Phương pháp giải:

- Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để kiểm tra đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

- Xét đáp án A ta có:

\(\eqalign{& VT = {\left( {3x - 1} \right)^2} = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x + {1^2} = 9{x^2} - 6x + 1  \cr & VP = {\left( {1 - 3x} \right)^2} = {1^2} - 2.3x + {\left( {3x} \right)^2} = 1 - 6x + 9{x^2} \cr} \) 

\( \Rightarrow VT = VP\)

      Vậy đáp án A đúng.

- Xét đáp án B ta có:

\({\left( {x - 4} \right)^3} = {x^3} + 3.{x^2}.\left( { - 4} \right) + 3.x.{\left( { - 4} \right)^2} + {\left( { - 4} \right)^3} = {x^3} - 12{x^2} + 48x – 64\)

      Vậy đáp án B đúng.

- Xét đáp án C ta có: 

\(\eqalign{& VT = {\left( {2x - 3} \right)^3} = {\left( {2x} \right)^3} + 3.2x.{\left( { - 3} \right)^2} + 3.{\left( {2x} \right)^2}.\left( { - 3} \right) + {\left( { - 3} \right)^3} = 8{x^3} + 54x - 36{x^2} - 27  \cr & VP = {\left( {3 - 2x} \right)^3} = {\left( 3 \right)^3} + 3.( - 2x){.3^2} + 3.{\left( { - 2x} \right)^2}.3 + {\left( { - 2x} \right)^3} = 27 - 54x + 36{x^2} - 8{x^3} \cr} \)

\( \Rightarrow VT \ne VP\)

      Vậy đáp án C sai.

- Xét đáp án D ta có:

\(\left( {7{x^2} - 2x} \right):x = \left( {7{x^2}} \right):x - \left( {2x} \right):x = 7x – 2\)

      Vậy đáp án D đúng.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để biến đổi mẫu số \({47^2} - {43^2} = \left( {47 - 43} \right)\left( {47 + 43} \right) = 4.90\) rồi rút gọn.

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{{90}}{{{{47}^2} - {{43}^2}}} = \dfrac{{90}}{{\left( {47 - 43} \right)\left( {47 + 43} \right)}} = \dfrac{{90}}{{4.90}} = \dfrac{1}{4}\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

- Phân tích đa thức thành nhân tử dựa vào các biện pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,…

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,{a^3} - {a^2}c + {a^2}b - abc\\= a({a^2} - ac + ab - bc)\\ = a{\rm{[}}a(a - c) + b(a - c){\rm{]}}\\= a(a - c)(a + b).\end{array}\)                                                

  \(\begin{array}{l}b)\,\,{x^3} + x{}^2 - 4x - 4\\ = {x^2}(x + 1) - 4(x + 1)\\ = ({x^2} - 4)(x + 1)\\= (x - 2)(x + 2)(x + 1)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\,\,{x^2} + 2xy + {y^2} - (x + y) - 12\\= {(x + y)^2} - (x + y) - 12\\ = {(x + y)^2} - 4(x + y) + 3(x + y) - 12\\= (x + y)(x + y - 4) + 3(x + y - 4)\\ = (x + y - 4)(x + y + 3).\end{array}\)

Phương pháp giải:

- Thực hiện phép tính bằng cách phối hợp các cách nhân, chia, cộng, trừ đa thức và đơn thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
a)\;3xyz\left( {2{x^2} - 3y - 3} \right)\\
= 3xyz.2{x^2} - 3xyz.3y - 3xyz.3\\
= 6{x^3}yz - 9x{y^2}z - 9xyz\\
b)\;\left( {6{x^4} - 3{x^3} + {x^2}} \right):\left( {{x^2}} \right)\\
= \left( {6{x^4}} \right):\left( {{x^2}} \right) - \left( {3{x^3}} \right):\left( {{x^2}} \right) + {x^2}:{x^2}\\
= 6{x^2} - 3x + 1\\
c)\;{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} - 2\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) + xy\\
= \left( {{{\left( {x + 3} \right)}^2} - 2\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) + {{\left( {x - 3} \right)}^2}} \right) + xy\\
= {\left( {x + 3 - x + 3} \right)^2} + xy\\
= {6^2} + xy = 36 + xy.
\end{array}\)

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Thực hiện phép tính bằng cách phối hợp các cách nhân, chia, cộng, trừ đa thức và đơn thức.

