Giải bài 4 trang 25 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABC$. Trên các đoạn thẳng $SA, SB, SC$ lần lượt lấy ba điểm $A’, B’, C’$ khác với $S$. Chứng minh rằng

$\displaystyle{{{V_{S.A'B'C'}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA'} \over {SA}} \cdot {{SB'} \over {SB}} \cdot {{SC'} \over {SC}}$

Lời giải chi tiết

Gọi $h$ và $h’$ lần lượt là chiều cao hạ từ $A, A’$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

* Do $A’H’// AH$ nên bốn điểm $A, A’; H’$ và $H$ đồng phẳng. (1)

Lại có, 3 điểm $A, S, H$ đồng phẳng (2).

Từ (1) và (2) suy ra, 5 điểm $A, A’, S. H$ và $H’$ đồng phẳng.

Trong mp(ASH) ta có: $\left\{ \begin{array}{l}A'H' \bot SH'\\AH \bot SH\\A'H'//AH\end{array} \right. \Rightarrow SH' \equiv SH$

⇒ Ba điểm $S, H$ và $H’$ thẳng hàng.

Gọi $S_1$ và $S_2$ theo thứ tự là diện tích các tam giác $SBC$ và $SB’C’$.

Khi đó ta có $\displaystyle{{h'} \over h} = {{SA'} \over {SA}}$ (định lý Ta - let) và:

$\dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}}=\dfrac{{{S_{SB'C'}}}}{{{S_{SBC}}}}$ $= \dfrac{{\dfrac{1}{2}SB'.SC'.\sin \widehat {BSC}}}{{\dfrac{1}{2}SB.SC.\sin \widehat {BSC}}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$

Suy ra $\displaystyle{{{V_{S.A'B'C'}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{{V_{A'.SB'C'}}} \over {{V_{A.SBC}}}} = {{{1 \over 3}h'{S_2}} \over {{1 \over 3}h{S_1}}}$ $=\dfrac{{h'}}{h}.\dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}}$ $= \displaystyle{{SA'} \over {SA}} \cdot {{SB'} \over {SB}} \cdot {{SC'} \over {SC}}$ 

Đó là điều phải chứng minh.

Chú ý: Từ nay về sau chúng ta được sử dụng bài tập này như một kết quả và không cần chứng minh lại.

HocTot.Nam.Name.Vn