Phương pháp giải:

Giả sử \(\left( {{d_1}} \right)\) có VTPT là \({\vec n_1} = \left( {{A_1};\,\,{B_1}} \right)\); \(\left( {{d_2}} \right)\) có VTPT \({\vec n_2} = \left( {{A_2};\,\,{B_2}} \right)\) thì

\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right){\rm{ = }}\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2}} \right|}}{{\sqrt {{A_1}^2 + {B_1}^2} .\sqrt {{A_2}^2 + {B_2}^2} }}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm; \(\vec n = \left( {A;\,\,B} \right)\) là VTPT của \(\Delta \) \(\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\)

Để \(\Delta \) lập với \(\left( d \right)\) một góc \({45^0}\) thì:

\(\cos {45^0} = \frac{{\left| {A - 2B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt 5 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow 2{\left( {A - 2B} \right)^2} = 5\left( {{A^2} + {B^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A =  - 3B\\B = 3A\end{array} \right.\)

+) Với \(A =  - 3B\), chọn \(B =  - 1 \Rightarrow A = 3\) ta được phương trình \(\left( \Delta  \right):\,\,\,3x - y - 5 = 0\).

+) Với \(B = 3A\), chọn \(A = 1 \Rightarrow B = 3\) ta được phương trình \(\left( \Delta  \right):\,\,x + 3y - 5 = 0\)

Chọn  B.