Lời giải chi tiết:

\(\left( {6{x^3} - 5{x^2} + 4x - 1} \right):\left( {2{x^2} - x + 1} \right) = 3x - 1.\)

\(\left( {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right):\left( {x + 2} \right) = {x^2} - 4x + 3.\)

\(\begin{array}{l}c)\;\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\\= \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\\= {x^2}.x + 2.{x^2} - 1.x - 1.2\\= {x^3} + 2{x^2} - x - 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l}d)\;{x^2}\left( {{x^3} - 4{x^2} + x - 3} \right) - {x^3} + 4{x^4}\\ = {x^2}.{x^3} - {x^2}.4{x^2} + {x^2}.x - {x^2}.3 - {x^3} + 4{x^4}\\ = {x^5} - 4{x^4} + {x^3} - 3{x^2} - {x^3} + 4{x^4}\\ = {x^5} - 3{x^2}\end{array}\)

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi biểu thức đã cho có dạng C = a² + b, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức là b.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(C={{x}^{2}}-8x+30={{x}^{2}}-2.4.x+{{4}^{2}}+14={{\left( x-4 \right)}^{2}}+14\)

Vì \({{\left( x-4 \right)}^{2}}\ge 0\) nên \(C={{\left( x-4 \right)}^{2}}+14\ge 14\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: \(C=14\) tại \(x-4=0\Leftrightarrow x=4\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Rút gọn biểu thức đã cho, sau đó thay giá trị của biến vào biểu thức rút gọn để tìm ra giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,Q = 3x\left( {x - 4y} \right) - \frac{{12}}{5}y\left( {y - 5x} \right)\\\Leftrightarrow Q = 3x.x - 3x.4y - \frac{{12}}{5}y.y + \frac{{12}}{5}y.5x\\\Leftrightarrow Q = 3{x^2} - 12xy - \frac{{12}}{5}{y^2} + 12xy\\\Leftrightarrow Q = 3{x^2} - \frac{{12}}{5}{y^2}\end{array}\)

Tại \(x=4,y=-5\), ta có: \(Q={{3.4}^{2}}-\frac{12}{5}.{{\left( -5 \right)}^{2}}=48-60=-12\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,P = \left( { - 4{x^3}{y^3} + {x^3}{y^4}} \right):2x{y^2} - xy\left( {2x - xy} \right)\\\Leftrightarrow P = \left( { - 4{x^3}{y^3}} \right):2x{y^2} + {x^3}{y^4}:2x{y^2} - xy.2x + xy.xy\\\Leftrightarrow P = - 2{x^2}y + \frac{1}{2}{x^2}{y^2} - 2{x^2}y + {x^2}{y^2}\\\Leftrightarrow P = \frac{3}{2}{x^2}{y^2} - 4{x^2}y\\\Leftrightarrow P = {x^2}y\left( {\frac{3}{2}y - 4} \right)\end{array}\)

Tại \(x=1,y=\frac{-1}{2}\), ta có: \(P={{1}^{2}}.\left( \frac{-1}{2} \right)\left( \frac{3}{2}\left( \frac{-1}{2} \right)-4 \right)=\left( \frac{-1}{2} \right)\left( \frac{-3}{4}-4 \right)=\left( \frac{-1}{2} \right)\left( \frac{-19}{4} \right)=\frac{19}{8}\).

