Phương pháp giải:

Bài toán này cho biết phương trình \(2\) đường phân giác của góc \(B\), góc \(C\) và biết tọa độ điểm \(A\).

+ Lấy hai điểm \({A_1},\,\,{A_2}\) đối xứng với điểm \(A\) qua phân giác của góc \(B\) và góc \(C\)\( \Rightarrow {A_1},\,\,{A_2} \in BC\)

+ Xác định tọa độ \({A_1},\,\,{A_2}\)\( \Rightarrow \) Viết được phương trình đường thẳng \(BC\)

Lời giải chi tiết:

*) Phương trình đường phân giác \(BD:\,\,x + y - 2 = 0\) có \({\vec n_{BD}} = \left( {1;\,\,1} \right),\,\,{\vec u_{BD}} = \left( {1;\,\, - 1} \right)\)

*) Phương trình đường phân giác \(CE:\,\,x - 3y - 6 = 0\)có \({\vec n_{CE}} = \left( {1;\,\, - 3} \right),\,\,{\vec u_{CE}} = \left( {3;\,\,1} \right)\)

*) Gọi \({A_1}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BD\) và \(A{A_1} \cap BD = H\).

    \({A_2}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BD\) và \(A{A_2} \cap CE = G\).

+) Xác định tọa độ \({A_1}\)

Phương trình tổng quát của \(A{A_1}\) đi qua \(A\left( {2;\,\,4} \right)\) nhận \({\vec u_{BD}} = \left( {1;\,\, - 1} \right)\) là:

\(A{A_1}:\,\,\,\,x - 2 - \left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2 - y + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\)

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\,x + y - 2 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {0;\,\,2} \right)\)

Mà \(H\) là  trung điểm của \(A{A_1}\) nên tọa độ của điểm\({A_1}\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{{A_1}}} = 2\,\,.\,\,0 - 2 =  - 2\\{y_{{A_1}}} = 2\,\,.\,\,2 - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow {A_1}\left( { - 2;\,\,0} \right)\)

+) Xác định tọa độ \({A_2}\)

Phương trình tổng quát của \(A{A_2}\) đi qua \(A\left( {2;\,\,4} \right)\) nhận \({\vec u_{CE}} = \left( {3;\,\,1} \right)\) là:

\(A{A_2}:\,\,\,3\,\left( {x - 2} \right) + y - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 6 + y - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + y - 10 = 0\)

Tọa độ điểm \(G\) là nghiệm của hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 10 = 0\\x - 3y - 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{18}}{5}\\y =  - \frac{4}{5}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{{18}}{5};\,\, - \frac{4}{5}} \right)\)

Mà \(G\) là trung điểm của \(A{A_2}\) nên tọa độ của điểm \({A_2}\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{{A_2}}} = 2 \cdot \frac{{18}}{5} - 2\\{y_{{A_2}}} = 2 \cdot \left( { - \frac{4}{5}} \right) - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{{A_2}}} = \frac{{26}}{5}\\{y_{{A_2}}} =  - \frac{{28}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow {A_2}\left( {\frac{{26}}{5};\,\, - \frac{{28}}{5}} \right)\)

*) Viết phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua \({A_1}\left( { - 2;\,\,0} \right)\), \({A_2}\left( {\frac{{26}}{5};\,\, - \frac{{28}}{5}} \right)\)

\(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \left( {\frac{{36}}{5};\,\, - \frac{{28}}{5}} \right) \Rightarrow {\vec n_{{A_1}{A_2}}} = \left( {\frac{{28}}{5};\,\,\frac{{36}}{5}} \right)\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) đi \({A_1}\left( { - 2;\,\,0} \right)\) qua nhận \({\vec n_{{A_1}{A_2}}} = \left( {\frac{{28}}{5};\,\,\frac{{36}}{5}} \right)\) là VTPT:

\(BC:\,\,\,\frac{{28}}{5}\left( {x + 2} \right) + \frac{{36}}{5}\left( {y - 0} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{28}}{5}x + \frac{{56}}{5} + \frac{{36}}{5}y = 0\)\( \Leftrightarrow 28x + 36y + 56 = 0\)\( \Leftrightarrow 7x + 9y + 14 = 0\)

Vậy phương trình tổng quát của \(BC\) là: \(7x + 9y + 14 = 0\)

Chọn A.