Phương pháp giải:

+ Viết phương trình đoạn chắn đi qua \(M\) và cắt trục \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại hai điểm \(A\) và \(B\).

+  Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\), tam giác \(IAB\) cân tại \(I\)\( \Leftrightarrow IN \bot AB\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) cắt trục \(Ox\) và \(Oy\)lần lượt tại hai điểm \(A\left( {a;\,\,0} \right)\) và \(B\left( {0;\,\,b} \right)\), \(a\,.\,\,b \ne 0\).

Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Vì đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {3;\,\,1} \right)\) nên ta có: \(\frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1\)

Gọi \(N\left( {{x_N};\,\,{y_N}} \right)\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = \frac{{a + 0}}{2}\\{y_N} = \frac{{b + 0}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = \frac{a}{2}\\{y_N} = \frac{b}{2}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {\frac{a}{2};\,\,\frac{b}{2}} \right)\)

Ta có:

+) \(I\left( {2;\,\, - 2} \right);\,\,N\left( {\frac{a}{2};\,\,\frac{b}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IN}  = \left( {\frac{a}{2} - 2;\frac{b}{2} + 2} \right) = \left( {\frac{{a - 4}}{2};\frac{{b + 4}}{2}} \right) = \left( {a - 4;\,\,b + 4} \right)\)

+) \(A\left( {a;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,\,b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - a;\,\,b} \right)\)

\(\Delta IAB\) cân tại \(I\)\( \Leftrightarrow IN \bot AB \Leftrightarrow \overrightarrow {IN.} \overrightarrow {AB}  = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {a - 4} \right)\left( { - a} \right) + b\left( {b + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow  - {a^2} + 4a + {b^2} + 4b = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{b^2} - {a^2}} \right) + \left( {4a + 4b} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) + 4\left( {b + a} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {b - a + 4} \right)\left( {b + a} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b - a + 4 = 0\\b + a = 0\end{array} \right.\)

- Trường hợp 1: \(b - a + 4 = 0 \Rightarrow a - b = 4 \Leftrightarrow a = b + 4\)

Thay \(a = b + 4\) vào CT \(\frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1\) ta có:

\(\frac{3}{{b + 4}} + \frac{1}{b} = 1 \Leftrightarrow 3b + \left( {b + 4} \right) = b\left( {b + 4} \right) \Leftrightarrow 3b + b + 4 = {b^2} + 4b \Leftrightarrow {b^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 2\\b = 2\end{array} \right.\)

Với \(b =  - 2\) \( \Rightarrow a = 2\). Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\)

Với \(b = 2 \Rightarrow a = 6\). Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\frac{x}{6} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{6} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x + 3y - 6 = 0\)

- Trường hợp 2: Thay \(b =  - a\) vào công thức \(\frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1\) ta được: \(\frac{3}{a} - \frac{1}{a} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{a} = 1 \Rightarrow a = 2\)

Với \(a = 2 \Rightarrow b =  - 2\). Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\)

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là \(x - y - 2 = 0\) hoặc \(x + 3y - 6 = 0.\)

Chọn  C.