Bài 1.76 trang 25 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Hai đường thẳng đi qua điểm (1;3) và có hệ số góc k cắt trục hoành tại điểm A và trục tung tại điểm B (hoành độ của điểm A và tung độ của điểm B là những số dương). Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi k bằng

(A) -1                                       (B) -2

(C) -3                                       (D) -4

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Chọn đáp án C.

Đường thẳng đi qua $M\left( {1;3} \right)$ có hệ số góc $k$ là:

$y = k\left( {x - 1} \right) + 3$ $\Leftrightarrow y = kx - k + 3$ (d)

Cho $x = 0$ thì $y =  - k + 3$ nên (d) cắt $Oy$ tại $B\left( {0; - k + 3} \right)$.

Cho $y = 0$ thì $kx - k + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k - 3}}{k}$ nên (d) cắt $Ox$ tại $A\left( {\frac{{k - 3}}{k};0} \right)$

Do hoành độ của A và tung độ của B dương nên $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{k - 3}}{k} > 0\\ - k + 3 > 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 3\\k < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow k < 0$

Diện tích $\Delta OAB$ là:

${S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB$ $= \frac{1}{2}\frac{{k - 3}}{k}.\left( { - k + 3} \right)$$= \frac{1}{2}.\frac{{ - {k^2} + 6k - 9}}{k}$ $= \frac{1}{2}\left( { - k + 6 - \frac{9}{k}} \right)$

Do $k < 0$ nên $- k > 0$.

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương $- k$ và $- \frac{9}{k}$ ta có:

$- k - \frac{9}{k} \ge 2\sqrt {\left( { - k} \right).\left( { - \frac{9}{k}} \right)}  = 2.3 = 6$

$\begin{array}{l} \Rightarrow  - k - \frac{9}{k} + 6 \ge 6 + 6 = 12\\ \Rightarrow {S_{OAB}} \ge \frac{1}{2}.12 = 6\\ \Rightarrow \min {S_{OAB}} = 6\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi $- k =  - \frac{9}{k} \Leftrightarrow {k^2} = 9$ $\Leftrightarrow k =  - 3$ (do $k < 0$)

Vậy $k =  - 3$.

HocTot.Nam.Name.Vn