Phương pháp giải:

+) Vì biết tọa độ điểm \(A\left( {1;\, - 2} \right)\) và phương trình đường phân giác trong \(BN:\,\,2x + y + 5 = 0\) nên gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(BN\).

+) Xác định tọa độ điểm \(B\), \(A'\)

+) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\) nhận \(\overrightarrow {BA'} \) là VTCP.

Lời giải chi tiết:

*) Phương trình đường cao \(CH:\,\,x - y + 1 = 0 \Rightarrow {\vec n_{CH}} = \left( {1;\,\, - 1} \right),\,\,{\vec u_{CH}} = \left( {1;\,\,1} \right)\)

*) Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {1;\, - 2} \right)\) nhận \({\vec u_{CH}} = \left( {1;\,\,1} \right)\) là VTPT:

\(x - 1 + y + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(x + y + 1 = 0\)

*) \(B\) là giao điểm của \(BN\) và \(AB\) nên tọa độ đỉnh \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\2x + y + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 4;\,\,3} \right)\)

*) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(BN\).

+) Phương trình đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\left( {1;\, - 2} \right)\) nhận \({\vec u_{BN}} = \left( { - 1;\,\,2} \right)\) làm VTPT là:

\( - 1.\left( {x - 1} \right) + 2.\left( {y + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - x + 1 + 2y + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow  - x + 2y + 5 = 0\)

\( \Rightarrow \)Phương trình đường thẳng \(AA'\) là \( - x + 2y + 5 = 0\)

+) \(J = BN \cap AA'\). Tọa độ điểm \(J\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} - x + 2y + 5 = 0\\2x + y + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow J\left( { - 1;\,\, - 3} \right)\)

+) Tọa độ \(A'\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.\left( { - 1} \right) - 1 =  - 3\\{y_{A'}} = 2.\left( { - 3} \right) - \left( { - 2} \right) =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3;\,\, - 4} \right)\)

*) Ta có: \(A' \in BC\); \(B\left( { - 4;\,\,3} \right),\,\,A'\left( { - 3;\,\, - 4} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( { - 4;\,\,3} \right)\) nhận \(\overrightarrow {BA'}  = \left( {1;\,\, - 7} \right)\) là VTCP là: \(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + t\\y = 3 - 7t\end{array} \right.\)

Chọn  B.