Phương pháp giải:

a) Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

b)  Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết:

a)  \(3{{a}^{3}}{{b}^{2}}-15{{a}^{2}}{{b}^{3}}=3{{a}^{2}}{{b}^{2}}\left( a-5b \right)\)

b)  \(5{{x}^{2}}-10x+5-20{{y}^{2}}=5\left( {{x}^{2}}-2x+1-4{{y}^{2}} \right)=5\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}-{{\left( 2y \right)}^{2}} \right]=5\left( x-1-2y \right)\left( x-1+2y \right)\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp nhóm, đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,2{x^3} - 50x\,\\{\rm{ = }}\,{\rm{2}}x\left( {{x^2} - 25} \right)\\ = 2x\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,{x^2} - 6x + 9 - 4{y^2}\\ = {\left( {x - 3} \right)^2} - 4{y^2}\\ = \left( {x - 3 + 2y} \right)\left( {x - 3 - 2y} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\,{x^2} - 7x + 10\\ = {x^2} - 5x{\rm{ }} - 2x + 10\\ = \left( {{x^2} - 5{\rm{x}}} \right) - \left( {2x - 10} \right)\\ = x\left( {x - 5} \right) - 2\left( {x - 5} \right)\\ = \left( {x - 5} \right)\left( {x - 2} \right)\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng qui tắc chia đa thức cho đa thức, nhân phá ngoặc rồi rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left( {12{x^6}{y^4} + 9{x^5}{y^3} - 15{x^2}{y^3}} \right):3{x^2}{y^3}\\ = \left( {12{{\rm{x}}^6}{y^4}:3{{\rm{x}}^2}{y^3}} \right) + \left( {9{x^5}{y^3}:3{x^2}{y^3}} \right) - \left( {15{x^2}{y^3}:3{x^2}{y^3}} \right)\\ = 4{x^4}y + 3{x^3} - 5\end{array}\)          \(\begin{array}{l}b)\,\,\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {1 - x} \right) + \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\\ = {x^2} - {x^3} - 2 + 2x + {x^3} - 3{x^2} + 9x + 3{x^2} - 9x + 27\\ = {x^2} + 2x + 25\end{array}\)                                       

Chọn B.

Phương pháp giải:

1. Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

2. Đưa về phương trình tích.

3. Áp dụng định nghĩa số nguyên tố là số chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Lời giải chi tiết:

1. Ta có:

\(\begin{array}{l}a)\;\;3{x^2} - 6x + 2xy - 4y = 3x\left( {x - 2} \right) + 2y\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {3x + 2y} \right).\\b)\;\;{a^2}\left( {{a^2} + 4} \right) - {a^2} + 4 = {a^4} + 4{a^2} - {a^2} + 4\\ = \left( {{a^4} + 4{a^2} + 4} \right) - {a^2} = {\left( {{a^2} + 2} \right)^2} - {a^2}\\ = \left( {{a^2} + 2 - a} \right)\left( {{a^2} + 2 + a} \right).\end{array}\)

\(\begin{array}{l}2.\;{x^2} - x + 0,25 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x + \frac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{1}{2}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phân tích và nhóm các nhân tử chung.

Lời giải chi tiết:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(A\left( x \right) = 2{x^2} + x - 3 = 2{x^2} + 3x - 2x - 3 = x\left( {2x + 3} \right) - \left( {2x + 3} \right) = \left( {2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)\)

\(\begin{array}{l}B\left( {a;b;c} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + abc = \left( {ab + ac + {b^2} + bc} \right)\left( {c + a} \right) + abc\\ = abc + {a^2}b + a{c^2} + {a^2}c + {b^2}c + a{b^2} + b{c^2} + abc + abc\\ = \left( {{a^2}b + abc + {a^2}c} \right) + \left( {a{b^2} + {b^2}c + abc} \right) + \left( {abc + b{c^2} + a{c^2}} \right)\\ = a(ab + bc + ca) + b(ab + bc + ca) + c(ab + bc + ca)\\ = \left( {a + b + c} \right)(ab + bc + ca)\end{array}\)

Chọn A.          

