Câu 4.29 trang 181 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Tìm số phức z sao cho $\left| z \right| = \left| {z - 2} \right|$ và một acgumen của $z - 2$ bằng một acgumen của $z + 2$ cộng với ${\pi  \over 2}$

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Cần tìm z sao cho $\left| z \right| = \left| {z - 2} \right|$ chứng tỏ M biểu diễn z cách đều O và điểm A biểu diễn 2, tức là phần thực của z bằng 1.

${{z - 2} \over {z + 2}} = {{\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z + 2} \right)} \over {{{\left| {z + 2} \right|}^2}}} = {{z\overline  z - 4 + 2\left( {z - \overline  z} \right)} \over {{{\left| {z + 2} \right|}^2}}} = li\left( {l > 0} \right)$ khi và chỉ khi $z\overline  z - 4 = 0$ (tức là $\left| z \right| = 2$) và phần ảo của z phải dương.

Vậy điểm M biểu diễn z phải thuộc nửa đường tròn nằm phía trên trục thực, có tâm O, có bán kính bằng 2. Giao của nửa đường tròn đó với đường thẳng $x = 1$ là điểm M biểu diễn điểm z cần tìm. Vậy số số đó là $z = 1 + \sqrt 3 i$ (Về hình học: điều kiện một acgumen của $z - 2$ bằng một acgumen $z + 2$ cộng với ${\pi  \over 2}$ có nghĩa là góc lượng giác tia đầu MA’, tia cuối MA (A’, A theo thứ tự biểu diễn -2 và 2) bằng ${\pi  \over 2}$) (h.4.10

Cách 2: Nếu viết $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ thì $\left| z \right| = \left| {z - 2} \right| \Leftrightarrow x = 1$

Khi đó ${{z - 2} \over {z + 2}} = {{1 + iy - 2} \over {1 + iy + 2}} = {{ - 1 + iy} \over {3 + iy}} = {{ - 3 + {y^2} + 4iy} \over {9 + {y^2}}} = li$ (l thực dương)

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{y^2} = 3 \hfill \cr y > 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow y = \sqrt 3$

Vậy $z = 1 + \sqrt 3 i$

HocTot.Nam.Name.Vn