Phương pháp giải:

Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = b.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {3{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{1 - \dfrac{1}{x}}}{{\sqrt {3 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow y = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) là đường TCN của đồ thị hàm số.

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {3{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{1 - \dfrac{1}{x}}}{{ - \sqrt {3 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow y =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) là đường TCN của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường TCN.

Chọn  C.