Đề bài

Tính giá trị của $A =\dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}$

A.

$A=1-\dfrac{2}{\sqrt{2018}}$
B.

$A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2028}}$
C.

$A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2015}}$
D.

$A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2018}}$

Phương pháp giải

Sử dụng: $\dfrac{1}{{k\sqrt {k - 1} + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }} $$= \dfrac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt k }}$

Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn

Ta có: $k\sqrt {k - 1} + \left( {k - 1} \right)\sqrt k \, = \sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k - 1} } \right)$ với $k \ge 1$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{k\sqrt {k - 1} + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k - 1} } \right)}} \\= \dfrac{{\left( {\sqrt k - \sqrt {k - 1} } \right)}}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k - 1} } \right)\left( {\sqrt k - \sqrt {k - 1} } \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt k - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} }} \\= \dfrac{{\sqrt k - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt k .\sqrt {k - 1} }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt k }}\end{array}$

Thay lại vào A ta được:

$A = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}$$ + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}$$= \,\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) $$+ ..... + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2017} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}} \right)$$= 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}$

Đáp án : D

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } $ là:

Tính giá trị của \(A =\dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}\)