho hai số không âm: \(\sqrt {ab}  \le {{{a^2} + {b^2}} \over 2}\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\).

Lời giải chi tiết:

Tam giác OAB cân tại O, A và B thuộc (E) , có hoành độ dương, suy ra: A đối xứng với B qua Ox.

Gọi \(A({x_0};{y_0}) \Rightarrow B({x_0}; - {y_0});{\rm{ (}}{{\rm{x}}_0} > 0)\).

\(A \in (E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Rightarrow {{{x_0}^2} \over 4} + {{{y_0}^2} \over 1} = 1 \Rightarrow \left| {{y_0}} \right| = {{\sqrt {4 - {x_0}^2} } \over 2}\)

Ta có \(AB = 2\left| {{y_0}} \right| = \sqrt {4 - {x_0}^2} \)

Gọi H là trung điểm AB thì  \(H\left( {{x_0};0} \right)\)

\( \Rightarrow OH = {x_0} \Rightarrow {S_{OAB}} = {1 \over 2}.OH.AB = {1 \over 2}{x_0}.\sqrt {4 - {x_0}^2}  = {1 \over 2}\sqrt {{x_0}^2(4 - {x_0}^2)}  \le {1 \over 2}.{{{x_0}^2 + 4 - {x_0}^2} \over 2} = 1\).

Đẳng thức xảy ra khi \(x_0^2 = 4 - x_0^2 \Leftrightarrow {x_0} = \sqrt 2  \Rightarrow {y_0} =  \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\).

Vậy \(A\left( {\sqrt 2 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 2 ; - {{\sqrt 2 } \over 2}} \right);B\left( {\sqrt 2 ;{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\).

Chọn: A.