Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(E, F\) lần lượt là trung điểm của \(AD, BC\). Các đường \(BE, DF\) cắt \(AC\) tại \(P, Q\). Tứ giác \(EPFQ\) là hình thoi nếu \(\widehat {ACD}\) bằng
-
A.
\(45^{o}\);
-
B.
\(90^{o}\);
-
C.
\(60^{o}\);
-
D.
\(75^{o}\).
Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)
Chứng minh \(EDFB\) là hình bình hành.
Chứng minh \(P\), \(Q\) lần lượt là trọng tâm \( \Delta ABD\), \( \Delta CBD\).
Từ đó suy ra \(EP = QF\)
Chứng minh tứ giác \(EPFQ\) là hình bình hành.
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(O\) là trung điểm của \(AC\), \(BD\) và \(AD\parallel CB\), \(AD = BC\)
Xét tứ giác \(EDFB\) có: \(ED\parallel FB\), \(ED = FP\left( { = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC} \right)\)
Nên \(EDFB\) là hình bình hành.
Suy ra \(BE = DF,\,BE\parallel DF\)
Xét \( \Delta ABD\) có \(P\) là giao điểm hai đường trung tuyến \(BE\), \(AO\) nên \(P\) là trọng tâm \( \Delta ABD\). Suy ra: \(EP = \frac{1}{3}BE\)
Xét \( \Delta CBD\) có \(Q\) là giao điểm hai đường trung tuyến \(DF\), \(CO\) nên \(Q\) là trọng tâm \( \Delta CBD\). Suy ra: \(QF = \frac{1}{3}DF\)
Mà \(BE = DF\) (cmt) suy ra \(EP = QF\)
Xét tứ giác \(EPFQ\) có: \(EP = QF,\, EP\parallel QF\)
Suy ra \(EPFQ\) là hình bình hành.
Để hình bình hành \(EPFQ\) là hình thoi thì \(EF \bot PQ\)
Mà \(EF\parallel CD\) (do hình bình hành \(ABCD\) có \(AB\parallel CD\), \(E\) là trung điểm \(AD\), \(F\) là trung điểm \(BC\)).
Nên \(CD \bot PQ\) hay \(CD \bot AC\)
Suy ra \(\widehat {ACD} = {90^o}\)
Đáp án : B
Danh sách bình luận