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức \(P\left( x \right)\)  cho \(Q\left( x \right)\). Để \(P\left( x \right) \vdots Q\left( x \right)\) thì phép chia đó phải có số dư bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Cho hai đa thức \(P\left( x \right) = {x^3} + ax + b\) và \(Q\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\). Xác định các hệ số a, b sao cho với mọi giá trị của x thì \(P\left( x \right) \vdots Q\left( x \right)\).

Để \(P\left( x \right) \vdots Q\left( x \right)\) với mọi giá trị của x\( \Leftrightarrow \left( {a + 7} \right)x + b - 6 = 0\) với mọi giá trị của x

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 7 = 0\\b - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 7\\b = 6\end{array} \right.\)

Vậy với \(a =  - 7\) và \(b = 6\) thì \(P\left( x \right) \vdots Q\left( x \right)\) với mọi giá trị của x.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tạo nhân tử chung \(x - 2\) đưa về phương trình tích \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\).

Sau đó, giải ra \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^3} + 2x - 2{x^2} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + 2x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 2} \right) + 2\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \({x^2} + 2 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow x - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Rút gọn A, sau đó thay giá trị của x vào biểu thức A để tính giá trị của A.

- Áp dụng tính chất: \(\left| A \right| =  \pm A\)

- Áp dụng tính chất: Phân thức đạt giá trị nguyên khi và chỉ khi tử số chia hết cho mẫu số, tức là mẫu số là ước của tử số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,A = \frac{5}{{x + 3}} - \frac{2}{{3 - x}} - \frac{{3{x^2} - 2x - 9}}{{{x^2} - 9}}\,\,\left( {x \ne  \pm 3} \right)\\ = \frac{5}{{x + 3}} + \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{3{x^2} - 2x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x + 3} \right) - 3{{\rm{x}}^2} + 2x{\rm{ + }}9}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{{5x - 15 + 2x + 6 - 3{x^2} + 2x\,{\rm{ + }}\,9}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{{ - 3{x^2} + 9x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{{ - 3x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{ - 3x}}{{x + 3}}.\end{array}\)

\(b)\,\,\left| {x - 2} \right| = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( {ktm} \right)\\x = 1\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Với \(x = 1\) thay vào A ta có: \(A = \frac{{ - 3.1}}{{1 + 3}} = \frac{{ - 3}}{4}\).

c) Ta có: \(A = \frac{{ - 3x}}{{x + 3}} =  - 3 + \frac{9}{{x + 3}}\), để \(A\)  nguyên  \( \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right) \in U\left( 9 \right) = \left\{ { \pm 1;\; \pm 3;\; \pm 9} \right\}\)

Vậy với \(x \in \left\{ { - 2; - 4;\;0; - 6;\;6; - 12} \right\}\) thì \(A\)  nguyên.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tách \( - {x^2};\, - 5x\) lần lượt thành \( - 3{x^2} + 2{x^2};\,\, - 6x + x\) để tạo nhân tử chung \(x - 3\) và sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} + 2AB + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2}\).

Đưa về phương trình tích \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\).

Sau đó, giải ra \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^3} - {x^2} - 5x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2{x^2} - 6x + x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 3} \right) + 2x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 1\end{array} \right.\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tách \(5xy\) thành \(8xy - 3xy\) để tạo nhân tử chung \(\left( {x + 2y} \right)\) rồi thay \(x = 28;\,\,y = 4\) để tính toán thuận tiện.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = 4{x^2} + 5xy - 6{y^2}\\\,\,\,\,\, = 4{x^2} + 8xy - 3xy - 6{y^2}\\\,\,\,\,\, = 4x\left( {x + 2y} \right) - 3y\left( {x + 2y} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {x + 2y} \right)\left( {4x - 3y} \right)\end{array}\)

Thay \(x = 28;\,\,y = 4\) vào \(A\) ta được: \(A = \left( {28 + 2.4} \right)\left( {4.28 - 3.4} \right)\)\( = 36.100 = 3600.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thực hiện nhân đa thức với đa thức, nhân đơn thức với đa thức và rút gọn phương trình.

