Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} + 2AB + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2} \ge 0\) để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = {x^2} + 2{y^2} + 2xy + 6y + 10\\\,\,\,\, = \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + 1\\\,\,\,\, = {\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + 1\end{array}\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\forall x,y \Rightarrow P \ge 1\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 3\end{array} \right..\)

Chọn B.