Phương pháp giải:

+) Lấy điểm $H'$ là điểm đối xứng với $H$ qua $AD$$\Rightarrow$ Xác định được tọa độ $H'$

+) Viết phương trình đường thẳng $AC$

+) $A$ là giao điểm của $AC$ và $AD$

Lời giải chi tiết:

*) Phương trình đường phân giác $AD$: $x - y + 2 = 0$$\Rightarrow {\vec n_{AD}} = \left( {1;\,\, - 1} \right) \Rightarrow {\vec u_{AD}} = \left( {1;\,\,1} \right)$

*) Gọi $H'$ là điểm đối xứng với $H$ qua $AD$$\Rightarrow HH' \bot AD$

+) Phương trình đường thẳng $HH'$ đi qua $H\left( { - 1;\,\, - 1} \right)$ nhận ${\vec u_{AD}} = \left( {1;\,\,1} \right)$ là VTPT:

$HH':\,\,\,\,x + 1 + y + 1 = 0$$\Leftrightarrow x + y + 2 = 0$

+) Gọi $J = HH' \cap AD$. Tọa độ của điểm $J$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow J\left( { - 2;\,\,0} \right)$

+) $J$ là trung điểm của $HH'$. Tọa độ của $H'$là $\left\{ \begin{array}{l}{x_{H'}} = 2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right)\\{y_{H'}} = 2.0 - \left( { - 1} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{H'}} =  - 3\\{y_{H'}} = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow H'\left( { - 3;\,\,1} \right)$

*) Phương trình đường cao $BG$: $4x + 3y - 1 = 0 \Rightarrow {\vec n_{BG}} = \left( {4;\,\,3} \right)$$\Rightarrow {\vec u_{BG}} = \left( {3;\,\, - 4} \right)$

*) Viết phương trình đường thẳng $AC$

 Vì $BG \bot AC$ tại $G$ nên phương trình đường thẳng $AC$ đi qua $H'\left( { - 3;\,\,1} \right)$ nhận ${\vec u_{BG}} = \left( {3;\,\, - 4} \right)$ là VTPT là:

$AC:\,\,\,3.\left( {x + 3} \right) + \left( { - 4} \right).\left( {y - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x + 9 - 4y + 4 = 0$$\Leftrightarrow 3x - 4y + 13 = 0$

*) Xác định tọa độ điểm $A$

Phương trình đường phân giác $AD$ là: $x - y + 2 = 0$

Phương trình đường thẳng $AC$ là: $3x - 4y + 13 = 0$

Vì $AC \cap AD = A$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y + 13 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 7\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5;\,\,7} \right)$

Vậy $A\left( {5;\,\,7} \right)$.

Chọn  D.