Sau đó, ta giải ra \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 6 + {x^2}\left( {x - 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 2{x^2} + 2x + 2x - 2 = 6 + {x^3} - 3{x^2}\\ \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 3{x^2} + 4x = 6 + 2\\ \Leftrightarrow 4x = 8\\ \Leftrightarrow x = 2\end{array}\)

Vậy \(x = 2\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Sử dụng phối hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi biểu thức thành tích các đa thức và đơn thức, biểu thức sẽ chia hết cho các đa thức và đơn thức trong tích thu được.

- Nếu đa thức hoặc đơn thức trong tích thu được giống với yêu cầu của đề bài thì suy ra biểu thức đó chia hết cho giá trị đã cho.

Lời giải chi tiết:

\(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23 = {13^n}.\left( {{{13}^2} - 23} \right) = {13^n}.\left( {169 - 23} \right) = {13^n}.146\)

Vậy biểu thức C chia hết cho146.

Ở đáp án A, nếu n = 0 thì C = 146 không chia hết cho 13.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thực hiện nhân đa thức với đa thức, nhân đơn thức với đa thức và rút gọn phương trình.

Sau đó, ta giải ra \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right).\left( {x + 3} \right) = {x^3} + 27\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} - 3{x^2} - 9x + 2x + 6 - {x^3} = 27\\ \Leftrightarrow  - 7x = 27 - 6\\ \Leftrightarrow  - 7x = 21\\ \Leftrightarrow x =  - 3\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - 3} \right\}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\\ = {x^3} - 2{x^2} + 2x + 3{x^2} - 6x + 6 - \left( {{x^3} + 2{x^2} + 2x - 3{x^2} - 6x - 6} \right)\\ = {x^3} + {x^2} - 4x + 6 - \left( {{x^3} - {x^2} - 4x - 6} \right)\\ = {x^3} + {x^2} - 4x + 6 - {x^3} + {x^2} + 4x + 6\\ = 2{x^2} + 12\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng phối hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi biểu thức thành tích các đa thức và đơn thức có dạng: A.B = 0, suy ra A = 0 hoặc B = 0, từ đó rút ra giá trị của x cần tìm.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\;\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + 4 = x\left( {x - 1} \right) - 6\\\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) - x\left( {x - 1} \right) + 4 + 6 = 0\\\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2 - x} \right) + 10 = 0\\\Leftrightarrow 2\left( {x - 1} \right) = - 10\\\Leftrightarrow x - 1 = \frac{{ - 10}}{2} = - 5\\\Leftrightarrow x = - 4.\end{array}\)

Vậy \(x = - 4\)

\(\begin{array}{l}b)\;36 + 12x + {x^2} = 0\\\Leftrightarrow {x^2} + 2.x.6 + {6^2} = 0\\\Leftrightarrow {\left( {x + 6} \right)^2} = 0\\\Leftrightarrow x + 6 = 0\\\Leftrightarrow x = - 6\end{array}\)

Vậy \(x = - 6\)

\(\begin{array}{l}c)\;2{x^3}\left( {2x - 3} \right) - {x^2}\left( {4{x^2} - 6x + 2} \right) = 0\\\Leftrightarrow 4{x^4} - 6{x^3} - 4{x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} = 0\\\Leftrightarrow - 2{x^2} = 0\\\Leftrightarrow x = 0\end{array}\)

Vậy \(x = 0\)

\(\begin{array}{l}d)\;2x\left( {x - 5} \right) - x\left( {5 + 2x} \right) + 15 = 0\\\Leftrightarrow 2{x^2} - 10x - 5x - 2{x^2} + 15 = 0\\\Leftrightarrow - 15x + 15 = 0\\\Leftrightarrow x = \frac{{ - 15}}{{ - 15}} = 1\end{array}\)

Vậy \(x = 1\)

Phương pháp giải:

Tạo nhân tử chung \({\left( {x + 2y} \right)^2}\) bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức \(\left\{ \begin{array}{l}{A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} = {\left( {A + B} \right)^3}\\{A^2} + 2AB + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2}\end{array} \right..\)

