Phương pháp giải:

+) Lấy điểm \(H'\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(AD\)\( \Rightarrow \) Xác định được tọa độ \(H'\)

+) Viết phương trình đường thẳng \(AC\)

+) \(A\) là giao điểm của \(AC\) và \(AD\)

Lời giải chi tiết:

*) Phương trình đường phân giác \(AD\): \(x - y + 2 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{AD}} = \left( {1;\,\, - 1} \right) \Rightarrow {\vec u_{AD}} = \left( {1;\,\,1} \right)\)

*) Gọi \(H'\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(AD\)\( \Rightarrow HH' \bot AD\)

+) Phương trình đường thẳng \(HH'\) đi qua \(H\left( { - 1;\,\, - 1} \right)\) nhận \({\vec u_{AD}} = \left( {1;\,\,1} \right)\) là VTPT:

\(HH':\,\,\,\,x + 1 + y + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow x + y + 2 = 0\)

+) Gọi \(J = HH' \cap AD\). Tọa độ của điểm \(J\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow J\left( { - 2;\,\,0} \right)\)

+) \(J\) là trung điểm của \(HH'\). Tọa độ của \(H'\)là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{H'}} = 2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right)\\{y_{H'}} = 2.0 - \left( { - 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{H'}} =  - 3\\{y_{H'}} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H'\left( { - 3;\,\,1} \right)\)

*) Phương trình đường cao \(BG\): \(4x + 3y - 1 = 0 \Rightarrow {\vec n_{BG}} = \left( {4;\,\,3} \right)\)\( \Rightarrow {\vec u_{BG}} = \left( {3;\,\, - 4} \right)\)

*) Viết phương trình đường thẳng \(AC\)

 Vì \(BG \bot AC\) tại \(G\) nên phương trình đường thẳng \(AC\) đi qua \(H'\left( { - 3;\,\,1} \right)\) nhận \({\vec u_{BG}} = \left( {3;\,\, - 4} \right)\) là VTPT là:

\(AC:\,\,\,3.\left( {x + 3} \right) + \left( { - 4} \right).\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 9 - 4y + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 4y + 13 = 0\)

*) Xác định tọa độ điểm \(A\)

Phương trình đường phân giác \(AD\) là: \(x - y + 2 = 0\)

Phương trình đường thẳng \(AC\) là: \(3x - 4y + 13 = 0\)

Vì \(AC \cap AD = A\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y + 13 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 7\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5;\,\,7} \right)\)

Vậy \(A\left( {5;\,\,7} \right)\).

Chọn  D.