Giải bài 1 trang 25 SGK Hình học 12

Đề bài

Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$.

Lời giải chi tiết

Cho tứ diện đều $ABCD$. Hạ $AH \bot \left( {BCD} \right)$

Dễ dàng chứng minh được ${\Delta _v}AHB = {\Delta _v}AHC = {\Delta _v}AHD\,\,\left( {ch - cgv} \right)$ $\Rightarrow HB = HC = HD,$ do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$.

Do $BCD$ là tam giác đều nên $H$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.

Gọi $M$ là trung điểm $CD$ thì $BM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong tam giác.

Ta có: $BM = BD\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Do đó $BH  = \frac{2}{3}BM= \displaystyle{2 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2}a = {{\sqrt 3 } \over 3}a$

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông $ABH$ ta có: $A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3} = \dfrac{{2{a^2}}}{3}$ $\Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$

Do tam giác $BCD$ đều cạnh $a$ nên: ${S_{BCD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Vậy ${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}AH.{S_{BCD}}$ $= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ $= \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.$

HocTot.Nam.Name.Vn