Sau đó thay \(x = 16;\,\,y =  - 3\) vào \(A\) và tính \(A\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = {x^3} + 6{x^2}y + 12x{y^2} + 8{y^3} - {x^2} - 4xy - 4{y^2}\\\,\,\,\,\, = {x^3} + 3{x^2}.2y + 3x.4{y^2} + {\left( {2y} \right)^3} - \left( {{x^2} + 4xy + 4{y^2}} \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( {x + 2y} \right)^3} - {\left( {x + 2y} \right)^2}\\\,\,\,\,\, = {\left( {x + 2y} \right)^2}\left( {x + 2y - 1} \right)\end{array}\)

Thay \(x = 16;\,\,y =  - 3\) vào \(A\)\( \Rightarrow A = {\left[ {16 + 2\left( { - 3} \right)} \right]^2}\left[ {16 + 2.\left( { - 3} \right) - 1} \right]\)\( = {10^2}.9 = 900.\)

Vậy \(A = 900\) với \(x = 16;\,\,y =  - 3\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức.

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới. 

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\begin{array}{l}a)\;4{x^4} + 1\\= {\left( {2{x^2}} \right)^2} + 2.2{x^2}.1 + 1 - 2.2{x^2}.1\\= \left( {{{\left( {2{x^2}} \right)}^2} + 2.2{x^2}.1 + 1} \right) - {\left( {2x} \right)^2}\\= {\left( {2{x^2} + 1} \right)^2} - {\left( {2x} \right)^2}\\= \left( {2{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {2{x^2} - 2x + 1} \right).\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;{x^3} - 2{x^2} + 3x - 2\\= {x^3} - 2{x^2} + x + 2x - 2\\= x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right)\\= x{\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right)\\= \left( {x\left( {x - 1} \right) + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\\= \left( {{x^2} - x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\;{x^5} - 4{x^3} + 5{x^2} - 20\\= {x^3}\left( {{x^2} - 4} \right) + 5\left( {{x^2} - 4} \right)\\= \left( {{x^3} + 5} \right)\left( {{x^2} - {2^2}} \right)\\= \left( {{x^3} + 5} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}d)\;{x^3} + 7{x^2} + 12x + 4\\= {x^3} + 6{x^2} + {x^2} + 12x + 8 - 4\\= \left( {{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8} \right) + \left( {{x^2} - 4} \right)\\= \left( {{x^3} + 3.2.{x^2} + {{3.2}^2}.x + {2^3}} \right) + \left( {{x^2} - 4} \right)\\= {\left( {x + 2} \right)^3} + \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\\= \left( {x + 2} \right)\left( {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + x - 2} \right)\\= \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 4x + 4 + x - 2} \right)\\= \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 5x + 2} \right)\end{array}\)

Phương pháp giải:

Biến đổi đa thức P để xuất hiện tổng: \({a^2} - 5a + 2 = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = {a^5} - {a^4} - 18{a^3} + 9{a^2} - 5a + 2017 + \left( {{a^4} - 40{a^2} + 4} \right):{a^2}\\\;\;\; = \left( {{a^5} - 5{a^4} + 2{a^3}} \right) + \left( {4{a^4} - 20{a^3} + 8{a^2}} \right) + \left( {{a^2} - 5a + 2} \right) + 2015 + \frac{{{a^4} - 40{a^2} + 4}}{{{a^2}}}\\\;\;\; = {a^3}\left( {{a^2} - 5a + 2} \right) + 4{a^2}\left( {{a^2} - 5a + 2} \right) + 2015 + \frac{{{a^4} - 40{a^2} + 4}}{{{a^2}}}\\\;\;\; = 2015 + \frac{{{a^4} - 40{a^2} + 4}}{{{a^2}}}\\\;\;\; = \frac{{{a^4} + 1975{a^2} + 4}}{4}.\end{array}\)

