Cách tìm nguyên hàm của hàm số luỹ thừa - Toán 12

Một số công thức tính nguyên hàm của hàm số luỹ thừa:

+ $\int {0dx}  = C$;

+ $\int {dx}  = \int {1dx}  = x + C$;

+ $\int {{x^\alpha }dx}  = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C$ $(\alpha  \ne  - 1)$;

+ $\int {\frac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C$;

+ $\int {\frac{1}{{{x^\alpha }}}dx}  = \int {{x^{ - \alpha }}dx}  = \frac{{{x^{ - \alpha  + 1}}}}{{ - \alpha  + 1}} + C$.

Công thức mở rộng:

+ $\int {du}  = u + C$;

+ $\int {{u^\alpha }du}  = \frac{{{u^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C$ $(\alpha  \ne  - 1)$;

+ $\int {\frac{1}{u}dx}  = \ln \left| u \right| + C$;

+ $\int {\frac{1}{{ax + b}}dx}  = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C$;

+ $\int {\frac{1}{{2\sqrt x }}dx}  = \sqrt x  + C$ (x > 0);

+ $\int {\frac{1}{{2\sqrt u }}du}  = \sqrt u  + C$ (x > 0).

1) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^5}$ là $\int {f(x)dx} = \int {{x^5}dx} = \frac{{{x^{5 + 1}}}}{{5 + 1}} + C = \frac{{{x^6}}}{6} + C$.

2) Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - x$ là $\int {({x^3} - x)dx = \frac{{{x^4}}}{4}} - \frac{{{x^2}}}{2} + C$.

3) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}$ là $\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int {{x^{ - 3}}dx} = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C$.

4) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {\pi ^2}$ là $F(x) = \int {{\pi ^2}dx} = {\pi ^2}x + C$.