Cho tam giác \(ABC\), các đường trung tuyến \(BD, CE\). Gọi \(M, N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BE, CD\). Gọi \(I, K\) theo thứ tự là giao điểm của \(MN\) với \(BD\) và \(CE\) Chứng minh rằng:
a) \(\)\(\)\(ED\parallel BC\)
b) \(\)\(\)\(MN\parallel BC\)
c) \(MI = IK = KN\).
Cho tam giác \(ABC\), các đường trung tuyến \(BD, CE\). Gọi \(M, N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BE, CD\). Gọi \(I, K\) theo thứ tự là giao điểm của \(MN\) với \(BD\) và \(CE\) Chứng minh rằng:
a) \(\)\(\)\(ED\parallel BC\)
b) \(\)\(\)\(MN\parallel BC\)
c) \(MI = IK = KN\).
a) Trong \(\Delta ABC\) áp dụng tính chất đường trung bình suy ra \(ED\parallel BC\)
b) Chứng minh \(\frac{{MB}}{{EB}} = \frac{1}{4}\) và \(\frac{{NC}}{{AC}} = \frac{1}{4}\).
Áp dụng định lý Thales đảo, ta có: \(MN\parallel BC\)
c) Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(BD\) và suy ra \(MI = \frac{1}{2}ED\).
Chứng minh \(K\) là trung điểm của \(BD\) và suy ra \(KN = \frac{1}{2}ED\).
Chứng minh \(IK = MK - MI = \frac{1}{2}ED\).
Do đó \(MI = IK = KN = \frac{1}{2}ED\).
a) Trong \(\Delta ABC\) có các đường trung tuyến \(BD,\,CE\) nên \(D\) là trung điểm của \(AC\), \(E\) là trung điểm của \(AB\) nên \(ED\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
Suy ra \(ED = \frac{1}{2}BC\) và \(ED\parallel BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
b) Ta có: \(E\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AE = EB = \frac{1}{2}AB\).
Mà \(M\) là trung điểm của \(EB\) nên \(EM = MB = \frac{1}{2}EB = \frac{1}{4}AB\) hay \(\frac{{MB}}{{EB}} = \frac{1}{4}\).
Tương tự, ta cũng có \(NC = \frac{1}{4}AC\) hay \(\frac{{NC}}{{AC}} = \frac{1}{4}\).
Suy ra \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}} = \frac{1}{4}\).
Xét \(\Delta ABC\) có \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}\) nên \(MN\parallel BC\) (định lí Thales đảo).
c) Ta có \(MN\parallel BC\) (chứng minh ở ý b) và \(ED\parallel BC\) (chứng minh ở ý a) nên \(ED\parallel MN\parallel BC\).
Xét \(\Delta BDE\) có \(M\) là trung điểm của \(EB\) và \(MI\parallel ED\) (do \(ED\parallel MN\))
Suy ra \(I\) là trung điểm của \(BD\) hay \(IB = ID\)
Khi đó \(MI\) là đường trung bình của \(\Delta BDE\) nên \(MI = \frac{1}{2}ED\).
Tương tự, trong \(\Delta CED\) ta cũng có \(KN = \frac{1}{2}ED\), trong \(\Delta BCE\) có \(MK = \frac{1}{2}BC\).
Ta có \(IK = MK - MI = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{2}ED = ED - \frac{1}{2}ED = \frac{1}{2}ED\).
Do đó \(MI = IK = KN = \frac{1}{2}ED\).
Danh sách bình luận