Theo đề bài ta có: \({a^2} - 5a =  - 2 \Rightarrow {\left( {{a^2} - 5a} \right)^2} = 4 \Rightarrow {a^4} - 10{a^3} + 25{a^2} = 4\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{{a^4} + 1975{a^2} + 4}}{{{a^2}}}\\\;\;\; = \frac{{\left( {{a^4} - 10{{\rm{a}}^3} + 25{{\rm{a}}^2}} \right) + \left( {10{a^3} - 50{a^2} + 20a} \right) + \left( {4{a^2} - 20a + 8} \right) + 1996{a^2} - 4}}{{{a^2}}}\\\;\;\; = \frac{{4 + 10a\left( {{a^2} - 5a + 2} \right) + 4\left( {{a^2} - 5a + 2} \right) + 1996{a^2} - 4}}{{{a^2}}} = 1996\end{array}\)

Vậy \(P = 1996.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

a) Biến đổi biểu thức P để có nhân tử giống câu 2 và áp dụng kết quả ở câu 2 để tính P.

b) Biến đổi p thành tích các đa thức. p là số nguyên tố khi chỉ có hai nghiệm là 1 và chính nó. Từ đó lập luận để tìm x, n.

Lời giải chi tiết:

a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn \(\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = 2017\) và \(abc = 2017\).

Tính giá trị của biểu thức \(P = \left( {{b^2}c + 2017} \right)\left( {{c^2}a + 2017} \right)\left( {{a^2}b + 2017} \right)\).

Theo câu 2 ta có \(\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + abc = \left( {a + b + c} \right)(ab + bc + ca)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = \left( {a + b + c} \right)(ab + bc + ca) - abc = 2017 - 2017 = 0\\P = \left( {{b^2}c + 2017} \right)\left( {{c^2}a + 2017} \right)\left( {{a^2}b + 2017} \right)\\\;\;\; = \left( {{b^2}c + abc} \right)\left( {{c^2}a + abc} \right)\left( {{a^2}b + abc} \right)\\\;\;\; = bc\left( {c + a} \right)ca\left( {c + b} \right)ab\left( {a + c} \right)\\\;\;\; = {a^2}{b^2}{c^2}\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = 0.\end{array}\)

b) (Dành riêng cho lớp 8A) Tìm các số tự nhiên x, n sao cho số \(p = {x^4} + {2^{4n + 2}}\) là một số nguyên tố.

\(\begin{array}{l}p = {x^4} + {2^{4n + 2}} = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 2.{x^2}{.2^{2n + 1}} + {\left( {{2^{2n + 1}}} \right)^2} - 2.{x^2}{.2^{2n + 1}}\\\;\;\; = {\left( {{x^2} + {2^{2n + 1}}} \right)^2} - {x^2}{.2^{2n + 2}}\\\;\;\; = \left( {{x^2} + {2^{2n + 1}} - x{{.2}^{n + 1}}} \right)\left( {{x^2} + {2^{2n + 1}} + x{{.2}^{n + 1}}} \right).\end{array}\)

Với mọi số tự nhiên x, n \( \Rightarrow {2^{2n + 1}} \ge {2^1} = 2 \Rightarrow {x^2} + {2^{2n + 1}} + x{.2^{n + 1}} \ge 2\)

Với mọi số tự nhiên x, n\( \Rightarrow {2^{2n}} \ge 1 \Rightarrow {x^2} + {2^{2n + 1}} - x{.2^{n + 1}} = {x^2} - 2x{.2^n} + {2^{2n}} + {2^{2n}} = {\left( {x - {2^n}} \right)^2} + {2^{2n}} \ge 1\)

Để p là một số nguyên tố \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {2^{2n + 1}} - x{.2^{n + 1}} = 1\\{x^2} + {2^{2n + 1}} + x{.2^{n + 1}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{2n + 1}} = 2\\x - {2^n} = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n + 1 = 1\\x = {2^n}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 0\\x = {2^0} = 1\end{array} \right..\) 

Vậy với \(n = 0\) và \(x = 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi biểu thức đã cho có dạng \(C = {a^2} + b\), suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức là b .

