Giải bài 2 trang 89 SGK Hình học 12

LG a

a) $(Oxy)$ ;

Phương pháp giải:

Cách 1:

Phương pháp viết phương trình hình chiếu $(d')$ của đường thẳng $(d)$ trên mặt phẳng $(P)$:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa $(d )$ và vuông góc với $(P$).

- ${\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left[ {{{\overrightarrow u }_{\left( d \right)}};{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right]$.

- $M \in d \Rightarrow M \in \left( Q \right)$ (với M là một điểm bất kì).

Bước 2: $d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)$. Viết phương trình đường thẳng $(d')$.

Cách 2:

Lấy 2 điểm $A,B$ bất kì thuộc d, gọi $A',B'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (P). Khi đó $(d')$ chính là đường thẳng $A'B'$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng vuông góc $\left( {Oxy} \right)$ và chứa $d$.

Khi đó $\Delta  = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)$ là hình chiếu của $d$ lên $\left( {Oxy} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $(Oxy)$ có dạng: $z = 0$; vectơ $\overrightarrow{k}$(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của  $(Oxy)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  \bot \overrightarrow k \\\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  \bot \overrightarrow {{u_d}} \end{array} \right.$ $\Rightarrow \overrightarrow{n_{(P)}}=\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} \right ] = (2 ; -1 ; 0)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng: $2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0$ $\Leftrightarrow 2x - y - 7 = 0$.

$\Delta  = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)$ $\Rightarrow \Delta :\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ 2x-y-7=0.& \end{matrix}\right.$

Chọn ${M_0}\left( {4;1;0} \right) \in \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)$.

$\Delta  = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \\\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow k \end{array} \right.$ $\Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( {1;2;0} \right)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua ${M_0}\left( {4;1;0} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1;2;0} \right)$ làm VTCP nên $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 0\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}$.

Cách khác:

+) t = 0 ⇒ điểm M(2; -3; 1) ∈ d

+) t = 1 ⇒ điểm N(3; -1; 4) ∈ d.

Hình chiếu của M trên (Oxy) là M’(2 ; -3 ; 0).

Hình chiếu của N trên (Oxy) là : N’(3 ; -1 ; 0).

⇒ Hình chiếu của d trên (Oxy) là đường thẳng d’ đi qua M’ và N’.

⇒ d’ đi qua M'(2;-3;0) và nhận $\overrightarrow {M'N'}  = \left( {1;2;0} \right)$ là 1 vtcp.

$⇒  d':\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = - 3 + 2t\\ z = 0 \end{array} \right.$

Quảng cáo

LG b

b) $(Oyz)$.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x = 0$.

Lấy $M_1( 2 ;- 3 ; 1) ∈ d$ và  $M_2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d$.

+) Hình chiếu vuông góc của $M_1$ trên $(Oyz)$ là $M_1$'$(0 ; -3 ; 1)$.

+) Hình chiếu vuông góc của $M_2$ trên $(Oyz)$ là chính nó.

Đường thẳng $∆$ qua ${M_1}',{M_2}$ chính là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(Oyz)$.

Ta có: $\overrightarrow{M'_{1}M_{2}}(0 ; -4 ; -6)$ // $\overrightarrow{v} (0 ; 2 ; 3)$.

Phương trình $M'_1M_2$ có dạng: $\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-3+2t&,t \in R \\ z=1+3t& \end{matrix}\right.$.

HocTot.Nam.Name.Vn