Cách tìm nguyên hàm của hàm số mũ - Toán 12

Nội dung chính

1. Công thức nguyên hàm của hàm số mũ

2. Ví dụ minh hoạ về nguyên hàm của hàm số mũ

3. Bài tập vận dụng

1. Công thức nguyên hàm của hàm số mũ

Một số công thức tính nguyên hàm của hàm số mũ:

+ \(\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C\);

+ \(\int {{a^x}dx}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\) \((a > 0,a \ne 1)\);

Công thức mở rộng:

+ \(\int {{e^u}du}  = {e^u} + C\);

+ \(\int {{a^u}du}  = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C\) \((a > 0,a \ne 1)\);

+ \(\int {{e^{ax + b}}dx}  = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\) \((a \ne 0)\).

2. Ví dụ minh hoạ về nguyên hàm của hàm số mũ

Tìm:

a) \(\int {{4^x}dx} \);

b) \(\int {\frac{1}{{{e^x}}}dx} \);

c) \(\int {\left( {{{2.3}^x} - \frac{1}{3}{{.7}^x}} \right)dx} \).

 Giải:

a) \(\int {{4^x}dx} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C\);

b) \(\int {\frac{1}{{{e^x}}}dx} = \int {{{\left( {\frac{1}{e}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{e}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{1}{e}}} + C = - {e^{ - x}} + C\);

c) \(\int {\left( {{{2.3}^x} - \frac{1}{3}{{.7}^x}} \right)dx} = 2\int {{3^x}} dx - \frac{1}{3}\int {{7^x}} dx = \frac{{{{2.3}^x}}}{{\ln 3}} - \frac{{{7^x}}}{{3\ln 7}} + C\).

3. Bài tập vận dụng