Phương pháp giải:

Cosin của góc giữa hai đường thẳng ${d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ là:

$\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${d_1}:\,\,\,x + 2y + 4 = 0$ có VTPT $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,\,2} \right)$ và ${d_2}:\,\,x - 3y + 6 = 0$ có VTPT là: $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 3} \right).$

$\Rightarrow \cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Vậy góc giữa hai đường thẳng ${d_1}:x + 2y + 4 = 0$ và ${d_2}:x - 3y + 6 = 0$ là $45^\circ .$

Chọn C.