Các quy tắc tính xác suất

1. Quy tắc cộng xác suất

- Hai biến cố $A,B$ được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

+) Nếu $A \cap B = \emptyset$ thì $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$

+) Nếu $A,B$ là hai biến cố bất kì thì $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)$

Ví dụ: Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số từ $1$ đến $9$. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn.

Giải:

Kết quả nhận được là số chẵn khi và chỉ khi trong hai thẻ có ít nhất một thẻ chẵn.

Gọi $A$ là biến cố “Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, $B$ là biến cố “Cả hai thẻ được rút là thẻ chẵn”.

Khi đó biến cố “Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn” là $A \cup B$.

Do hai biến cố xung khắc nên $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$.

Vì có $4$ thẻ chẵn và $5$ thẻ lẻ nên ta có:

$P\left( A \right) = \dfrac{{C_5^1.C_4^1}}{{C_9^2}} = \dfrac{{20}}{{36}}$, $P\left( B \right) = \dfrac{{C_4^2}}{{C_9^2}} = \dfrac{6}{{36}}$.

Do đó:

$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$ $= \dfrac{{20}}{{36}} + \dfrac{6}{{36}} = \dfrac{{26}}{{36}} = \dfrac{{13}}{{18}}$.

2. Quy tắc nhân xác suất

- Hai biến cố $A,B$ được gọi là độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của $A$ không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố $B$.

- Nếu hai biến cố $A,B$ độc lập với nhau thì $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$.

Ví dụ: Một chiếc máy có hai động cơ $I$ và $II$ hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ $I$ chạy tốt là $0,8$ và xác suất để động cơ $II$ chạy tốt là $0,7$. Hãy tính xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt.

Giải:

Gọi $A$ là biến cố: “Động cơ $I$ chạy tốt”, $B$ là biến cố: “Động cơ $II$ chạy tốt”, $C$ là biến cố: “Cả hai động cơ đều chạy tốt”.

Ta thấy $A,B$ là hai biến cố độc lập với nhau và $C = AB$. Theo công thức nhân xác suất ta có:

$P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,8.0,7 = 0,56$.