Lời giải chi tiết:

\({x^2} - 2x + 8 = {x^2} - 2.x.1 + {1^2} + 7 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 7\)

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi x nên \({x^2} - 2x + 8 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 7 > 0\) với mọi x. (điều phải chứng minh)

Phương pháp giải:

Giữ hạng tử đầu, khai triển hai hạng tử sau và sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3} = {\left( {A - B} \right)^3}\) để xuất hiện nhân tử \(y - z\).

Tiếp tục biến đổi liên tiếp, ghép hợp lý tạo các nhân tử \(x - y\,\,;z - x;\,\,x + y + z\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = x{\left( {y - z} \right)^3} + y{\left( {z - x} \right)^3} + z{\left( {x - y} \right)^3}\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y - z} \right)^3} + y\left( {{z^3} - 3{z^2}x + 3z{x^2} - {x^3}} \right) + z\left( {{x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}} \right)\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y - z} \right)^3} + {z^3}y - 3{z^2}xy + 3z{x^2}y - {x^3}y + {x^3}z - 3{x^2}yz + 3x{y^2}z - {y^3}z\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y - z} \right)^3} - \left( {{y^3}z - {z^3}y} \right) - \left( {{x^3}y - {x^3}z} \right) + \left( {3x{y^2}z - 3{z^2}xy} \right)\\\,\,\,\,\, = x{\left( {y - z} \right)^3} - yz\left( {{y^2} - {z^2}} \right) - {x^3}\left( {y - z} \right) + 3xyz\left( {y - z} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left[ {x{{\left( {y - z} \right)}^2} - yz\left( {y + z} \right) - {x^3} + 3xyz} \right]\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( {x{y^2} - 2yzx + {z^2}x - {y^2}z - y{z^2} - {x^3} + 3xyz} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( { - {x^3} + x{y^2} + {z^2}x - y{z^2} + xyz - {y^2}z} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left[ { - x\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + {z^2}\left( {x - y} \right) + yz\left( {x - y} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)\left[ { - x\left( {x + y} \right) + {z^2} + yz} \right]\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)\left( {{z^2} - {x^2} + yz - xy} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)\left( {z + x + y} \right).\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - 2AB + {B^2} = {\left( {A - B} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - {\left( {A - B} \right)^2} \le 0\) để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P =  - {x^2} - {y^2} + 2x + 4y - 10\\\,\,\,\,\, =  - {x^2} + 2x - 1 - {y^2} + 4y - 4 - 5\\\,\,\,\,\, =  - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) - 5\\\,\,\,\,\, =  - {\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {y - 2} \right)^2} - 5\end{array}\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l} - {\left( {x - 1} \right)^2} \le {\rm{0}}\,\,\,\forall x\\ - {\left( {y - 2} \right)^2} \le {\rm{0}}\,\,\,\forall y\end{array} \right. \Rightarrow P \le  - 5\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\ - {\left( {y - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \( - 5\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right..\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} + 2AB + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2} \ge 0\) để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = {x^2} + 2{y^2} + 2xy + 6y + 10\\\,\,\,\, = \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + 1\\\,\,\,\, = {\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + 1\end{array}\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\forall x,y \Rightarrow P \ge 1\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 3\end{array} \right..\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đưa biểu thức về dạng: \(A = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + a\)

Khi đó biểu thức A min khi \(f\left( x \right) = 0\) và GTNN của A chính bằng a

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = 2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 16\\\,\,\,\,\, = {x^2} - 6xy + 9{y^2} + {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 + 6\\\,\,\,\,\, = {(x - 3y)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + 6\end{array}\)

Ta có: \({(x - 3y)^2} \ge 0;\,{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi x,y

\(A{\rm{ }}min \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3y} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\{\left( {y - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 0\\x - 3 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\x = 3\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy GTNN của A là 6 khi \(x = 3\) và \(y = 1\)

Chọn B