Cho hàm số bậc nhất \(y = x + {m^2} + 1\) và \(y = 5 + \left( {m - 1} \right)x\).
Giá trị nào của \(m\) để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục hoành là
Cho hàm số bậc nhất \(y = x + {m^2} + 1\) và \(y = 5 + \left( {m - 1} \right)x\).
Giá trị nào của \(m\) để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục hoành là
-
A.
\(2\);
-
B.
\(4\);
-
C.
\(6\);
-
D.
\(8\).
Viết phương trình giao điểm của hai đồ thị hàm số là:
Giao điểm của hai hàm số nằm trên trục hoành nên tung độ của giao điểm bằng \(0\)
Thay giá trị \(x\) vào một trong hai phương trình và giải tìm \(m\).
Phương trình giao điểm của hai đồ thị hàm số là:
\(\begin{array}{l}x + {m^2} + 1 = 5 + \left( {m - 1} \right)x\\x - \left( {m - 1} \right)x = 5 - {m^2} - 1\\\left( {1 - m + 1} \right)x = 4 - {m^2}\\\left( {2 - m} \right)x = 4 - {m^2}\\x = \frac{{4 - {m^2}}}{{2 - m}}\end{array}\)
Từ đó ta có: \(y = \frac{{4 - {m^2}}}{{2 - m}} + {m^2} + 1 = \frac{{4 - {m^2} + \left( {{m^2} + 1} \right)\left( {2 - m} \right)}}{{2 - m}} = \frac{{ - {m^3} + {m^2} - m + 6}}{{2 - m}}\)
Giao điểm của hai hàm số nằm trên trục hoành nên tung độ của giao điểm bằng \(0\), do đó
\(\frac{{ - {m^3} + {m^2} - m + 6}}{{2 - m}} = 0\)
Hay \( - {m^3} + {m^2} - m + 6 = 0\)
\(\begin{array}{l} - {m^3} + 2{m^2} - {m^2} + 2m - 3m + 6 = 0\\ - {m^2}\left( {m - 2} \right) - m\left( {m - 2} \right) - 3\left( {m - 2} \right) = 0\\\left( {m - 2} \right)\left( { - {m^2} - m - 3} \right) = 0\end{array}\)
Lại có: \( - {m^2} - m - 3 = - {m^2} - m - \frac{1}{4} - \frac{{11}}{4} = - {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{{11}}{4} < 0\)
Suy ra: \(m - 2 = 0\) hay \(m = 2\)
Với \(m = 2\) ta có hai đường thẳng trùng nhau và đường thẳng có dạng \(y = m + 5\) nên hai đường thẳng có điểm chung cắt nhau tại trục hoành.
Vậy hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục hoành khi \(m = 2\).
Đáp án : A
Danh sách bình luận