Phương pháp giải:

+ Viết phương trình đoạn chắn đi qua $M$ và cắt trục $Ox$, $Oy$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B$.

+  Gọi $N$ là trung điểm của $AB$, tam giác $IAB$ cân tại $I$$\Leftrightarrow IN \bot AB$

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường thẳng $d$ đi qua $M$ cắt trục $Ox$ và $Oy$lần lượt tại hai điểm $A\left( {a;\,\,0} \right)$ và $B\left( {0;\,\,b} \right)$, $a\,.\,\,b \ne 0$.

Phương trình đường thẳng $d$ có dạng: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Vì đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {3;\,\,1} \right)$ nên ta có: $\frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1$

Gọi $N\left( {{x_N};\,\,{y_N}} \right)$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = \frac{{a + 0}}{2}\\{y_N} = \frac{{b + 0}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = \frac{a}{2}\\{y_N} = \frac{b}{2}\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {\frac{a}{2};\,\,\frac{b}{2}} \right)$

Ta có:

+) $I\left( {2;\,\, - 2} \right);\,\,N\left( {\frac{a}{2};\,\,\frac{b}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IN}  = \left( {\frac{a}{2} - 2;\frac{b}{2} + 2} \right) = \left( {\frac{{a - 4}}{2};\frac{{b + 4}}{2}} \right) = \left( {a - 4;\,\,b + 4} \right)$

+) $A\left( {a;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,\,b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - a;\,\,b} \right)$

$\Delta IAB$ cân tại $I$$\Leftrightarrow IN \bot AB \Leftrightarrow \overrightarrow {IN.} \overrightarrow {AB}  = 0$$\Leftrightarrow \left( {a - 4} \right)\left( { - a} \right) + b\left( {b + 4} \right) = 0$

$\Leftrightarrow  - {a^2} + 4a + {b^2} + 4b = 0$

$\Leftrightarrow \left( {{b^2} - {a^2}} \right) + \left( {4a + 4b} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) + 4\left( {b + a} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {b - a + 4} \right)\left( {b + a} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b - a + 4 = 0\\b + a = 0\end{array} \right.$

- Trường hợp 1: $b - a + 4 = 0 \Rightarrow a - b = 4 \Leftrightarrow a = b + 4$

Thay $a = b + 4$ vào CT $\frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ta có:

$\frac{3}{{b + 4}} + \frac{1}{b} = 1 \Leftrightarrow 3b + \left( {b + 4} \right) = b\left( {b + 4} \right) \Leftrightarrow 3b + b + 4 = {b^2} + 4b \Leftrightarrow {b^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 2\\b = 2\end{array} \right.$

Với $b =  - 2$ $\Rightarrow a = 2$. Phương trình đường thẳng $d$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0$

Với $b = 2 \Rightarrow a = 6$. Phương trình đường thẳng $d$ là: $\frac{x}{6} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{6} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x + 3y - 6 = 0$

- Trường hợp 2: Thay $b =  - a$ vào công thức $\frac{3}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ta được: $\frac{3}{a} - \frac{1}{a} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{a} = 1 \Rightarrow a = 2$

Với $a = 2 \Rightarrow b =  - 2$. Phương trình đường thẳng $d$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0$

Vậy phương trình đường thẳng $d$ là $x - y - 2 = 0$ hoặc $x + 3y - 6 = 0.$

Chọn  C.