Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ của điểm $A$

+) Gọi $C'$ là điểm đối xứng của $C$ qua phân giác $AD$$\Rightarrow C' \in AB$

+) Viết phương trình đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow {AC'}$ là VTCP

Lời giải chi tiết:

+) Phương trình đường phân giác $AD$: $x + 2y - 5 = 0$$\Rightarrow {\vec n_{AD}} = \left( {1;\,\,2} \right),\,\,{\vec u_{AD}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\,$

+) Phương trình đường trung tuyến $AM:\,\,4x + 13y - 10 = 0$

+) Vì $A$ là giao điểm của $AD$ và $AM$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 5 = 0\\4x + 13y - 10 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {9;\,\, - 2} \right)$

+) Gọi ${C_1}$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AD$$\Rightarrow {C_1} \in AB$

Phương trình tổng quát của đường thẳng $C{C_1}$ đi qua $C\left( {4;\,\,3} \right)$ nhận  ${\vec u_{AD}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\,$ là VTPT:

$C{C_1}:\,\,\,2\left( {x - 4} \right) - \left( {y - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x - 8 - y + 3 = 0$$\Leftrightarrow 2x - y - 5 = 0$

+) Gọi $J = C{C_1} \cap AD$.

Tọa độ của $J$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 5 = 0\\x + 2y - 5 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {3;\,\,1} \right)$

$\Rightarrow$ Tọa độ của điểm ${C_1}$ là: $\left\{ \begin{array}{l}{x_{{C_1}}} = 2.3 - 4\\{y_{{C_1}}} = 2.1 - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{{C_1}}} = 2\\{y_{{C_1}}} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow {C_1}\left( {2;\,\, - 1} \right)$

+)  $\left. \begin{array}{l}A\left( {9;\,\, - 2} \right)\\{C_1}\left( {2;\,\, - 1} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {A{C_1}} \left( { - 7;\,\,1} \right)$

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A\left( {9;\,\, - 2} \right)$ và nhận ${\vec n_{A{C_1}}} = \left( {1;\,\,7} \right)$ là VTPT là:

$AB:\,\,\,\,\,x - 9 + 7\,\left( {y + 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 9 + 7y + 14 = 0$$\Leftrightarrow x + 7y + 5 = 0$

Vậy phương trình đường thẳng $AB$ là: $x + 7y + 5 = 0$

Chọn B.