Cách tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác - Toán 12

Một số công thức tính nguyên hàm của hàm số lượng giác:

+ $\int {\cos xdx}  = \sin x + C$;

+ $\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C$;

+ $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \tan x + C$;

+ $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}  =  - \cot x + C$.

Công thức mở rộng:

+ $\int {\cos udu}  = \sin u + C$;

+ $\int {\sin udu}  =  - \cos u + C$;

+ $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}u}}du}  = \tan u + C$;

+ $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}du}  =  - \cot u + C$;

+ $\int {\cos (ax + b)dx}  = \frac{1}{a}\sin (ax + b) + C$ $(a \ne 1)$;

+ $\int {\sin (ax + b)dx}  =  - \frac{1}{a}\cos (ax + b) + C$ $(a \ne 1)$.

Tìm:

a) $\int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - \sin x}}dx}$;

b) $\int {\left( {1 + 3{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx}$;

c) $\int {\frac{{2{{\cos }^3}x + 3}}{{{{\cos }^2}x}}dx}$.

Giải:

a) $\int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - \sin x}}dx} = \int {\frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{1 - \sin x}}dx}$

$= \int {\frac{{\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)}}{{1 - \sin x}}dx} = \int {\left( {1 + \sin x} \right)dx} = x - \cos x + C$.

b) $\int {\left( {1 + 3{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \int {\left( {1 + 3.\frac{{1 - \cos x}}{2}} \right)dx}$

$= \int {\left( {\frac{5}{2} - \frac{3}{2}\cos x} \right)dx} = \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}\sin x + C$.

c) $\int {\frac{{2{{\cos }^3}x + 3}}{{{{\cos }^2}x}}dx}$

$= \int {\left( {2\cos x + \frac{3}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = 2\sin x + 3\tan x + C$.