Bài 1.50 trang 20 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

$y = {x^4} - 2{x^2} + 3$

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

+) Chiều biến thiên:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty$

$\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 4x\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0\\ \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.\end{array}$

BBT:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x =  \pm 1,{y_{CD}} = 2$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0,{y_{CT}} = 3$.

+) Đồ thị:

Trục đối xứng: $Oy$.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;3} \right)$.

Điểm cực đại $\left( {0;3} \right)$ và điểm cực tiểu $\left( { - 1;2} \right),\left( {1;2} \right)$.

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại mỗi điểm uốn của nó

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}y'' = 12{x^2} - 4\\y'' = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow y\left( { \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{{22}}{9}\end{array}$

Với ${U_1}\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{{22}}{9}} \right)$ ta có $y'\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) =  - \frac{{8\sqrt 3 }}{9}$ nên phương trình tiếp tuyến là:

$y =  - \frac{{8\sqrt 3 }}{9}\left( {x - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + \frac{{22}}{9}$ hay $y =  - \frac{{8\sqrt 3 }}{9}x + \frac{{10}}{3}$.

Với ${U_2}\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{{22}}{9}} \right)$ ta có $y'\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{{8\sqrt 3 }}{9}$ nên phương trình tiếp tuyến là:

$y = \frac{{8\sqrt 3 }}{9}\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + \frac{{22}}{9}$ hay $y = \frac{{8\sqrt 3 }}{9}x + \frac{{10}}{3}$.

HocTot.Nam.Name.Vn