Bài 5 trang 27 (Ôn tập chương I - Vectơ) SGK Hình học 10

LG a

$\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}$

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Kéo dài $OC$ cắt đường tròn tại điểm $M$.

MC là đường kính nên $\widehat {MBC} = {90^0} \Rightarrow MB \bot BC$.

Mà tam giác ABC đều nên $AO\bot BC$.

Do đó MB//OA (1)

Lại có $\widehat {MAC} = {90^0} \Rightarrow MA \bot AC$.

Mà tam giác ABC đều nên $BO\bot AC$.

Do đó MA//BO (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OAMB$ là hình bình hành, suy ra:

$\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OM}$.

Vậy M là điểm cần tìm.

Cách 2:

O là tâm tam giác ABC nên cũng là trọng tâm tam giác.

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  =  - \overrightarrow {OC} \end{array}$

Mà $\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}$

Nên $\overrightarrow {OM}  =  - \overrightarrow {OC}$

$\Rightarrow \overrightarrow {OM}$ là véc tơ đối của $\overrightarrow {OC}$ hay O là trung điểm của CM.

Mà OC là bán kính nên CM=2CO là đường kính của đường tròn.

Vậy M là giao điểm của CO với đường tròn.

Cách 3:

$\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}$ $\Leftrightarrow$ M là đỉnh còn lại của hình bình hành AOBM.

+ AOBM là hình bình hành ⇒ AM = OB

Mà OB = OA (= bán kính đường tròn) ⇒ AM = AO ⇒ ΔAMO cân tại A (1)

+ AOBM là hình bình hành ⇒ AM//BO

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {MAO} + \widehat {AOB} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {MAO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {MAO} = {60^0}\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) ⇒ ΔAMO đều ⇒ OM = OA ⇒ M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

Mà $\widehat {AOM} = \widehat {BOM}$ nên M là điểm chính giữa cung AB.

LG b

$\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}$

Lời giải chi tiết:

Nối $OA$ và kéo dài cắt đường tròn tại điểm $N$

Tương tự như trên ta có:

$\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}$

Cách khác:

$\overrightarrow {ON}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}$ $\Leftrightarrow$ N là đỉnh còn lại của hình bình hành BOCN.

+ BOCN là hình bình hành ⇒ OB=CN

Mà OB = OC (= bán kính đường tròn) ⇒ CN = CO ⇒ ΔCNO cân tại C (1)

+ BOCN là hình bình hành ⇒ CN//BO

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {NCO} + \widehat {BOC} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {NCO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {NCO} = {60^0}\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) ⇒ ΔCNO đều ⇒ ON = OC ⇒ N nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

Mà $\widehat {BON} = \widehat {CON}$ nên N là điểm chính giữa cung BC.

LG c

$\overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA}$

Lời giải chi tiết:

Nối $OB$ và kéo dài cắt đường tròn tại điểm $P$

Tương tự như trên ta có:

$\overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA}$

Cách khác:

$\overrightarrow {OP}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OA}$ $\Leftrightarrow$ P là đỉnh còn lại của hình bình hành AOCP.

+ AOCP là hình bình hành ⇒ OA=PC

Mà OA = OC (= bán kính đường tròn) ⇒ OC = PC ⇒ ΔCPO cân tại C (1)

+ AOCP là hình bình hành ⇒ AO//CP

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {PCO} + \widehat {COA} = {180^0}\\ \Leftrightarrow \widehat {PCO} + {120^0} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {PCO} = {60^0}\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) ⇒ ΔCPO đều ⇒ OP = OC ⇒ P nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

Mà $\widehat {AOP} = \widehat {COP}$ nên P là điểm chính giữa cung AC.

HocTot.Nam.Name.Vn