Đề bài

Cho $\Delta ABC$ , trung tuyến $AM$ , đường phân giác của $\widehat {AMB}$ cắt $AB$ ở $D$ đường phân giác của $\widehat {AMC}$ cắt $AC$ ở $E$ .

a) Chứng minh rằng $AD.AC = AE.AB$ và $DE\parallel BC$ .

b) Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $DE$ . Chứng minh rằng $I$ là trung điểm của $DE$ .

c) Tính $DE$ , biết $BC = 30\,cm$ và $AM = 10\,cm$ .

d) Tam giác $ABC$ phải thêm điều kiện gì để $DE$ là đường trung bình của tam giác đó?

Phương pháp giải

- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán.

a) Chứng minh $MB = MC$

Chứng minh $\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{MA}}{{MB}}$

Theo định lí Thales đảo ta có $DE\parallel BC$ .

b) Chứng minh $\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{IE}}{{MC}}$ .

Mà $MB = MC$ nên suy ra được $I$ là trung điểm của $DE$

c) Tính độ dài đoạn thẳng $BC$ .

Theo câu a, ta có $\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}$ . Sau đó ta cộng hai vế với 1, biến đổi ta có $\frac{{DA}}{{AB}} = \frac{2}{5}$ .

Áp dụng định lý Thales trong $\Delta ABC$ , tính độ dài đoạn $DE$

d) Để $DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ thì $D, E$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$

Suy ra $MA = MB$ , $MA = MC$

Do đó $MA = MB = MC = \frac{1}{2}BC$ .

Do $\Delta ABC$ có đường trung tuyến $AM$ bằng nửa cạnh $BC$ nên $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn

Cho tam giác ABC trung tuyến AM đường phân giác của góc AMB cắt AB ở D đường phân giác của góc AMC cắt AC ở E. (ảnh 1)

a) Xét $\Delta ABM$ có $MD$ là đường phân giác của $\widehat {AMB}$ nên $\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{DA}}{{DB}}$ (1) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Xét $\Delta ACM$ có $ME$ là đường phân giác của $\widehat {AMC}$ nên $\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{EA}}{{EC}}$ (2) (tính chất đường phân giác của tam giác).

Do $AM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABM$ nên $M$ là trung điểm của $BC$ hay $MB = MC = \frac{1}{2}BC$ . (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}$ .

Xét $\Delta ABC$ có $\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}$ , theo định lí Thales đảo ta có $DE\parallel BC$ .

b) Xét $\Delta ABM$ có $DI\parallel BM$ , theo hệ quả định lí Thales ta có $\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{AI}}{{AM}}$ .

Xét $\Delta ACM$ có $IE\parallel MC$ , theo hệ quả định lí Thales ta có $\frac{{IE}}{{MC}} = \frac{{AI}}{{AM}}$ .

Do đó $\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{IE}}{{MC}}$ .

Mà $MB = MC$ (chứng minh ở câu a) nên $DI = IE$ , hay $I$ là trung điểm của $DE$

c) Ta có $MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.30 = 15\,cm$ .

Theo câu a, ta có $\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}$ , suy ra $\frac{{DA}}{{DA + DB}} = \frac{{MA}}{{MA + MB}} = \frac{{10}}{{10 + 15}} = \frac{{10}}{{25}} = \frac{2}{5}$ .

Do đó $\frac{{DA}}{{AB}} = \frac{2}{5}$ .

Xét $\Delta ABC$ có $DE\parallel BC$ , theo hệ quả định lí Thales ta có $\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{5}$

Suy ra $DE = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5}.30 = 12\,cm$ .

d) Để $DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ thì $D, E$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$

Xét $\Delta ABM$ có $MD$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên là tam giác cân tại $M$ . Suy ra $MA = MB$ (tính chất tam giác cân).

Tương tự, ta cũng chứng minh được $MA = MC$

Do đó $MA = MB = MC = \frac{1}{2}BC$ .

Xét $\Delta ABC$ có đường trung tuyến $AM$ bằng nửa cạnh $BC$ nên $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Vậy $\Delta ABC$ phải là tam giác vuông tại $A$ thì $DE$ là đường trung bình của tam giác đó.

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho tam giác ABC có BC = 6cm, các đường trung tuyến BE, CD. Khi đó độ dài cạnh DE là