Bài 24 trang 97 SGK Hình học 10

Đề bài

Dây cung của elip (E): $\displaystyle {{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1  (0 < b < a)$ vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là:

A. $\displaystyle {{2{c^2}} \over a}$                      B. $\displaystyle {{2{b^2}} \over a}$

C. $\displaystyle {{2{a^2}} \over c}$                      D. $\displaystyle {{{a^2}} \over c}$

Lời giải chi tiết

Gọi đường thẳng $Δ$ đi qua tiêu điểm $F_2(c; 0)$ của elip (E) và vuông góc với trục lớn.

Khi đó $\Delta //Oy$ và ${F_2}\left( {c;0} \right) \in \Delta$ nên $\Delta :x - c = 0$

$Δ$ cắt $(E)$ tại hai điểm $M$ và $N$ có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = c\\ \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = c\\ \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = c\\ 1 - \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} - 1 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = c\\ \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = c\\ {y^2} = \dfrac{{{b^4}}}{{{a^2}}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = c\\ y = \pm \dfrac{{{b^2}}}{a} \end{array} \right.\\ \Rightarrow M\left( {c;\dfrac{{{b^2}}}{a}} \right),N\left( {c; - \dfrac{{{b^2}}}{a}} \right) \end{array}$

$\Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {c - c} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{{{b^2}}}{a} - \dfrac{{{b^2}}}{a}} \right)}^2}}$ $= \sqrt {0 + \dfrac{{4{b^4}}}{{{a^2}}}}  = \dfrac{{2{b^2}}}{a}$

Vậy độ dài dây cung của $(E)$ là độ dài đoạn thẳng $MN = {{2{b^2}} \over a}$.

Chọn B

 HocTot.Nam.Name.Vn