Phương pháp giải:

Giả sử $\left( {{d_1}} \right)$ có VTPT là ${\vec n_1} = \left( {{A_1};\,\,{B_1}} \right)$; $\left( {{d_2}} \right)$ có VTPT ${\vec n_2} = \left( {{A_2};\,\,{B_2}} \right)$ thì

$\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right){\rm{ = }}\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2}} \right|}}{{\sqrt {{A_1}^2 + {B_1}^2} .\sqrt {{A_2}^2 + {B_2}^2} }}$

Lời giải chi tiết:

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm; $\vec n = \left( {A;\,\,B} \right)$ là VTPT của $\Delta$ $\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)$

Để $\Delta$ lập với $\left( d \right)$ một góc ${45^0}$ thì:

$\cos {45^0} = \frac{{\left| {A - 2B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt 5 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $\Leftrightarrow 2{\left( {A - 2B} \right)^2} = 5\left( {{A^2} + {B^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A =  - 3B\\B = 3A\end{array} \right.$

+) Với $A =  - 3B$, chọn $B =  - 1 \Rightarrow A = 3$ ta được phương trình $\left( \Delta  \right):\,\,\,3x - y - 5 = 0$.

+) Với $B = 3A$, chọn $A = 1 \Rightarrow B = 3$ ta được phương trình $\left( \Delta  \right):\,\,x + 3y - 5 = 0$

Chọn  B.