Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Đặt $u = \ln \left( {x - 1} \right),dv = xdx$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\int x \ln (x - 1) \cdot dx\\ = \frac{1}{2}\int {\ln \left( {x - 1} \right)d\left( {{x^2}} \right)} \\ = \frac{1}{2}{x^2}\ln \left( {x - 1} \right) - \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}dx} \\ = \frac{1}{2}{x^2}\ln \left( {x - 1} \right) - \frac{1}{2}\int {\left( {x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}} \right)dx} \\ = \frac{1}{2}{x^2}\ln \left( {x - 1} \right) - \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\ln \left( {x - 1} \right) + C\end{array}$