Bài 1.52 trang 20 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  của hàm số

$y = {x^4} + {x^2} - 3$

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

+) Chiều biến thiên:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty$

$\begin{array}{l}y' = 4{x^3} + 2x\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2x\left( {2{x^2} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2{x^2} + 1 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}$

BBT:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$.

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0,{y_{CT}} =  - 3$.

+) Đồ thị:

Trục đối xứng: $Oy$.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0; - 3} \right)$, đi qua các điểm $\left( {1; - 1} \right),\left( { - 1; - 1} \right)$

LG b

Chứng minh rằng đường thẳng $y =  - 6x - 7$ tiếp xúc với đồ thị của hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng $- 1$.

Lời giải chi tiết:

Với $x =  - 1$ ta có $y\left( { - 1} \right) =  - 1$.

$y'\left( { - 1} \right) = 4.{\left( { - 1} \right)^3} + 2.\left( { - 1} \right) =  - 6$

Tiếp tuyến với đồ thị tại $\left( { - 1; - 1} \right)$ là:

$y =  - 6\left( {x + 1} \right) - 1$ hay $y =  - 6x - 7$

Vậy đường thẳng $y =  - 6x - 7$ là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $\left( { - 1; - 1} \right)$ hay đường thẳng $y =  - 6x - 7$ tiếp xúc với đồ thị của hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng $- 1$ (đpcm)

HocTot.Nam.Name.Vn