Phương pháp giải:

Đường cao của tam giác $ABC$  kẻ từ $A$ sẽ nhận $\overrightarrow {BC}$ là một VTPT.

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {A;\,\,B} \right)$ có dạng: $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) = 0.$

Lời giải chi tiết:

Đường cao của $\Delta ABC$ kẻ từ $A\left( {1;2} \right)$ sẽ nhận $\overrightarrow {BC} \left( {2;3} \right)$ là một VTPT nên đường cao đó có phương trình là: $2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 8 = 0.$

Chọn B.