Phương pháp giải:

+) Viết dạng tổng quát của đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ đi qua $P\left( {2;5} \right)$ nhận $\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b} \right)$  là VTPT.

+) Tính khoảng cách từ $Q\left( {5;\,\,1} \right)$ đến đường thẳng $\left( \Delta  \right)$.

Lời giải chi tiết:

Gọi VTPT của đường thẳng $\Delta$ đi qua $P$ là $\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b} \right).$ 

+) $\Delta$qua $P\left( {2;5} \right) \Rightarrow \Delta :a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 2a - 5b = 0$

+) $d\left( {Q,\Delta } \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {5a + b - 2a - 5b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {3a - 4b} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}}$

$\Leftrightarrow {\left( {3a - 4b} \right)^2} = 9{a^2} + 9{b^2} \Leftrightarrow  - 24ab + 7{b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b = \frac{{24}}{7}a\end{array} \right.$

Với $b = 0$, chọn $a = 1 \Rightarrow \left( \Delta  \right):\,\,x = 2$

Với $b = \frac{{24}}{7}a$, chọn $a = 7 \Rightarrow b = 24 \Rightarrow \left( \Delta  \right):\,\,7x + 24y - 134 = 0$

Chọn  C.