Đề bài

Cho $A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}$ với $x \ge 0.$ Có bao nhiêu giá trị của $x$ để $A$ có giá trị nguyên.

A.

$2$
B.

$1$
C.

$0$
D.

$3$

Phương pháp giải

Ta đánh giá giá trị của $A$ sau đó chọn ra các giá trị nguyên $A$ có thể đạt được, từ đó tìm $x.$

Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn

Ta có: $A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{\left( {2\sqrt x + 4} \right) - 5}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2 - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}}$

Ta có: $x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 $ hay $\sqrt x + 2 \ge 2 > 0 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} > 0$

suy ra $2 - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} < 2$ hay $A < 2$ (1)

Lại có: $\sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \dfrac{5}{2}$ suy ra $2 - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} \ge 2 - \dfrac{5}{2} $ hay $ A \ge - \dfrac{1}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $ - \dfrac{1}{2} \le A < 2$ mà $A \in \mathbb{Z} \Rightarrow A \in \left\{ {0;1} \right\}$

+ Với $A = 0 $ hay $ \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 0 $

$\Rightarrow 2\sqrt x - 1 = 0 \\ \sqrt x = \dfrac{1}{2} \\ x = \dfrac{1}{4}\left( {tm} \right)$

+ Với $A = 1 $ hay $\dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 1 $

$\Rightarrow 2\sqrt x - 1 = \sqrt x + 2 \\ \sqrt x = 3 \\ x = 9\left( {tm} \right)$

Vậy với $x = \dfrac{1}{4};x = 9$ thì $A$ đạt giá trị nguyên. Hay có 2 giá trị của $x$ thỏa mãn đề bài.

Đáp án : A

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } $ là:

Cho \(A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.